推理能力：一種重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

周衛(wèi)東

推理有兩種重要的形態(tài)，即歸納推理和演繹推理。從一系列具體事實概括出一般原理的過程，稱為歸納推理；從普遍性結(jié)論或一般性前提出發(fā)，推出個別或特殊結(jié)論的過程，稱之為演繹推理。歸納推理和演繹推理的教育價值并不相同，因為歸納是被看做數(shù)學(xué)探索和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中的一種特別重要的方法，而演繹推理雖然也是必要的，但這種推理不能用于發(fā)現(xiàn)新命題。本文試以蘇教版六下“用方向和距離確定位置”的教學(xué)為例，具體談?wù)勗谂囵B(yǎng)學(xué)生推理能力方面的一些嘗試。

一、以合情推理為主色調(diào)，培養(yǎng)歸納推理能力

反思傳統(tǒng)教學(xué)，對學(xué)生推理能力的培養(yǎng)往往被認為就是加強邏輯證明的訓(xùn)練，主要形式就是通過演練以掌握更多的證明技巧，這樣的認識是有局限性的?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011）》強調(diào)通過多樣化的活動來培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，在第二學(xué)段中提出“在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理”。本課，教者在培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力方面，做了一定的嘗試。

（一）巧設(shè)情境，為合情推理“鋪陳”

課始，教者展示情境：“在波濤洶涌的大海上，有一艘輪船發(fā)生了故障，它不能行駛也不能發(fā)出任何求救信號。在這萬分危險的時刻，好在大海中有一座燈塔，燈塔上有一位觀察員發(fā)現(xiàn)了這一險情。大家想一想，觀察員會怎么做？”隨著問題給出并給予一定的時間，學(xué)生們充分調(diào)動自己的生活經(jīng)驗，設(shè)身處地想辦法：“我覺得觀察員需要先弄清這艘船的準確位置，然后報告給救援船，讓他們前去開展救援”“作為燈塔上的觀察員，要首先確定一下故障船的位置，然后把他觀察到的位置報告給救援船隊”。在此基礎(chǔ)上，教者再進行角色的重新調(diào)整：“說得好！觀察員自己勢單力薄，他不可能自己去援救，必須呼救，而呼救時必須要報出故障船所在位置，救援船才能準確地進行施救?，F(xiàn)在每位同學(xué)就假設(shè)自己是這個救援船的船長，請你根據(jù)燈塔上觀察員的話音提示在地圖上尋找故障船所在的位置?！?/p>

在“類真實”的情境中，學(xué)生的興趣被充分激活，潛在的使命感、責(zé)任感被催生，這樣的學(xué)習(xí)既有意義又有趣。

（二）厚積素材，為合情推理“描摹”

合情推理不可能憑空而至，必須有豐富的素材做支撐，素材的質(zhì)和量直接決定推理的成效。

在這一階段，教者一共設(shè)計并播放了三段模擬語音信息：“距燈塔15千米”“30°”“北偏東”，每次都給學(xué)生以充裕的時間，分別讓其在地圖上尋找并描點，調(diào)動生活經(jīng)驗，激活數(shù)學(xué)思維，為推理的展開、數(shù)學(xué)本質(zhì)的感悟、數(shù)學(xué)結(jié)論的歸納提供了最大的幫助，這才是教學(xué)所應(yīng)該起到的最上乘的“中介”作用。

播放第一條語音信息“距燈塔15千米”后，引導(dǎo)學(xué)生找到故障船可能的位置，即船可能的位置形成了一個以燈塔為圓心、5厘米長為半徑的圓。然后播放第二條語音信息“30°”，引導(dǎo)學(xué)生尋找船可能的位置。學(xué)生的思路被充分打開，在地圖上表達自己的理解。在認可合理想法的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生聚焦大多數(shù)學(xué)生的思路，理解并形成“共有8種可能”的共識。隨后播放第三條語音信息“北偏東”，并形成一條完整的關(guān)于方向的信息“北偏東30°”。因為理解的不同，催生了較強烈的認知沖突：“X和Y都對”“只有X點是對的”“只有Y點是對的”。圍繞三種想法讓學(xué)生自由表達觀點，在暢所欲言的氛圍和你來我往的辯論中，逐漸形成“X點應(yīng)描述成北偏東30°，而Y點則應(yīng)描述成東偏北30°”，“北偏東”是以北為基準，而“東偏北”是以東為基準。（圖1）

（三）對比提煉，為合情推理“著色”

討論：“Y點在生活中可以描述成東偏北30°，但科學(xué)上并不規(guī)范，那究竟怎樣描述才是科學(xué)、規(guī)范的呢？”“為什么在地理學(xué)中規(guī)定以南北方向為基準呢？”，在充分尊重學(xué)生個性理解的基礎(chǔ)上通過“小貼示”呈現(xiàn)的方式提供科學(xué)原理和相關(guān)規(guī)定。（圖2）

讓學(xué)生明晰“在地圖上，一個點的方位，如果不在東、南、西、北正方向，一般用北偏東、北偏西、南偏西、南偏東四個方位詞來描述”的規(guī)定性。引導(dǎo)學(xué)生明白，故障船所在位置應(yīng)該是X點，而Y點所在的位置應(yīng)從生活化描述“東偏北30°”調(diào)整為“北偏東60°”。進一步組織學(xué)生求同存異、回顧反思，對學(xué)習(xí)過程進行“數(shù)學(xué)化”回應(yīng)，讓學(xué)生明白：今天所學(xué)的確定位置就是要根據(jù)三個條件，即方位、角度、距離來進行，三個條件缺一不可。

在這部分的教學(xué)中，依次通過給學(xué)生提供必要的信息條件，鼓勵他們大膽猜想，并自主探索這艘故障船的可能位置。隨著已知信息量的增加，學(xué)生逐步縮小推測的范圍，直至最后成功確定了故障船的位置。教者把根據(jù)信息確定位置的學(xué)習(xí)任務(wù)交給學(xué)生，讓他們借助已有經(jīng)驗背景中諸如方向、距離、位置、比例尺等相關(guān)知識及方法儲備，在“如何確定故障船只的位置”這一頗具挑戰(zhàn)性的大問題上，學(xué)生在獨立思考與學(xué)習(xí)共同體共同探討的基礎(chǔ)上，有效調(diào)動原有的經(jīng)驗和方法，從而建構(gòu)起屬于自己的認識路徑，同時，也有效地養(yǎng)成了一定的合情推理能力。

二、以演繹推理為輔色調(diào)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

在新知明晰之后，教者精心設(shè)計了“描述救援船的位置”的練習(xí)，層層遞進，在鞏固已有新知的基礎(chǔ)上，著力培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和演繹推理能力。

如果說“B船在哪里”是基本方法的訓(xùn)練，那么“C船在哪里”的追問，則起到一定的變式作用，有效強化“以南北方向為基準”的知識本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生自覺把常犯的錯誤“南偏東65°”或“東偏南65°”調(diào)整到“南偏東25°”上來。

而對“D船在哪里”的研究是此環(huán)節(jié)的匠心獨具之處。先出示第一條信息“燈塔南偏西方向”，讓學(xué)生明白，如果只有這一條信息，只能確定目標船所在一個“面”；增加信息后變成“南偏西45°”，讓學(xué)生思考、嘗試后，學(xué)生的意識更加聚焦，這時已經(jīng)能從“面”中找到目標船所在“線”了；最后，呈現(xiàn)完整信息“燈塔南偏西45°方向12千米”，這時學(xué)生的數(shù)學(xué)意識完全打開，心領(lǐng)神會地在地圖上找到D船所在的“點”。（圖3）

胡適先生說科學(xué)研究的基本方法是“大膽猜想，小心求證”。教者帶領(lǐng)學(xué)生質(zhì)疑并驗證“確定位置的三個必要條件”的教學(xué)環(huán)節(jié)，無疑是觸摸數(shù)學(xué)本質(zhì)的“再往前跨一步”。如同寫作中講究“丹青難描是精神”，對關(guān)鍵素材要深描細寫，通過盡可能多的細節(jié)之處，突出表現(xiàn)人物的“精神氣質(zhì)”，故事的“情感意蘊”，這便是“詳寫一筆”的價值所在。教者在課堂上的“詳寫一筆”采用連續(xù)的追問，讓學(xué)生剛剛建立起的對“確定位置”的認知經(jīng)受考驗。當(dāng)教者抽絲剝繭般引導(dǎo)學(xué)生認識到“確定位置”的過程本質(zhì)其實就是“由面到線，再到點”的目標精確的過程，相信一定可以給學(xué)生帶來視覺、思維乃至心靈的震撼。

這一“得意之作”，引領(lǐng)我們審視一個重要的教學(xué)理念：演繹推理教學(xué)中的靈魂與核心究竟在哪里？答案顯而易見：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們最應(yīng)該關(guān)注的是引導(dǎo)學(xué)生準確把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，并促進學(xué)生對數(shù)學(xué)方法的思考；數(shù)學(xué)教學(xué)的高明之處在于既要能“遇河搭橋”，更要能“過河拆橋”，即在關(guān)鍵時刻要善于想辦法讓學(xué)生擺脫“具體情境”的干擾和依附，變操作技能為心智技能。

三、以辯證施教為調(diào)色盤，培養(yǎng)綜合推理能力

如何處理好歸納推理與演繹推理教學(xué)的關(guān)系？史寧中教授說得好：“多年來，我國基礎(chǔ)教育重在學(xué)生思維能力的培養(yǎng)上，而弱于歸納能力的訓(xùn)練，給創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)帶來了嚴重的障礙，所以，我們應(yīng)更為關(guān)注對學(xué)生歸納推理能力的培養(yǎng)?！?/p>

誠哉斯言，在平時教學(xué)中，在大力倡導(dǎo)“合情推理教學(xué)”的當(dāng)下，我們要防止一哄而上，一刀切、“運動式”的教學(xué)改革。

波利亞告誡我們：“論證推理是可靠的、無可置辯的和終決的。合情推理是冒風(fēng)險的、有爭議的和暫時的?！饼嫾尤R認為：“演繹推理用于證明，合情推理用于發(fā)明。”因而，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，兩種推理之間的運用應(yīng)該是相輔相成、相得益彰的。過分倚重演繹，輕歸納、類比，只滿足于證明現(xiàn)成結(jié)論，勢必會導(dǎo)致學(xué)生很少經(jīng)歷探索結(jié)論，嚴重阻礙學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。過分倚重合情推理忽視嚴格的演繹證明，則會使學(xué)生喪失嚴謹思考問題的能力，難以形成言必有據(jù)、合乎邏輯的數(shù)學(xué)意識。在教學(xué)實踐中，我們應(yīng)該更多地創(chuàng)設(shè)情境，創(chuàng)造機會，讓合情推理和演繹推理“見面”，在一個綜合的環(huán)境中促進推理能力循序漸進，協(xié)調(diào)發(fā)展。在小學(xué)中高年級我們不妨選擇合適的內(nèi)容，共同滲透合情推理與演繹推理，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的猜想、證明的過程，感受推理的價值。

（作者單位：江蘇省南京市長江路小學(xué) 本專輯責(zé)任編輯：王彬）