例談函數(shù)零點(diǎn)問題的解題策略

☉江蘇省南京市秦淮高級(jí)中學(xué) 張?zhí)m香

例談函數(shù)零點(diǎn)問題的解題策略

☉江蘇省南京市秦淮高級(jí)中學(xué) 張?zhí)m香

函數(shù)和導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是近幾年的高考數(shù)學(xué)壓軸題．函數(shù)問題常常需要導(dǎo)數(shù)的幫助來求解，而零點(diǎn)問題是導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用中最為核心的問題．筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)：學(xué)生對(duì)于處理較復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)感到異常困惑和力不從心．為此筆者對(duì)函數(shù)導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)問題的處理策略進(jìn)行了反思和總結(jié)，以突破教學(xué)難點(diǎn)和教學(xué)瓶頸．

一、函數(shù)中的無零點(diǎn)問題

此類函數(shù)問題的零點(diǎn)不存在，根據(jù)導(dǎo)數(shù)恒大于0或恒小于0可得函數(shù)是單調(diào)的．

解：由題意可知，

?G′（x）=x［x2-3ax-（a2+5a-2）］．

令g（x）=x2-3ax-（a2+5a-2），g（x）=0的判別式Δ=13a2+ 20a-8．

令h（a）=13a2+20a-8，因?yàn)閷?duì)稱軸h（-1）=13·（-1）2+20·（-1）-8＜0，h（0）=-8＜0，

所以h（a）＜0，a∈［-1，0］，所以g（x）＞0恒成立，

所以G（x）在區(qū)間［-2，0］上遞減；在區(qū)間［0，2］上遞增．

［G（x）］max=max｛G（-2），G（2）｝，因?yàn)镚（2）-G（-2）= -16a≥0，

［G（x）］max=G（2）=-2a2-18a≤16．故b≥16．

二、無法判斷函數(shù)零點(diǎn)是否存在

有些函數(shù)比較復(fù)雜，摻雜了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)或反比例函數(shù)，無法判斷出零點(diǎn)是否存在，此時(shí)可以分離成兩個(gè)函數(shù)分析．

例2設(shè)f（x）=（x+1）eax（其中a≠0），曲線y=f（x）在x=處有水平切線．

（1）求a的值；

（2）設(shè)g（x）=f（x）+x+xlnx，證明：對(duì)任意x1，x2∈（0，1），有|g（x1）-g（x2）|＜e-1+2e-2．

解：（1）a=-2．（解答略）

（2）分析：要證明對(duì)任意x1，x2∈（0，1），有|g（x1）-g（x2）|＜e-1+2e-2，即證明［g（x）］max-［g（x）］min＜e-1+2e-2．為此，對(duì)函數(shù)g（x）求導(dǎo)得，該導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)既解不出來也觀察不出來，對(duì)此類型導(dǎo)數(shù)問題，我們通常可作出兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行分析：令．作出兩個(gè)函數(shù)在（0，1）區(qū)間的圖像，兩個(gè)圖像的最大垂直距離為g（x）的最大值，兩個(gè)圖像的最小垂直距離為g（x）的最小值．作為不等式的證明問題，其最大值與最小值可近似估值．另外，兩個(gè)函數(shù)如何選取是一個(gè)難點(diǎn)問題，一般原則是：①指對(duì)分離；②盡量回避分式；③盡量作出

三、導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)可觀察出來，但無法解出

這類問題一般可以分離變量，作函數(shù)，反復(fù)求導(dǎo)．這種方式適合于具有如下兩個(gè)條件的導(dǎo)數(shù)問題：（1）每次求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)都可以觀察出來，且相同；（2）每次求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)結(jié)構(gòu)越來越簡單．

1．通過設(shè)而不求整體代換

如果f′（x）=0是超越式（對(duì)字母進(jìn)行了有限次初等超越運(yùn)算包括無理數(shù)次乘方、指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角、反三角等運(yùn)算的解析式，稱為初等超越式，簡稱超越式），我們無法求出其零點(diǎn)，這時(shí)我們可以采用虛設(shè)零點(diǎn)法，通過形式化的合理代換或推理，謀求一種整體的轉(zhuǎn)換和過渡．通過整體代換，將超越式化簡為普通式．

例3設(shè)函數(shù)f（x）=e2x-alnx．

（1）討論f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

當(dāng)a＞0時(shí)，方程g（x）=a有一個(gè)根，即f′（x）存在唯一零點(diǎn)；

當(dāng)a≤0時(shí)，方程g（x）=a沒有根，即f′（x）沒有零點(diǎn)．

（2）證明：由（1）可設(shè)f′（x）在（0，+∞）的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．

故f（x）在（0，x0）單調(diào)遞減，在（x0，+∞）單調(diào)遞增，所以f（x）min=f（x0）．

2．通過多次求導(dǎo)來判斷正負(fù)

若f′（x）=0不可解，也可嘗試再一次求導(dǎo)，卻發(fā)現(xiàn)f″（x）=0（f″（x）表示f（x）的二階導(dǎo)數(shù)）也不可解，此時(shí)怎么辦呢？那么請(qǐng)你“將求導(dǎo)進(jìn)行到底”，或許能有新的發(fā)現(xiàn)．利用三階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷二階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和值域，再由二階導(dǎo)數(shù)的值域可求出一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和值域，進(jìn)而求出原函數(shù)的單調(diào)性和值域．

例4設(shè)函數(shù)f（x）=x（ex-1）-ax2，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，求a的取值范圍．

解：f（0）=0，f′（x）=（x+1）ex-1-2ax=g（x），g（0）=0，

g′（x）=（x+2）ex-2a=h（x），h（0）=2-2a，h′（x）=（x+3）ex．

因?yàn)閤≥0，所以h′（x）＞0恒成立，此時(shí)h（x）≥h（0）= 2-2a．

若a≤1，h（x）=g′（x）≥0，則g（x）≥g（0）=0，即f′（x）≥0，因此f（x）≥0成立；

若a＞1，則h（0）=2-2a＜0，又x→+∞時(shí)，h（x）→+∞，所以存在x0使h（x0）=0，當(dāng)x∈［0，x0）時(shí)，h（x）＜0，即g′（x）＜0，從而g（x）＜g（0）=0，即f′（x）＜0，所以有f（x）＜f（0）=0，與f（x）≥0矛盾．

綜上，a∈（-∞，1］．

反思此過程，連續(xù)運(yùn)用了三次求導(dǎo)，而且每次求導(dǎo)都可發(fā)現(xiàn)新的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，更有利于求出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，從而使我們更加明確多次求導(dǎo)是破解導(dǎo)數(shù)f′（x）零點(diǎn)的一個(gè)有效方法．雖然步驟較多，但操作起來有固定的模式：先求導(dǎo)，再求零點(diǎn)，若無法求出，則可構(gòu)造新函數(shù)，如此繼續(xù)下去，當(dāng)再次求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式越來越簡單時(shí)，就可考慮用多次求導(dǎo)法來解決函數(shù)的零點(diǎn)問題．

3．通過特殊值縮小范圍，從而探出零點(diǎn)

當(dāng)導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不可求時(shí)，首先可用特殊值進(jìn)行“投石問路”．特殊值的選取原則是：（1）在含lnx的復(fù)合函數(shù)中，通常令x=ek，尤其是令x=e0=1進(jìn)行試探；（2）在含ex的復(fù)合函數(shù)中，通常令x=lnk（k＞0），尤其是令x=ln1=0進(jìn)行試探．

例5設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）2lnx，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意的x∈（0，3e］，恒有f（x）≤4e2成立．（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

解：f（x）≤4e2恒成立?（x-a）2lnx≤4e2恒成立．

當(dāng)x∈（0，1］時(shí)，（x-a）2lnx≤0≤4e2恒成立．

當(dāng)x∈（1，3e］時(shí)，（x-a）2lnx≤4e2恒成立?（x-a）2≤

所以在（1，3e］上h′（x）=0只有一個(gè)零點(diǎn)．于是當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，h′（x）＜0；當(dāng)x∈（e，3e）時(shí)，h′（x）＞0．所以h（x）min= h（e）=3e．

首先把一個(gè)較為復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本的恒成立問題，再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問題．在求最值的過程中，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)不能直接求出，只能通過觀察，“探出”一個(gè)根，然后再通過函數(shù)的單調(diào)性說明根的唯一性，分析出所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而使問題獲得解決．

總之，對(duì)于在高考函數(shù)壓軸題中遇到的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的很多零點(diǎn)問題，由于零點(diǎn)具有求解相對(duì)比較繁雜甚至無法求解的特點(diǎn)．我們不必正面強(qiáng)求，分析條件，有時(shí)直接設(shè)出零點(diǎn)，充分利用其滿足的關(guān)系式，然后謀求一種整體的轉(zhuǎn)換和過渡，再結(jié)合其他條件解決問題，這樣成功回避復(fù)雜的運(yùn)算，擺脫解決問題過程中的一些技術(shù)難點(diǎn)，在求解比較復(fù)雜的含參函數(shù)的綜合問題具有很好的應(yīng)用價(jià)值．