基于非下采樣剪切波變換域三變量模型圖像去噪算法

石滿紅，劉 衛(wèi)

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基于非下采樣剪切波變換域三變量模型圖像去噪算法

石滿紅1，劉 衛(wèi)2

（1. 安徽科技學(xué)院信息與網(wǎng)絡(luò)工程學(xué)院 安徽 鳳陽 233100；2. 中國(guó)科學(xué)院合肥智能機(jī)械研究所 安徽 合肥 230031）

結(jié)合非下采樣剪切波變換域三變量閾值濾波和多分辨引導(dǎo)濾波，本文提出一種去除高斯白噪聲的圖像去噪的有效方法。在非下采樣剪切波變換域中，以三變量非高斯模型對(duì)方向帶通子帶系數(shù)間相關(guān)性進(jìn)行建模，采用最大后驗(yàn)估計(jì)理論推導(dǎo)出三變量收縮閾值函數(shù)。此外，對(duì)低頻子帶系數(shù)采用多分辨引導(dǎo)濾波進(jìn)行平滑處理，以達(dá)到更好的噪聲抑制效果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，本文所提去噪方法可以有效抑制噪聲同時(shí)保留更多的圖像細(xì)節(jié)信息，與其他濾波算法相比，該去噪算法可得到更高的客觀數(shù)據(jù)及更好的視覺效果。

圖像去噪；非下采樣剪切波變換；三變量非高斯模型；引導(dǎo)濾波

0 引言

圖像在其獲取與傳遞過程中，常常會(huì)受到各種噪聲（如加性高斯白噪聲）的污染。圖像去噪的主要目的是有效減少噪聲等級(jí)且保留盡可能多的細(xì)節(jié)特征。

從處理域的角度，去噪算法可分為空間域?yàn)V波和變換域?yàn)V波。近年來，學(xué)者們提出了很多基于空間域的濾波算法：非局部均值濾波、雙邊濾波、引導(dǎo)濾波等[1-3]?？臻g域?yàn)V波直接處理圖像像素，具有執(zhí)行速度快，方法簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，但是圖像細(xì)節(jié)信息卻無法被提取出來，去噪后圖像丟失了很多細(xì)節(jié)信息、邊緣處模糊不清。小波變換憑借其較好的時(shí)頻局部化能力，可以有效地提取圖像的細(xì)節(jié)信息，因而被廣泛的應(yīng)用在圖像去噪領(lǐng)域。針對(duì)小波系數(shù)之間的強(qiáng)相關(guān)性，學(xué)者們提出了很多先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)模型對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行建模[4-9]，然而這些先驗(yàn)?zāi)Ｐ痛嬖谥鴮?duì)系數(shù)間相關(guān)性考慮不充分或者估計(jì)模型參數(shù)過于復(fù)雜的問題。

小波變換雖然可以對(duì)點(diǎn)奇異分段光滑函數(shù)進(jìn)行最優(yōu)逼近，但是由一維小波張量形成的二維可分離小波只有有限方向，它們不能很好地表示自然圖像的高維奇異特征（邊緣、紋理等）。為了更加有效、稀疏的表示圖像，多尺度幾何分析工具被提了出來，如Curvelet、Ridgelet、Contourlet等[10-12]。隨后，學(xué)者們提出了很多基于多尺度幾何分析的圖像去噪算法并取得了較為理想的去噪效果[13-15]。2007年，Guo提出了新的多尺度幾何分析工具——Shearlet[16]，理論上可以執(zhí)行任意多方向的圖像分解，逆合成過程具有較高的執(zhí)行效率，可近似最優(yōu)地逼近圖像。因Shearlet具有這些優(yōu)點(diǎn)，它在圖像處理領(lǐng)域有諸多應(yīng)用[17-19]。但是，Shearlet變換不具有平移不變性，去噪結(jié)果會(huì)出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象。2008年，Easley提出了非下采樣Shearlet變換[20]，它繼承了Shearlet變換所有優(yōu)良特性且具有平移不變性，它更適用于圖像去噪工作。

傳統(tǒng)的基于變換域去噪算法，大多認(rèn)為噪聲只集中存在于高頻子帶，低頻子帶不需要處理。然而，低頻子帶中也存在一定量的噪聲，因此，在執(zhí)行圖像去噪工作時(shí)有必要對(duì)低頻子帶也進(jìn)行相應(yīng)的處理?；谝陨戏治?，本文提出一種新的圖像去噪算法——通過結(jié)合非下采樣Shearlet變換域的閾值濾波方法和引導(dǎo)濾波方法，達(dá)到去除噪聲的目的。圖像經(jīng)非下采樣Shearlet變換分解后，高頻子帶運(yùn)用三變量閾值函數(shù)進(jìn)行處理，對(duì)于每次重構(gòu)得到的低頻子帶再運(yùn)用引導(dǎo)濾波平滑處理，圖1為本文去噪算法的流程圖，其中H0、H1分別為低通和高通分解濾波器，G0、G1為合成濾波器，SF為剪切濾波器，圖1中只進(jìn)行了兩層分解，具體應(yīng)用時(shí)可推廣到更多層分解。

1 Shearlet變換

Guo等人在合成小波理論基礎(chǔ)上衍生出Shearlet變換[16]。定義具有合成膨脹仿射系統(tǒng)為：

任意?＋，?，?2，Shearlet基函數(shù)定義為：

基于以上Shearlet定義，函數(shù)()的Shearlet變換為：

SH(,,)＝<,,,> (2)

式中：、s、分別表示尺度參數(shù)、剪切的方向以及平移量。圖2顯示了Shearlet的頻域支撐。

非下采樣Shearlet變換分多尺度剖分與方向局部化兩步執(zhí)行。在多尺度剖分階段，為了使其具有平移不變性、抑制圖像處理結(jié)果出現(xiàn)的偽Gibbs現(xiàn)象，在實(shí)現(xiàn)過程中去除了下采樣操作，采用非下采樣金字塔濾波器組進(jìn)行多尺度分解；在方向局部化階段，采用平移不變剪切濾波器組將頻域分解為一系列的梯形高頻子帶。更多關(guān)于非下采樣Shearlet變換的內(nèi)容，可以參考文獻(xiàn)[20]。

2 引導(dǎo)濾波

引導(dǎo)濾波[3]是一個(gè)局部線性平移不變的邊緣保持濾波器，它基于兩個(gè)假定條件的折中，第一個(gè)條件是引導(dǎo)圖像和濾波結(jié)果圖像之間存在線性模型，第二個(gè)條件是濾波結(jié)果應(yīng)該盡可能的與源圖像相似。對(duì)于像素的濾波結(jié)果為：

式中：WijGuided(×)表示引導(dǎo)圖像I的濾波核函數(shù)且與源圖像p相互獨(dú)立。

圖2 Shearlet變換頻域支撐

式(3)的濾波核函數(shù)定義為：

式中：和2分別表示引導(dǎo)圖像局部窗口c的均值和方差；＞0防止分母為零。

3 NSST域三變量統(tǒng)計(jì)模型

對(duì)于受到零均值加性高斯白噪聲污染的原始圖像，其退化模型為：

(,)＝(,)＋(,) (5)

式中：(,)、(,)、(,)分別代表原始圖像、噪聲圖像及高斯白噪聲（方差為2）。圖像經(jīng)過NSST變換后，得到：

＝＋(6)

對(duì)于式(8)，我們需要得到噪聲的概率密度函數(shù)p()與圖像的NSST系數(shù)的概率密度函數(shù)p()。文中處理的對(duì)象是高斯白噪聲，即～(0,2)，其中2為噪聲的方差。然而我們無法準(zhǔn)確獲得p()，通常做法是使用一個(gè)相近的概率密度函數(shù)作為替代。圖3(c)、(d)為自然圖像Lena和紅外圖像Plane的最細(xì)子帶的概率直方圖，所有的分布都在零值附近具有一個(gè)非常尖銳的頂峰且在峰值兩邊有著很長(zhǎng)的拖尾現(xiàn)象，這些結(jié)果顯示了NSST系數(shù)是極度稀疏的，大部分的系數(shù)幅值都在零值左右。相似的情況也出現(xiàn)在其他圖像中，因此圖像的NSST系數(shù)具有非常高的非高斯性。

圖3 NSST最細(xì)子帶系數(shù)統(tǒng)計(jì)直方圖

3.1 NSST系數(shù)間的依賴關(guān)系

由前面分析可知，NSST高頻子帶系數(shù)的分布情況呈現(xiàn)出零均值、重拖尾的特點(diǎn)，HMT[5]、GGD[6]等模型都可近似其邊緣概率分布。但這些模型大多只反映系數(shù)尺度間或尺度內(nèi)相關(guān)性，無法充分體現(xiàn)NSST系數(shù)間相關(guān)性。為了定量分析系數(shù)間的依賴關(guān)系，本文使用互信息[21]作為量化指標(biāo)來度量NSST系數(shù)間的依賴關(guān)系。兩個(gè)具有邊緣概率密度函數(shù)()、()及聯(lián)合概率密度函數(shù)(,)的隨機(jī)變量、的互信息定義為：

互信息MI(X;Y)表示用Y表示X的信息量，其值越大說明兩者關(guān)系越緊密，當(dāng)變量X、Y相互獨(dú)立時(shí)，MI(X;Y)等于0。下面我們使用(9)式計(jì)算NSST系數(shù)間的互信息值，令m表示當(dāng)前的NSST系數(shù)，Pm表示其父系數(shù)，Nm表示鄰域系數(shù)，Cm表示兄弟系數(shù)，圖4為一幅圖像經(jīng)3層NSST分解（方向分別為1、4、16），系數(shù)間相關(guān)的相互關(guān)系。

首先，我們對(duì)4幅標(biāo)準(zhǔn)圖像（Lena, Barbara, Boat, Peppers）、2幅紅外圖像以及2幅遙感圖像進(jìn)行NSST分解（尺度數(shù)3），然后在最細(xì)方向子帶上分別計(jì)算MI(;)、MI(;)、MI(;,)以及MI(;,)的平均互信息值，表1給出計(jì)算結(jié)果。

從表1可知，平均互信息值滿足不等式MI(;)＜MI(;)＜MI(;,)＜MI(;,)，即(,)可以提供給的信息量要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于或者。因而，為了捕獲NSST系數(shù)間相關(guān)性，充分描述當(dāng)前系數(shù)與父系數(shù)和兄弟系數(shù)間相關(guān)性，文中使用三變量分布模型進(jìn)行建模。

3.2 基于NSST域三變量統(tǒng)計(jì)模型圖像的去噪

設(shè)1、2、3是干凈的NSST的系數(shù)，且2是1的父系數(shù)，3是1相反方向兄弟系數(shù)。1、2、3為當(dāng)前觀測(cè)到含噪NSST系數(shù)，1、2、3為高斯白噪聲的變換系數(shù)。則有：

即：＝＋，其中＝(1,2,3)，＝(1,2,3)，＝(1,2,3)。

假定噪聲服從高斯分布，從而它的概率密度函數(shù)為：

通過以上分析，本文使用三變量廣義球等高指數(shù)作為當(dāng)前系數(shù)、父系數(shù)和兄弟系數(shù)的概率密度函數(shù)，即：

式(12)是一個(gè)概率密度函數(shù)且具有對(duì)稱性，它充分顯示1、2和3之間的相關(guān)特性，其中是一個(gè)自由參數(shù)，在處理圖像過程中通常取為值為3，2為NSST系數(shù)方差，2為噪聲方差。

令()＝ln[p()]，則(7)等價(jià)于：

表1 NSST系數(shù)的平均互信息值（最細(xì)子帶）

由于()函數(shù)是可微的、嚴(yán)格凸的，對(duì)式(13)關(guān)于1、2及3求導(dǎo)。然后將式(12)代入式(13)，有：

整理得：

將(15)代入方程組(14)，有：

4 算法主要步驟

4.1 參數(shù)估計(jì)

式中：2()是系數(shù)w對(duì)應(yīng)的噪聲方差；()是以w為中心的方形鄰域；2為()中的系數(shù)。

4.2 去噪主要步驟

本文去噪方法主要步驟總結(jié)如下：

Step 1 對(duì)含噪圖像進(jìn)行NSST分解（尺度數(shù)4，方向數(shù)4、8、8、16），得到NSST系數(shù)；

Step 2 采用蒙特卡羅方法估計(jì)2，再用式(17)估計(jì)2；

Step 4 對(duì)逆NSST變換中的每層低頻子帶采用引導(dǎo)濾波進(jìn)行平滑處理，從而得到最終的去噪圖像。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文所提去噪算法在去除加性高斯白噪聲時(shí)的可行性和有效性，我們分別對(duì)自然圖像（Lena、Barbara）、紅外圖像（Plane）及遙感圖像（Pentagon）進(jìn)行測(cè)試，加入均值為零、方差為2的高斯白噪聲。在仿真的實(shí)驗(yàn)中，比較本文所提去噪算法與幾種較為優(yōu)秀的去噪算法：LAWML[22]，NSCT[23]、BiShrink[7]、SURE-LET[24]以及KSVD[25]；然后使用兩個(gè)常用的客觀指標(biāo)（峰值信噪比（PSNR）、平均結(jié)構(gòu)相似性[26]（MSSIM））結(jié)合去噪圖像的視覺效果來綜合評(píng)價(jià)各個(gè)方法的有效性，圖5～圖8和表2～表3為本文的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

表2 不同圖像去噪后峰值的信噪比（PSNR/dB）

圖5～圖8為使用不同去噪方法處理含高斯噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為20的自然圖像（Lena、Barbara）、紅外圖像（Plane）及遙感圖像（Pentagon）得到的去噪結(jié)果圖。盡管沒有明確的客觀方式用于判別去噪圖像的視覺效果，但是通常會(huì)使用兩個(gè)重要的準(zhǔn)則：人工紋理信息感知度與圖像邊緣信息保留度。從圖中可以看出，與其他幾種去噪方法相比，本文方法表現(xiàn)出更加優(yōu)秀的抑制噪聲的性能，去噪圖像的視覺效果更好。在平坦區(qū)域，圖像表面更加平滑；在紋理豐富區(qū)域，保留了更清晰的邊界信息。雖然各個(gè)去噪圖像中都有一定量的人工紋理信息存在，但是本文方法的去噪結(jié)果圖中出現(xiàn)的人工紋理是最少的。

從表2可以看出，PSNR值隨著噪聲方差的增加呈下降的趨勢(shì)。對(duì)不同含噪的圖像，較之其他的方法，本文方法均得到最大PSNR值。相比較于LAWML、SURE-LET算法，所提方法的PSNR值有較大幅度的提高，特別對(duì)于紅外圖像Plane和遙感圖像Pentagon，本文方法獲得的PSNR值的優(yōu)勢(shì)較為明顯；與其余幾種優(yōu)秀的去噪方法相比，PSNR值也都有一定程度的提高，這主要?dú)w功于NSST變換可以更加稀疏地表示圖像、三變量模型可以準(zhǔn)確地對(duì)系數(shù)尺度內(nèi)和尺度間相關(guān)性進(jìn)行建模以及對(duì)重建的低頻系數(shù)進(jìn)行邊緣保持濾波，這些有效策略都為更好地抑制噪聲做出貢獻(xiàn)。

表3 不同方法對(duì)不同圖像去噪后的平均結(jié)構(gòu)相似性（MSSIM）

圖5 方差為20的圖像（Lena）去噪后局部放大圖

MSSIM值可以評(píng)估去噪算法保留邊緣紋理信息的能力，因此我們?cè)趯?shí)驗(yàn)中也使用了MSSIM作為客觀度量。各個(gè)方法處理不同等級(jí)噪聲圖像得到的客觀數(shù)據(jù)如表3所示。從表3中我們不難看出，本文方法的去噪圖像MSSIM值最高，這意味著所提方法保持原圖像結(jié)構(gòu)的能力最好。

6 結(jié)論

如何精確度量NSST系數(shù)間相關(guān)性是基于變換域貝葉斯去噪方法的核心問題之一。為了充分反映NSST系數(shù)之間的相關(guān)性，首先使用三變量廣義球等高指數(shù)對(duì)當(dāng)前系數(shù)、父系數(shù)及兄弟系數(shù)進(jìn)行建模，在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出系數(shù)估計(jì)函數(shù)，最后對(duì)逆變換過程中的低頻子帶系數(shù)進(jìn)行引導(dǎo)濾波平滑處理，從而得到最終的去噪圖像。仿真實(shí)驗(yàn)顯示出本文所提去噪算法不僅使得高斯白噪聲被有效去除而且去噪圖像中帶來了更少的人工紋理信息，較之當(dāng)前幾種優(yōu)秀算法，本文算法在客觀度量及視覺效果上均獲得了更為理想的結(jié)果。

圖6 噪聲方差為20的圖像（Barbara）去噪后局部放大圖

圖7 不同方法去噪后的紅外圖像（Plane）比較（噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為20）

圖8 不同方法去噪后的遙感圖像（Pentagon）比較（噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為20）

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Image Denoising Using a Trivariate Model in the Nonsubsampled Shearlet Transform Domain

SHI Manhong1，LIU Wei2

(1.,,233100,; 2.,,230031,)

We present an efficient algorithm for removing white Gaussian noise from corrupted images by incorporating a nonsubsampled Shearlet transform (NSST)-based trivariate shrinkage filter into a multiresolution guide filter. In the NSST domain, coefficients are modeled as a trivariate Gaussian distribution, accounting for the statistical dependencies among interscale and intrascale transform coefficients. A nonlinear trivariate shrinkage function is derived using a maximum a posteriori (MAP) estimator. To obtain better denoising results, low-frequency sub-bands are smoothed using a multiresolution guide filter. Experimental results show that our algorithm is very effective in eliminating image noise, and performs better than other denoising techniques.

image denoising，nonsubsampled Shearlet transform，trivariate non Gaussian model，guided filter

TN911. 73

A

1001-8891(2017)11-1045-09

2017-04-21；

2017-07-29.

石滿紅（1987-），女（漢族），安徽安慶人，助教，碩士，研究方向計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)。

安徽科技學(xué)院校級(jí)項(xiàng)目（ZRC2016499），安徽省自然基金資助項(xiàng)目（1508085MC55），安徽省教育廳自然科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目（KJ2016A174）。