在合情與演繹推理中深化概念教學(xué)

吳亞娟

在合情與演繹推理中深化概念教學(xué)

吳亞娟

數(shù)學(xué)概念是人對(duì)客觀事物中有關(guān)數(shù)量關(guān)系和空間形式方面本質(zhì)屬性的抽象。它既是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，又是數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn)，更是發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)概念教學(xué)常用的兩種推理模式，即合情推理與演繹推理，雖然是兩種不同的推理路徑，但它們除了在不同的概念建構(gòu)中因其自身的特質(zhì)各自發(fā)揮著應(yīng)有的作用外，兩種推理路徑在概念的建構(gòu)中又是相輔相成的。

概念教學(xué)；合情推理；演繹推理

在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，學(xué)生思維能力的培養(yǎng)既離不開感性的合情推理，也離不開理性的演繹推理。數(shù)學(xué)推理模式本質(zhì)上有兩種，即演繹推理與合情推理，在一般情況下，人們是借助合情推理“預(yù)測(cè)”數(shù)學(xué)結(jié)果，借助演繹推理“驗(yàn)證”數(shù)學(xué)結(jié)果。演繹推理和合情推理雖不相同，但是相輔相成的兩種推理，兩者不能人為割裂。

一、合情推理在概念建構(gòu)中的條件解析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2011版課標(biāo)”）中明確：歸納和類比是合情推理的主要形式，因此，小學(xué)階段有相當(dāng)一部分的概念必須通過(guò)比較、類比、聯(lián)想、歸納等創(chuàng)造性的思考來(lái)培養(yǎng)合情推理能力。其次，鑒于小學(xué)生的年齡與認(rèn)知特點(diǎn)，教材中的概念教學(xué)大量地采用了數(shù)學(xué)猜想、枚舉歸納、類比遷移等合情推理的方法。

1.合情在概念從特殊到一般時(shí)。

概念教學(xué)由過(guò)程開始，然后轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)象的認(rèn)知，因此，我們不應(yīng)把概念過(guò)早推給學(xué)生，而是應(yīng)該遵循從特殊到一般、從具體到抽象、從過(guò)程到結(jié)果的原則，逐步幫助學(xué)生明晰概念。如教學(xué)蘇教版五下《分?jǐn)?shù)的意義》時(shí)，我們必須通過(guò)列舉大量日常生活中平均分配的實(shí)例來(lái)說(shuō)明“平均分”，抽象“單位1”，從而自然而然地引出“分?jǐn)?shù)”的概念。整個(gè)教學(xué)過(guò)程，教者充分運(yùn)用合情推理從特殊到一般的模式，通過(guò)舉例、歸納、抽象出“分?jǐn)?shù)”的本質(zhì)概念，同時(shí)，借助“分?jǐn)?shù)”概念的建構(gòu)，學(xué)生的抽象概括能力、合情推理能力、總結(jié)提升能力都得到了有效提高。

2.合情在概念從特殊到特殊時(shí)。

當(dāng)某一概念必須根據(jù)兩個(gè)不同對(duì)象的某些方面（如特性、關(guān)系、屬性等）的相同或相似點(diǎn)，來(lái)推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡苡械南嗤蛳嗨频乃季S形式時(shí)，從特殊到特殊的合情推理就應(yīng)運(yùn)而生了。如在教學(xué)蘇教版六上《百分?jǐn)?shù)》一課時(shí)，當(dāng)教者借助大量的生活經(jīng)驗(yàn)引入百分?jǐn)?shù)的概念后，又通過(guò)遷移舊知，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)了百分?jǐn)?shù)的外在屬性，再通過(guò)回顧分?jǐn)?shù)意義，搭建分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，然后從具體到抽象，逐步完善百分?jǐn)?shù)的概念。但理解百分?jǐn)?shù)的概念如果就此打住，那么，這堂課就成了為教概念而教概念了。因此，教者啟發(fā)學(xué)生思考：百分?jǐn)?shù)定義中包含幾個(gè)數(shù)？表示兩個(gè)數(shù)之間怎樣的關(guān)系？接著出示例子“A是B的300﹪”，并將此例子與 “A是B的3倍”“A是B的”“A∶B=3∶1”等進(jìn)行對(duì)比，從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系。最后得出結(jié)論：百分?jǐn)?shù)與整數(shù)、分?jǐn)?shù)和比一樣，可以用來(lái)表示兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，所以百分?jǐn)?shù)也叫百分率或百分比。至此，百分?jǐn)?shù)的概念就真正建構(gòu)得非常完整而又深刻了。整個(gè)教學(xué)過(guò)程，教者通過(guò)類比的合情推理，把概括而得的百分?jǐn)?shù)的本質(zhì)屬性推廣到整數(shù)、分?jǐn)?shù)、比等同類概念中去，它既是百分?jǐn)?shù)概念的運(yùn)用過(guò)程，又是一個(gè)在高層次上抽象概括的過(guò)程，最后把新獲得的百分?jǐn)?shù)的概念納入到同一類別的概念體系中，建立新概念與原有概念之間的聯(lián)系，達(dá)到概念教學(xué)的高級(jí)階段。

3.合情在概念從猜想到驗(yàn)證時(shí)。

“沒(méi)有大膽的猜想，就沒(méi)有偉大的發(fā)現(xiàn)”，因此有些概念在建構(gòu)的過(guò)程中必須要通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、歸納等手段提出猜想。教師應(yīng)該積極創(chuàng)設(shè)條件，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，縝密驗(yàn)證，讓思維插上合情推理的翅膀。

例如在教學(xué)蘇教版五下“能被3整除的數(shù)的特征”時(shí)，學(xué)生易受能被2或5整除的數(shù)的特征影響，做出“個(gè)位是3的數(shù)都能被3整除”的猜想。因此，教學(xué)時(shí)，教師分別出示下列幾組數(shù)：（1）256、46、113、176、6、359、896； （2）21、18、129、36、243、234、342。當(dāng)驗(yàn)證完第一組后，學(xué)生馬上意識(shí)到原先的猜想是錯(cuò)誤的，心中充滿疑惑的同時(shí)，探求新知的欲望油然而生。這時(shí)，教師馬上引導(dǎo)學(xué)生去觀察、驗(yàn)證第二組，看看這些數(shù)能否被3整除，這些數(shù)又有怎樣的特征。由此，新的猜想誕生了：可能與各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的和有關(guān)，于是，第二輪驗(yàn)證又如火如荼地開始了。整個(gè)教學(xué)過(guò)程，教者通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想、舉例驗(yàn)證、總結(jié)提升，使合情推理的思維過(guò)程貫穿于教學(xué)的始終，“能被3整除的數(shù)的特征”這一抽象的概念在一次次的猜想、驗(yàn)證、推理的過(guò)程中清晰建構(gòu)。

二、演繹推理在概念建構(gòu)中的條件解析

演繹推理是從一般到特殊的推理，雖然，小學(xué)階段以合情推理為主，但在2011版課標(biāo)中明確提出，第三學(xué)段有必要引導(dǎo)學(xué)生“體會(huì)證明的必要性，發(fā)展初步的演繹推理能力”。特別是學(xué)生在遇到一些內(nèi)容體系邏輯性較強(qiáng)、知識(shí)結(jié)構(gòu)高度抽象的概念時(shí)，演繹推理能發(fā)揮合情推理所不能起到的作用。

1．演繹在概念內(nèi)容體系邏輯較強(qiáng)時(shí)。

當(dāng)概念邏輯性較強(qiáng)時(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程都是以演繹的方法展開的，這時(shí)學(xué)生既不必要完全經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)也不可能成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的唯一形式。這時(shí)，演繹推理則是展開數(shù)學(xué)知識(shí)體系的主要形式。如在教學(xué)蘇教版六上《長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)》時(shí)，我們一般是先引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、測(cè)量、比較得出長(zhǎng)方體有6個(gè)面、8個(gè)頂點(diǎn)、12條棱，并且每個(gè)面都是長(zhǎng)方形，其中相對(duì)的兩個(gè)面是完全相同的，這是從面和棱的角度認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體。在此基礎(chǔ)上，用同樣的方法認(rèn)識(shí)正方體的特征。接下來(lái)，如何在演繹中尋求長(zhǎng)方體和正方體的關(guān)系，從而打通相互間的邏輯體系，就顯得尤為重要了，因此“正方體具有長(zhǎng)方體的所有特征嗎？”這一問(wèn)題，就引發(fā)學(xué)生借助知識(shí)之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行深入思考，而學(xué)生的思考過(guò)程以及所獲得的結(jié)論就是一個(gè)演繹推理過(guò)程。這一基于知識(shí)本質(zhì)之間的推理，不僅有助于認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體和正方體的特征，而且能進(jìn)一步厘清兩個(gè)概念之間的邏輯關(guān)系，從而培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力。

2．演繹在概念知識(shí)結(jié)構(gòu)高度抽象時(shí)。

實(shí)踐表明，概念的本質(zhì)特征越多，學(xué)習(xí)越容易，非本質(zhì)特征越多，學(xué)習(xí)越困難，這時(shí)，演繹推理就能在一定程度上發(fā)揮其應(yīng)有的作用。比如在教學(xué)蘇教版五下《圓的認(rèn)識(shí)》時(shí)，我們應(yīng)讓學(xué)生知道：在同一個(gè)圓中，半徑的長(zhǎng)度都相等，直徑的長(zhǎng)度都相等，直徑的長(zhǎng)度等于半徑的2倍。如果教學(xué)時(shí)，我們單純地通過(guò)量一量、比一比，或者借助多媒體演示得出結(jié)論，那么，學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法的感受和抽象能力的培養(yǎng)上，就屬于較低層次。由此，教學(xué)時(shí)，我們可以通過(guò)畫、量、對(duì)比、歸納得出半徑的長(zhǎng)度都相等，然后可以根據(jù)直徑和半徑的定義推理得出：直徑的長(zhǎng)度是半徑的2倍，接著根據(jù)“等量的同倍量相等”，由上述兩個(gè)結(jié)論通過(guò)演繹推理得出：直徑的長(zhǎng)度都相等。教學(xué)中，如果我們能像上述教學(xué)過(guò)程一樣契合實(shí)際地正確把握這種結(jié)構(gòu)，用演繹推理的手段組織學(xué)習(xí)過(guò)程，不但能幫助學(xué)生掌握思考方法，理解高度抽象的概念內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)，還能提高學(xué)生的模式辨認(rèn)能力，縮短推理過(guò)程，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性、抽象性、邏輯性，并較好地發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力。

當(dāng)然，在概念教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力，不僅要注意層次性，而且要關(guān)注學(xué)生的差異，要使每個(gè)學(xué)生都能體會(huì)證明的必要性，從而使學(xué)習(xí)演繹推理成為學(xué)生的自覺(jué)要求，克服“為了證明而證明”的盲目性。

三、合情與演繹的有機(jī)融合在概念建構(gòu)中的條件解析

2011版課標(biāo)對(duì)推理能力的內(nèi)涵作了如下闡述：“能通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例。”這就是說(shuō)，學(xué)生獲得數(shù)學(xué)結(jié)論應(yīng)當(dāng)經(jīng)歷合情推理到演繹推理的過(guò)程，這雖然是兩種不同的推理路徑，但它們除了在不同的概念建構(gòu)中因其自身的特質(zhì)各自發(fā)揮著應(yīng)有的作用外，兩種推理路徑在概念的建構(gòu)中又是相輔相成的。

如在教學(xué)蘇教版四下“三角形內(nèi)角和”一課時(shí)，教師先讓學(xué)生匯報(bào)兩種三角板每個(gè)角的度數(shù)，再說(shuō)出每個(gè)三角板三個(gè)內(nèi)角的和，引發(fā)學(xué)生猜想：“你認(rèn)為每個(gè)三角形的內(nèi)角和是多少？”學(xué)生紛紛猜測(cè)是180°，接著引導(dǎo)學(xué)生小組合作，任意剪出不同的三角形，并把每個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角剪下來(lái)拼在一起，學(xué)生通過(guò)觀察驚奇地發(fā)現(xiàn)，任意三角形三個(gè)內(nèi)角拼在一起都是平角，至此“三角形內(nèi)角和是180度”這個(gè)結(jié)論自然而然地被學(xué)生接受了，接著讓學(xué)生獨(dú)立計(jì)算“已知三角形的兩個(gè)角分別是72°和34°，求出第三個(gè)角”的練習(xí)，再要求學(xué)生說(shuō)說(shuō)自己計(jì)算的根據(jù)，最后再讓學(xué)生量一量算出的角度數(shù)，進(jìn)一步感受結(jié)論的正確性。整個(gè)教學(xué)過(guò)程，教者先引導(dǎo)學(xué)生在觀察、分析、類比的基礎(chǔ)上，得出符合猜想的合情推理，然后讓學(xué)生自行計(jì)算、度量，演繹推理出結(jié)論的正確性。我們不難發(fā)現(xiàn)，這兩種推理方法的有機(jī)結(jié)合，學(xué)生更好地掌握了新知識(shí)，鍛煉了學(xué)生的推理能力，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

在概念的建構(gòu)過(guò)程中，如果我們能準(zhǔn)確把握每種推理路徑的實(shí)質(zhì)，并在各自的領(lǐng)域發(fā)揮其應(yīng)有的作用，有時(shí)為了需要還能把這兩種推理路徑有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，那就能使我們的概念教學(xué)，甚至是整個(gè)數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程達(dá)到一個(gè)知識(shí)與能力、思想與方法、過(guò)程與結(jié)果的完美統(tǒng)一。

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1005-6009（2017）81-0035-03

吳亞娟，江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)橫林實(shí)驗(yàn)小學(xué)（江蘇常州，213161）校長(zhǎng)，高級(jí)教師，常州市骨干教師。