基于 Nektar++ 譜/hp有限元法的定常對流擴散方程數(shù)值模擬

耿紅鵬++張建銘

摘要： 本文利用 Nektar++ 中的 ADRSolver 求解器求解了二維定常對流擴散方程，并進行了 L2 范數(shù)誤差和 L∞范數(shù)誤差分析，給出了結構網(wǎng)格下 h 收斂和 p 收斂性質(zhì)的圖像。結果表明：該求解器適用于分析此類問題，數(shù)值模擬結果與解析解符合程度高，并且隨著階數(shù)p 的增大，兩種范數(shù)誤差均成指數(shù)級減小。

Abstract： In this paper， 2-D steady convection-diffusion equations is considered using ADRSolver in Nektar++， and the L2 and L∞ norm errors are analyzed， then both of the h-convergence and p-convergence characteristics of the method for this problem are studied， the results show that the ADRSolver in Nektar++ is suitable for this kind of equations， and we get a correct solution to both of the above equations， moreover， with the increase of order p， the two kinds of norm errors decrease exponentially.

關鍵詞： 對流擴散方程；數(shù)值模擬；Nektar++

Key words： convection-diffusion equation；numerical simulation；Nektar++

中圖分類號：O241.82 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2017）08-0218-03

0 引言

偏微分方程中的對流擴散方程（convection-diffusion equation）廣泛存在于計算流體力學（CFD）中，可用于描述多種復雜物理過程如流體介質(zhì)中污染物濃度的擴散、溫度擴散等過程，在數(shù)值分析上占有重要地位，研究對流擴散方程的精確高效的數(shù)值求解方案長期以來是計算流體力學領域的一個重點，如文獻[1-2]利用差分格式求解了對流擴散方程，文獻[3]利用譜嵌入方法求解了對流擴散方程。

譜/hp有限單元法既有經(jīng)典有限元法的幾何靈活性又具有譜方法的精度。這種方法可以應用于計算流體力學中，已經(jīng)取得了很多成果，并且還在不斷發(fā)展中。Nektar++[4]是由英國帝國理工學院和美國猶他大學聯(lián)合開發(fā)的一款基于張量積的開源有限元分析架構，可支持跨平臺運行，最新版本的Nektar++ 4.3.5不但集成了多種求解器（如對流擴散方程求解器、心臟電生理求解器、線彈性求解器、脈沖波求解器、淺水求解器等）而且還可以支持構造新求解器，可拓展性良好。這些求解器利用了高階譜元法作為其數(shù)學思想，為相關的科學及工程計算提供了新的選擇和方法。Nektar++中的ADRSolver可用以求解對流擴散方程。將Nektar++應用于二維定常對流擴散方程數(shù)值模擬，對不同步長h和不同階數(shù)p下的網(wǎng)格的計算結果進行分析，得出了相應的結論，證明了Nektar++中的ADRSolver求解器對算例中的問題是有效的。

1 數(shù)值離散

考慮定常對流擴散方程

p 收斂下L2的范數(shù)誤差和L∞范數(shù)誤差見圖1和圖2；h 收斂下的L2范數(shù)誤差和L∞范數(shù)誤差見圖3和圖4。

4 結論

圖1-圖2顯示了 p 收斂的結果，隨著階數(shù) p 的增大，L2范數(shù)誤差和L∞范數(shù)誤差成指數(shù)級減??；類似地，圖3-圖4顯示了 h 收斂的結果，在階數(shù)p保持不變時，隨著網(wǎng)格的加密（h 減?。?，L2范數(shù)誤差和L∞范數(shù)誤差對數(shù)曲線圖越來越陡，反映了在一定的范圍內(nèi)，網(wǎng)格劃分越疏， p 收斂越慢；網(wǎng)格劃分越密， p 收斂越快，即通過加密網(wǎng)格，此類問題的求解精度可以得到非線性地提高。

參考文獻：

[1]張鐵，王寶艷.解對流占優(yōu)反應擴散問題一致穩(wěn)定的差分格式[J].高校應用數(shù)學學報，2010，25（2）：195-201.

[2]魏劍英.二維定常對流擴散方程的一種高精度緊致差分方法[J].重慶理工大學學報自然科學版，2012，26（2）：112-117.

[3]Elghaoui， M. and Pasquetti， R. A Spectral Embedding Method Applied to the Advection-Diffusion Equation[J].Journal of Computational Physics， 1996， 125（2）：464-476.

[4]Cantwell， C. D. and Moxey， D. and Comerford， A. and Bolis， A. and Rocco， G. and Mengaldo， G. and De Grazia， D. and Yakovlev， S. and Lombard， J. E. and Ekelschot， D. Nektar++： An open-source spectral/hp element framework[J].Computer Physics Communications， 2015， 192：205-219.