圓錐曲線的定義在解題中的運用

☉江蘇省常熟市尚湖高級中學 王梅芳

圓錐曲線的定義在解題中的運用

☉江蘇省常熟市尚湖高級中學 王梅芳

定義是揭示事物本質(zhì)屬性的思想形式，面對一個數(shù)學對象，回顧它的定義，常常是解決問題的銳利武器．圓錐曲線的第二定義體現(xiàn)了“形”的統(tǒng)一，第一定義則體現(xiàn)了“質(zhì)”的區(qū)別．兩種定義不僅在解題中應(yīng)用廣泛，而且具有很大的靈活性．第一種定義和第二種定義的靈活轉(zhuǎn)換常常是打開解析幾何思路的鑰匙，在題目中挖掘這些隱含信息有助于解題．下面我們一起來看看圓錐“定義”在求解圓錐曲線問題中有哪些常規(guī)應(yīng)用．

一、利用圓錐曲線定義解含絕對值不等式

我們知道，橢圓類不等式：|x-c|+|x+c|≤2a（a＞c）的解為-a≤x≤a；|x-c|+|x+c|≥2a（a＞c）的解為x≤-a或x≥a.類似的，雙曲線類不等式：||x-c|-|x+c||≥2a（a＜c）的解為x≤-a或x≥a；||x-c|-|x+c||≤2a（a＜c）的解為-a≤x≤a.利用圓錐曲線定義可以解決這類絕對值不等式問題.

（一）橢圓類不等式

1.形如|MF1|+|MF2|≤2a（|F1F2|＜2a）

它表示橢圓類不等式，它的解集為｛x|xA≤x≤xB｝.

2.形如|MF1|+|MF2|≥2a（|F1F2|＜2a）

它表示橢圓類不等式，它的解集為｛x|x≤xA或x≥xB｝.

例1不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集為________．

此題為橢圓類不等式．問題關(guān)鍵：用橢圓的定義求出它的中心、頂點即可．

解：根據(jù)橢圓類不等式2a=5，2c=1-（-2）=3，“中心”

所以不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集為｛x|x≤-3或x≥2｝．

3.特別地，當|F1F2|=m，|MF1|+|MF2|=m（常數(shù)）

它不再表示橢圓，而動點M是線段F1F2上的任一點，而不等式|MF1|+|MF2|＜m表示三邊不能構(gòu)成三角形，所以不等式的解集為?；

|MF1|+|MF2|≥m表示三邊可構(gòu)成三角形或線段上任意一點，用三角形兩邊之和大于第三邊推導，所以不等式的解集為R．

（二）雙曲線類不等式

1.形如||MF1|-|MF2||≤2a（|F1F2|＞2a）

它表示雙曲線類不等式，它的解集為｛x|xA≤x≤xB｝.

2.形如||MF1|-|MF2||≥2a（|F1F2|＞2a）

它表示雙曲線類不等式，它的解集為｛x|x≤xA或x≥xB｝.

例2已知函數(shù)f（x）=|x-m|，其中m＞1.

（1）略.

（2）已知關(guān)于x的不等式|f（2x+m）-2f（x）|≤2的解集為｛x|1≤x≤2｝，求m的值．

這是一道關(guān)于絕對值的函數(shù)題，變形后變?yōu)楹瑓?shù)的絕對值不等式，觀察到此題是雙曲線類不等式，不妨找“中心”、找“頂點”，與已知解集采用數(shù)形結(jié)合可將問題解決.

解：（1）略.

（2）因為f（x）=|x-m|，其中m＞1，

所以將不等式|f（2x+m）-2f（x）|≤2轉(zhuǎn)化為||x|-|xm||≤1.

根據(jù)雙曲線類不等式2a=1，2c=m-0，“中心”為x=

xA，所以原不等式的解集為

由題的條件可知，不等式的解集為｛x|1≤x≤2｝，

3.形如|MF1|-|MF2|≤2a或|MF1|-|MF2|≥2a（|F1F2|＞2a）

它們表示雙曲線類不等式的右支，它們的解集分別為｛x|x≤xB｝或｛x|x≥xB｝．

例3不等式|x+2|-|x|≤1的解集為________．

此類絕對值不等式是雙曲線類不等式．因式子|x+2|長度較長，-2＜0，因此可判斷雙曲線類不等式的右支．解題的關(guān)鍵是求“中心”和“頂點”．

解：因“左焦點”-2在前，|x+2|長度比較長，因此本題屬于雙曲線類不等式的右支．

根據(jù)雙曲線類不等式2a=1，2c=0-（-2）=2，“中心”為

由圓錐曲線定義知，xF1=-2，xF2=0，xA=-1

4．形如|MF2|-|MF1|≤2a或|MF2|-|MF1|≥2a（|F1F2|＞2a）

它們表示雙曲線類不等式的左支，它們的解集分別為｛x|x≥xA｝或｛x|x≤xA｝．

5．特別地，當|F1F2|=m，||MF1|-|MF2||=m（常數(shù)）

它不再表示雙曲線，而動點M表示以F1，F(xiàn)2為頂點的射線，簡稱為“兩邊開”．在涉及到不等式||MF1|-|MF2||≤m表示三邊可構(gòu)成三角形或線段上任意一點，用三角形兩邊之差小于第三邊推導，所以不等式的解集為R；不等式||MF1|-|MF2||＞m表示三邊不能構(gòu)成三角形，所以不等式的解集為?．

（三）拋物線類不等式

形如|MF|≤d或|MF|≥d表示拋物線類不等式．由于拋物線只有一個頂點，所以不等式的解集顯得簡單些，結(jié)果要么左邊開要么右邊開．

二、求焦點三角形的面積

分析：首先設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，用余弦定理求得m與n之間的關(guān)系，再根據(jù)橢圓定義用配方法求得mn的值，代入三角形面積公式問題即可解決．

解：由題意得a=4，c=3，所以|F1F2|=2c=6．

設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，由余弦定理得

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2，

即6=m2-n2-mn，所以36=（m+n）2-3mn．

由橢圓定義得m+n=2a=8，所以36=64-3mn，所以mn=

三、利用圓錐曲線定義求離心率

例5F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，過F2作一條直線交橢圓于P，Q兩點，使PF1⊥PQ，且|PF1|=|PQ|，求橢圓的離心率e．

我們在解有關(guān)圓錐曲線問題時，如果題目涉及焦點、準線方程、離心率、圓錐曲線上的點這四個條件中的三個，我們一般就要聯(lián)想到圓錐曲線定義，有時甚至只知道其中的兩個條件，也可以聯(lián)想到圓錐曲線定義．靈活巧妙地運用圓錐曲線的定義，將會帶給我們意想不到的方便和簡單．

四、利用圓錐曲線的定義求最值

例6如圖1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點，M（6，6）為雙曲線內(nèi)部的一點，P為雙曲線右支上的一點，求：

（1）|PM|+|PF2|的最小值；

圖1

（其中|PH|為P到右準線l的距離）

說明：（1）和式“|PM|+|PF2|”與雙曲線第一定義有質(zhì)的區(qū)別，能否轉(zhuǎn)化為“差”是解題的關(guān)鍵；（2）關(guān)鍵在于處理|PF2|的系數(shù)，于是聯(lián)想到，可用第二定義轉(zhuǎn)化．

五、求線段（或線段和）的長度

A.bB.aC.ebD.ea

分析：首先根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)及等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)將|PF2|轉(zhuǎn)化為|PC|，再根據(jù)三角形中位線定理和雙曲線定義，問題即可解決.

解：延長F2B交PF1于C，則可知PB既為△PF2C角平分線又為△PF2C高線，所以△PF2C為等腰三角形，所以|PF2|= |PC|且|BF2|=|BC|，所以O(shè)P為△CF1F2的中位線，則|OB|=由雙曲線定義知，|PF1|-|PF2|=2a，所以，故選B.

六、利用圓錐曲線的定義求動點軌跡方程

求動點軌跡方程，若動點運動規(guī)律或幾何約束等式符合某一圓錐曲線的定義時，可直接確定其標準方程，并得出待定系數(shù)之值，從而直接得出結(jié)果．

例8過原點的橢圓的一個焦點為F1（1，0），長軸長為4，求橢圓中心的軌跡．

解：設(shè)橢圓中心為M（x，y），由于橢圓的一個焦點為F1（1，0），則橢圓的另一個焦點為F2（2x-1，2y），再由橢圓的定義知，|OF1|+|OF2|=4，即即（除去點（-1，0））.

此題看似簡單，卻是一道頗費思量的題目，當題中條件不易直接得出結(jié)論時，回歸定義卻是最好的辦法．

七、求直線的斜率（或傾斜角）

例9已知直線l：y=k（x-2）（k＞0）與拋物線C：y2=8x交于A，B兩點，F(xiàn)為拋物線C的焦點.若|AF|=2|BF|，求k的值.

分析：首先根據(jù)拋物線的定義將|AF|，|BF|轉(zhuǎn)化為點A，B到準線的距離，再利用相似三角形和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得直線的斜率.

解：因為直線l過定點（2，0），那拋物線的焦點F，所以直線經(jīng)過拋物線的焦點.分別過點B，A作拋物線準線的垂線，垂足分別為B′，A′，過B作AA′的垂線，垂足為D.設(shè)Rt△ABD，|BF|=m，因為|AF|=2|BF|，所以|AF|=2m.由拋物線定義得|BB′|=m，|AA′|=2m.在Rt△ABD中，|AD|=m，|AB|=3m.設(shè)直線l的傾斜角為θ，則θ=∠BAD.因為cosθ=也即直線的斜率為

圖2

八、利用圓錐曲線定義巧解實際問題

圖3

圖4

實際應(yīng)用問題要將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型來解決.

解：由題意知，|MA|+|MB|=8＞4=|BC|，故點M在以B，C為焦點的橢圓上.如圖4，建立平面直角坐標系xOy，則B（-2，0），C（2，0），所以點M的軌跡方程為.過M作MN⊥l于 N，則由橢圓的第二定義可知，|MN|=2|MC|.依題意知求|MA|+2|MC|的最小值，即求|MA|+|MN|的最小值.由平面幾何知識可知，當M，A，N共線時，|MA|+|MN|最小.所以，即變電房應(yīng)建在A村的正東方向且距A村

本解法綜合考查了橢圓的第一定義以及標準方程，并利用橢圓的第二定義求最小值問題，特別是第二定義的應(yīng)用，并借助了數(shù)形結(jié)合使問題得以解決.

從上面我們可以看出：運用圓錐曲線的定義解題，通過數(shù)形結(jié)合，不僅能抓住問題的本質(zhì)，還能避開復雜的運算，使問題巧妙獲解．要想利用定義解決問題，我們一定還要充分利用初中所學的平面幾何的有關(guān)知識來輔助證明和解答.應(yīng)用比較多的，如等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)、三角形中位線定理、線段垂直平分線的性質(zhì)定理、角平分線的性質(zhì)定理、勾股定理、相似三角形、特殊四邊形的性質(zhì)等知識.高中階段主要和平面向量中向量共線的充要條件、圓的定義等知識結(jié)合使用.我們還會應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想來有效地處理題目中所涉及的多種元素之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.