對(duì)裂項(xiàng)相消法求和命題形式的歸納

■天津市武清區(qū)梅廠中學(xué)高三(1)班

對(duì)裂項(xiàng)相消法求和命題形式的歸納

■天津市武清區(qū)梅廠中學(xué)高三(1)班李博文

裂項(xiàng)相消法求和就是把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求得其和。裂項(xiàng)相消法求和是歷年高考的重點(diǎn),命題角度凸顯靈活多變,在解題中要善于利用裂項(xiàng)相消的基本思想,變換數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,達(dá)到求解目的。

利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng):

(1)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),也有可能前面剩兩項(xiàng),后面也剩兩項(xiàng);(2)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后,有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù),使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等。例如,若{an}是等差數(shù)列,則

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn滿足S2n-(n2+n-3)· Sn-3(n2+n)=0,n∈N*。

(1)求a1的值;

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

解析：(1)已知S2n-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*。

又an為正數(shù),所以a1=2。

(2)由S2n-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)= 0,n∈N*,可得(Sn+3)(Sn-n2-n)=0,則Sn=n2+n或Sn=-3。

又?jǐn)?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),所以Sn= n2+n,Sn-1=(n-1)2+(n-1),所以當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+ (n-1)]=2n。

又a1=2=2×1,所以an=2n,n∈N*。

已知函數(shù)f(x)=xα的圖像過(guò)點(diǎn)(4,2),令,n∈N*。記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2014= ( )。

解析：由f4()=2,可得4α=2,解得α=,則f(x)=。

所以S2014=a1+a2+a3+…+a2014=

正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:S2n-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0。

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;

解析：(1)由S2n-(n2+n-1)Sn-(n2+ n)=0,得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0。

由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列,所以Sn＞0,Sn= n2+n。于是a1=S1=2。

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n。

綜上,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n。

(2)由an=2n,得

所以Tn=

(責(zé)任編輯 王福華)