細(xì)致觀察，大膽探究
——例談三角最值問(wèn)題的幾種求法

☉江蘇省灌云高級(jí)中學(xué) 徐靜

細(xì)致觀察，大膽探究
——例談三角最值問(wèn)題的幾種求法

☉江蘇省灌云高級(jí)中學(xué) 徐靜

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)點(diǎn)，由于其具有較強(qiáng)的靈活性，能全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)與能力水平，因此一直是各類考試的熱點(diǎn)．而三角最值問(wèn)題是函數(shù)最值問(wèn)題的重要內(nèi)容，從近幾年的各類競(jìng)賽來(lái)看，頗受命題者的青睞，故應(yīng)引起大家足夠的重視．筆者通過(guò)平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐，將此類問(wèn)題的一些想法整理如下，供大家參考．

一、利用基本不等式

本題條件描述的是兩個(gè)角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的關(guān)系，而且部分還跟兩角和的余弦公式有關(guān)，可以將條件展開(kāi)觀察一下，所要求解的tanα與化簡(jiǎn)后的式子中的sinα，cosα是商數(shù)關(guān)系，我們可以進(jìn)行“弦化切”的進(jìn)一步化簡(jiǎn)．

解：由條件可得cosαcosβ-sinαsinβ=sinα sinβ，

通過(guò)化簡(jiǎn)整理后發(fā)現(xiàn)，此題適合用基本不等式來(lái)求最值，只是要注意合理地拆添項(xiàng)、湊常數(shù)，同時(shí)也要注意等號(hào)成立的條件，否則可能會(huì)陷入誤區(qū)，得出錯(cuò)解．

對(duì)于形如y=sinxcos2x（或y=cosxsin2x）的三角式子求最值，也經(jīng)常構(gòu)造出“和一定”的形式，借助基本不等式．

例2設(shè)0＜x＜π，求函數(shù)的最大值．

解：先把函數(shù)式化為半角形式，得y=2cos2兩邊平方，得

y2=4cos4當(dāng)且僅時(shí)，等號(hào)成立．

二、利用輔助角公式

本題溫和，易于入手.輔助角公式同時(shí)也是高考的核心考點(diǎn)，體現(xiàn)出競(jìng)賽源于高考的原則.降冪公式、輔助角公式的靈活運(yùn)用是解決此題的關(guān)鍵.

三、利用二次函數(shù)

對(duì)于形如y=asin2x+bsinx+c（或y=asin2x+bcosx+c）（a≠0）的式子求值域，經(jīng)常用二次函數(shù)解決.我們可將它視為拋物線y=at2+bt+c（a≠0），在t=sinx∈［-1，1］時(shí)函數(shù)值的范圍，當(dāng)處達(dá)到一個(gè)最值，另一最值在“-1”和“1”之中距“較遠(yuǎn)的一點(diǎn)達(dá)到；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間［-1，1］上單調(diào)，其最值分別在兩端點(diǎn)處取到.

四、利用三角換元

若三角式子中含有根式，則這類問(wèn)題常常利用三角換元解決.這類問(wèn)題內(nèi)涵豐富，靈活多變，涉及知識(shí)點(diǎn)多，技巧性及綜合性強(qiáng)，解法靈活且多種多樣，對(duì)能力要求較高.

解：令t=sinx（-1≤t≤1），

又-1≤t≤1，故-1≤t≤1.

五、利用導(dǎo)數(shù)

故函數(shù)f（x）的取值范圍為［0，2］.

對(duì)于非常規(guī)型函數(shù)，求導(dǎo)是求解最值的一種利器，

本題很好地體現(xiàn)了這一點(diǎn).

六、利用數(shù)形結(jié)合

解：函數(shù)f（t，θ）=（t-cosθ）2+（t-sinθ）2可以看做點(diǎn)（t，t）和點(diǎn)（cosθ，sinθ）的距離的平方.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)f（t，θ）=（t-cosθ）2+（t-sinθ）2表示直線y= x上的點(diǎn)與單位圓x2+y2=1（第四象限，含端點(diǎn)）上的點(diǎn)之間的距離的平方，如圖1所示.由圖1知，點(diǎn)（1，0）或（0，-1）到直線y=x的距離最小，最小值到直線y=x的距離最大，最大值為

圖1

所以f（t，θ）min=

通過(guò)對(duì)所求函數(shù)的表達(dá)式的觀察，發(fā)現(xiàn)表達(dá)式具有較強(qiáng)的幾何意義，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)形聯(lián)姻，將抽象的問(wèn)題化為直觀的問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解.

七、利用降冪

形如y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x+d的一類三角題，先降冪，再利用輔助角公式解決，即化為

例8求函數(shù)y=3sin2x-2sinxcosx-cos2x的最值.

八、換元法

形如y=a（sinx±cosx）+bsinxcosx+c（或同時(shí)含有sinx± cosx與sinxcosx的函數(shù)），對(duì)于這類函數(shù)，我們可以用換元法，即令，解出sinxcosx=從而轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)的值域問(wèn)題.

例10求函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.

通過(guò)對(duì)以上例題的分析，對(duì)涉及三角的最值問(wèn)題，雖然具有一定的靈活多變，但只要我們能結(jié)合題意，從實(shí)際出發(fā)，選取恰當(dāng)?shù)姆椒?，就能使?wèn)題得到較好的解決.教師在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，要注重學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法的生成、發(fā)展、內(nèi)化、升華過(guò)程，以達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果.這樣，就能成功破譯各類試題的命題密碼，并達(dá)到提高學(xué)生的各項(xiàng)能力和綜合素質(zhì)的終極目標(biāo).