香港與大陸高中教材微積分內(nèi)容的比較研究

☉華南師范大學(xué)附屬中學(xué) 郝保國(guó)

香港與大陸高中教材微積分內(nèi)容的比較研究

☉華南師范大學(xué)附屬中學(xué) 郝保國(guó)

微積分是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，有著極其廣泛的應(yīng)用.世界上一些主要國(guó)家或地區(qū)都在高中教材中引進(jìn)了微積分內(nèi)容.但因大家的課程理念不盡相同，因此引進(jìn)的程度存在差異，呈現(xiàn)方式與定位也有所區(qū)別.香港地區(qū)的教育受英美等國(guó)的影響較大，數(shù)學(xué)教育很有特色和成就.若能比較研究香港與大陸的高中微積分教材，是一個(gè)較有研究?jī)r(jià)值的課題.

本文研究選取的香港教材是《新高中數(shù)學(xué)與生活（延伸部分）單元二——代數(shù)與微積分2》［1］（以下簡(jiǎn)稱《微積分2》），大陸教材是“人教A版”《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書〈數(shù)學(xué)選修2-2〉》［2］（以下簡(jiǎn)稱《選修2-2》）.《微積分2》是朗文香港教育出版社2009年出版的，在香港影響較大；《選修2-2》是人民教育出版社2007年出版的，在大陸使用人數(shù)最多.筆者期望通過這兩本教材的比較研究，讓我們的微積分教材編寫和課堂教學(xué)多一些啟示和借鑒.

一、微積分在高中教材中的定位比較

香港目前使用的各種版本的高中數(shù)學(xué)教材，都是依據(jù)2007年制訂的《數(shù)學(xué)課程及評(píng)估指引（中四至中六）》編寫的.教材內(nèi)容分必修部分和延伸部分.朗文香港教育出版公司出版的必修教材共有5本.延伸部分備有兩個(gè)選修單元，單元一有教材2本，單元二有教材3本.《微積分2》是單元二的第二本教材，屬于選修教材.《微積分2》的序言指出：“為希望學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生奠下鞏固的代數(shù)與微積分基礎(chǔ)”；“旨在讓學(xué)生涉獵在必修部分以外的高等數(shù)學(xué)范疇——代數(shù)與微積分，并掌握個(gè)中的理論技巧，冀能對(duì)學(xué)生日后升學(xué)或從事與數(shù)學(xué)有關(guān)聯(lián)的專業(yè)，有所裨益”.從這里可以看出，《微積分2》是供相當(dāng)于大陸的理科學(xué)生選修的.

大陸目前使用的各種版本的高中數(shù)學(xué)教材，除上海外都是依據(jù)2003年制訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》編寫的.數(shù)學(xué)教材也分必修部分和選修部分.“人教A版”的必修教材有5本，選修教材共有16本.《選修2-2》是供理科學(xué)生選修的.本冊(cè)導(dǎo)引指出：“導(dǎo)數(shù)和定積分都是微積分的核心概念”；“通過大量的實(shí)例，引導(dǎo)同學(xué)們經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率刻畫現(xiàn)實(shí)問題的過程，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想，理解導(dǎo)數(shù)的含義”；“初步體會(huì)定積分的思想及其豐富內(nèi)涵，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)”.

香港與大陸的教材都是將微積分定位為選修內(nèi)容，目標(biāo)都是為學(xué)有余力的學(xué)生提供進(jìn)一步學(xué)習(xí)的內(nèi)容，為他們進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ).縱觀其他國(guó)家的高中數(shù)學(xué)教材，美國(guó)、英國(guó)、日本等國(guó)也將微積分定位為選修內(nèi)容，新加坡、澳大利亞定位為必修內(nèi)容.

二、微積分知識(shí)內(nèi)容的比較

《微積分2》中微積分的內(nèi)容共有449頁(yè)，16開本，學(xué)時(shí)大約為62節(jié)；《選修2-2》中微積分的內(nèi)容共有67頁(yè)，16開本，學(xué)時(shí)大約為24節(jié).具體內(nèi)容比較見表1.

表1

從表1不難看到，《微積分2》章節(jié)編寫詳細(xì)，內(nèi)容豐富.《微積分2》在講授導(dǎo)數(shù)前，安排了“函數(shù)的極限”等內(nèi)容，包括：極限的概念，連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)的極限，連續(xù)函數(shù)兩個(gè)定理（共7個(gè)結(jié)論），無窮大，三角函數(shù)的極限等.這樣安排理論性強(qiáng)，與后面微分內(nèi)容銜接自然.《選修2-2》輕理論重應(yīng)用，逾越了極限概念，直接從“變化率問題”入手引入導(dǎo)數(shù)，但在定義函數(shù)的導(dǎo)又回避不了極限知識(shí)，這讓教師處理教材時(shí)很棘手，也讓學(xué)生理解教材時(shí)思維受阻.在后面的內(nèi)容安排上，《微積分2》也比《選修2-2》多安排了反函數(shù)及隱函數(shù)的微分法，二階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的凹性及二階導(dǎo)數(shù)判別法，曲線的描繪，不定積分，利用不定積分解決問題，與三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的不定積分等內(nèi)容.《微積分2》從不定積分過渡到定積分，且介紹了換元積分法與分部積分法，知識(shí)發(fā)展有規(guī)律可循，方法技巧靈活多變.《選修2-2》由曲邊梯形引入定積分，學(xué)生不容易理解.由于在《微積分2》以前的課本中，香港學(xué)生學(xué)習(xí)過《三角函數(shù)》中的積化和差與和差化積等公式，因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)和解答《微積分2》中較復(fù)雜的三角微積分例題與習(xí)題時(shí)，不會(huì)存在知識(shí)上的障礙.

三、知識(shí)呈現(xiàn)模式與嚴(yán)格性水平比較

（一）章首及章尾內(nèi)容和結(jié)構(gòu)的比較

《微積分2》共8章.每章章首都標(biāo)明了學(xué)習(xí)重點(diǎn)，并給出與本章內(nèi)容密切相關(guān)的一個(gè)生活中的實(shí)際例子，起提綱挈領(lǐng)及導(dǎo)入相關(guān)知識(shí)的作用；每章章尾附有本章摘要，起歸納總結(jié)的作用.以第13章“定積分”為例，章首的學(xué)習(xí)重點(diǎn)有6點(diǎn)，指明了本章的學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)之所在.給出的實(shí)際例子是“制定藥物的劑量”，研究人員可通過計(jì)算的值，得知病人在接受注射T小時(shí)內(nèi)的總藥物攝取量，從而制訂使用藥物的劑量和頻率.章末的本章摘要包括重要詞匯與重要概念兩個(gè)方面.重要詞匯有9條：定積分、積分下限、積分上限、定積分法、假變量、微積分基本定理、變量變換、奇函數(shù)、偶函數(shù)，均有中英文對(duì)照.重要概念包括：定積分法概念、定積分的性質(zhì)（共6條重要性質(zhì)）、微積分基本定理、變量變換、利用分部積分法求定積分、奇函數(shù)與偶函數(shù)的定積分、周期函數(shù)的定積分.

《選修2-2》中只有一章是微積分內(nèi)容.章首有類似導(dǎo)言的三段文字：其中提到微積分的產(chǎn)生，并指出微積分的創(chuàng)立與處理四類科學(xué)問題直接相關(guān)；重點(diǎn)指出了導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}的最一般、最有效的工具；定積分也是微積分核心概念之一，一般平面圖形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、變力所做的功等都可以歸納為定積分問題.章末有小結(jié)，包含本章知識(shí)結(jié)構(gòu)及回顧與思考兩個(gè)方面.本意知識(shí)結(jié)構(gòu)是用框圖形式呈現(xiàn)出來的.框圖的四個(gè)結(jié)點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)、微積分基本定理、定積分、定積分在幾何和物理中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，框圖的旁枝幾乎包含了本章的基本內(nèi)容.框圖“概括抽象出定積分的概念、表示和意義.定積分概念的理解和應(yīng)用要緊扣其幾何意義和物理背景”［3］.回顧與思考有5點(diǎn)，回顧了導(dǎo)數(shù)的定義、微積分蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法，以及微積分的聯(lián)系與應(yīng)用，還提問學(xué)生能否從物理和幾何兩個(gè)方面解釋導(dǎo)數(shù)的意義？

（二）導(dǎo)數(shù)及定積分概念引入的比較

《微積分2》先給出割線的斜率，然后用極限的思想定義了切線斜率，進(jìn)而由切線斜率引入并定義了一階導(dǎo)數(shù).《選修2-2》先從氣球的平均膨脹率及高臺(tái)跳水的平均速度，引入了平均變化率的概念，進(jìn)而引入了瞬時(shí)速度并定義了一階導(dǎo)數(shù).無論是引入瞬時(shí)速度還是導(dǎo)數(shù)的概念，都運(yùn)用了函數(shù)極限的思想和方法.《選修2-2》從現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際例子引入導(dǎo)數(shù)，學(xué)生學(xué)起來不抽象，感到親切好奇.

《微積分2》引入定積分的概念前，已經(jīng)有極限與不定積分的知識(shí)做鋪墊.引入定積分時(shí)，通過“分割（均分區(qū)間）、近似代替（以直代曲）、求和、取極限”四個(gè)步驟，先求三直線y=2x、x=1、x=2與x軸圍成的圖形的面積，再推導(dǎo)曲線y=f（x）與兩直線x=a、x=b及x軸圍成的曲邊梯形的面積，進(jìn)而引入定積分的概念.《微積分2》由淺入深，由易到難，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.《選修2-2》也是通過上述四個(gè)步驟，來推導(dǎo)曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程，進(jìn)而引入定積分的概念.《選修2-2》因缺少應(yīng)有知識(shí)的鋪墊，教師的教與學(xué)生的學(xué)都比較艱難.

（三）定理、法則與公式的嚴(yán)格性水平比較

嚴(yán)格性一般劃分為四個(gè)水平層次：水平1—直接給出理論，沒有任何解釋或證明；水平2—通過例子解釋理論；水平3—較為嚴(yán)格地解釋理論的正確性，但不進(jìn)行證明；水平4—嚴(yán)格地證明理論.

《微積分2》中，導(dǎo)數(shù)部分的和、差、積、商四個(gè)求導(dǎo)法則經(jīng)過了嚴(yán)格證明，常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反函數(shù)的求導(dǎo)公式也都經(jīng)過了證明，均達(dá)到了嚴(yán)格性水平4.定積分部分的定積分性質(zhì)是直接給出的，達(dá)到嚴(yán)格性水平1；微積分基本定理、變量變換法、分部積分法，以及奇函數(shù)、偶函數(shù)、周期函數(shù)求定積分的公式均經(jīng)過了嚴(yán)格證明，達(dá)到了嚴(yán)格性水平4.《選修2-2》中，常函數(shù)的求導(dǎo)公式給予了證明，達(dá)到了嚴(yán)格性水平4；冪函數(shù)四個(gè)特例的求導(dǎo)給出了嚴(yán)格證明，達(dá)到了嚴(yán)格性水平2，其他求導(dǎo)公式與法則，以及微積分的基本定理都是直接給出，達(dá)到嚴(yán)格性水平1.相比較而言，《微積分2》的嚴(yán)格性水平高于《選修2-2》.

四、例習(xí)題設(shè)置及綜合性程度比較

由于《微積分2》與《選修2-2》微積分部分學(xué)時(shí)、章節(jié)內(nèi)容差距很大，因此例習(xí)題數(shù)量差距也很大，不便于整體分析比較.在此僅以兩本教材中有關(guān)定積分的部分為參照作比較.

（一）例習(xí)題的設(shè)置比較

《微積分2》的定積分內(nèi)容分兩章共7節(jié).每一節(jié)配有例題，每個(gè)例題后面配有即時(shí)練習(xí)題.每一節(jié)后面設(shè)置了初階、進(jìn)階兩個(gè)層次的練習(xí)題.每一章后面設(shè)置了總復(fù)習(xí)題，分初階、進(jìn)階、挑戰(zhàn)題三個(gè)層次.這兩章共有例題45個(gè)，即時(shí)練習(xí)題45個(gè)，初階練習(xí)題177個(gè)，進(jìn)階練習(xí)題113個(gè)，挑戰(zhàn)題4個(gè).每個(gè)練習(xí)題均給出了答案，但沒有詳細(xì)過程.《選修2-2》的定積分內(nèi)容沒有獨(dú)立成章，但分3節(jié).每一節(jié)配有例題、探究題、思考題及課內(nèi)練習(xí)題.每一節(jié)后面設(shè)置了A組、B組兩個(gè)層次的練習(xí)題.章末配備了一個(gè)實(shí)習(xí)作業(yè)，題目是“走進(jìn)微積分”，目的是通過收集微積分創(chuàng)立的時(shí)代背景和歷史意義的有關(guān)材料，體會(huì)微積分在數(shù)學(xué)思想史和科學(xué)思想史上的價(jià)值.緊跟實(shí)習(xí)作業(yè)后面設(shè)置了本章的復(fù)習(xí)參考題，仍分A組、B組兩個(gè)層次，其中有一部分為定積分題.這三節(jié)共有例題7個(gè)，探究題6個(gè)，思考題4個(gè)，課內(nèi)練習(xí)題11個(gè)，A組題17個(gè)，B組題12個(gè).

兩本教材例習(xí)題的設(shè)置方法大致類似.《微積分2》題量大，學(xué)生課外練習(xí)時(shí)選擇余地大，可以較全面地鞏固知識(shí)和提高能力.每個(gè)練習(xí)題均給出答案，可以起到及時(shí)反饋的作用，便于學(xué)生自學(xué).《選修2-2》設(shè)置了探究題、思考題、實(shí)習(xí)作業(yè)等，既培養(yǎng)了學(xué)生動(dòng)腦的能力，又培養(yǎng)了學(xué)生動(dòng)手的能力.

（二）例習(xí)題的綜合性程度比較

例習(xí)題的綜合性分為四種類型：類型1—與微積分領(lǐng)域內(nèi)其他知識(shí)的綜合；類型2—與數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域內(nèi)知識(shí)的綜合；類型3—與其他學(xué)科知識(shí)的綜合；類型4—與具有實(shí)際生活背景的問題綜合.

根據(jù)上述綜合性的分類標(biāo)準(zhǔn)，《微積分2》的例習(xí)題中類型1有61個(gè)，類型2有239個(gè)，類型3有3個(gè)，類型4有8個(gè).《選修2-2》的例習(xí)題中類型1有7個(gè)，類型2有18個(gè)，類型3有15個(gè)，類型4有1個(gè).

由此可見，《微積分2》中的例習(xí)題主要體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)知識(shí)的綜合運(yùn)用，專注于對(duì)知識(shí)的理解與掌握；《選修2-2》例習(xí)題雖然不多，但既注重了數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)各分支知識(shí)的聯(lián)系，又突出了數(shù)學(xué)在其他學(xué)科上的綜合應(yīng)用.

五、結(jié)論與啟發(fā)

（一）對(duì)兩本教材優(yōu)缺點(diǎn)的歸納

《微積分2》知識(shí)體系比較完整，定理及公式大都給出了嚴(yán)格證明，例習(xí)題典型且豐富，比較全面地覆蓋了重要的知識(shí)點(diǎn)與方法技巧，確實(shí)能為進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生打下比較扎實(shí)的微積分基礎(chǔ).但因各類習(xí)題量設(shè)置過多，又加之每個(gè)習(xí)題都附有答案，致使教材厚且重，用起來不太方便.

《選修2-2》重在應(yīng)用，貼近生活；在知識(shí)引入方式和表征方式上，方法靈活多樣；例習(xí)題能串聯(lián)起其他學(xué)科的知識(shí)，綜合性強(qiáng).但因缺少函數(shù)極限與不定積分內(nèi)容，致使知識(shí)體系不完整.雖然學(xué)生初步學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)與定積分的基本思想與方法，但對(duì)進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)幫助不大，因?yàn)樗麄冞€必須全面地重新學(xué)習(xí)極限、微分、不定積分及定積的知識(shí).《選修2-2》對(duì)微積分定理及公式大多直接給出，缺少嚴(yán)謹(jǐn)性證明，可能會(huì)使學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，還產(chǎn)生一些負(fù)面影響.

（二）高中微積分教材究竟設(shè)置哪些內(nèi)容

我國(guó)高中教材開設(shè)微積分課程是值得肯定的.但微積分教材究竟設(shè)置哪些內(nèi)容，這是一直有爭(zhēng)議的問題.當(dāng)前美國(guó)、英國(guó)、日本、澳大利亞、新加坡等國(guó)的高中微積分教材，知識(shí)體系大都比較完整.我國(guó)1999年“人教社”出版的高級(jí)中學(xué)教材（試驗(yàn)本）數(shù)學(xué)第三冊(cè)，相比較《選修2-2》多了函數(shù)的極限、函數(shù)的連續(xù)性、高階導(dǎo)數(shù)、微分、定積分、不定積分運(yùn)算法則、換元積分法、分部積分法等內(nèi)容.筆者回顧講授這本教材的情形，依然記得當(dāng)時(shí)的教材與教學(xué)比較符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，學(xué)生能夠理解和掌握所學(xué)內(nèi)容.因此，當(dāng)前我們應(yīng)該向香港的教材學(xué)習(xí)，適當(dāng)?shù)刎S富微積分教學(xué)內(nèi)容，相應(yīng)地增加教學(xué)時(shí)間，讓學(xué)生在進(jìn)入大學(xué)前打下良好的微積分基礎(chǔ).

（三）要避免出現(xiàn)“一英里寬，一英寸深”的數(shù)學(xué)課程

“一英里寬，一英寸深”的數(shù)學(xué)課程，曾經(jīng)對(duì)美國(guó)的數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生了很大的負(fù)面影響.比較“人教版”1999年出版的教材和當(dāng)前的教材，除微積分內(nèi)容大幅刪減外，復(fù)數(shù)、三角等內(nèi)容也刪減不少.就以三角而言，因?yàn)闆]有了半角公式、和差化積與積化和差公式及反三角函數(shù)等內(nèi)容，《選修2-2》只能重點(diǎn)介紹多項(xiàng)式函數(shù)的微積分.學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后，因大學(xué)不補(bǔ)教三角函數(shù)中刪除的內(nèi)容，致使高中與大學(xué)課程銜接脫節(jié)，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)與三角恒等變換、反三角函數(shù)相關(guān)的微積分知識(shí)時(shí)，感到困難.當(dāng)前“人教A版”教材增加了選修3系列與選修4系列，共有13本教材，譬如《對(duì)稱與群》《球面上的幾何》《風(fēng)險(xiǎn)與決策》等.似乎教學(xué)內(nèi)容比以前寬泛很多，但因高考不考，或因師資存在問題，這些教材大多形同虛設(shè).我們希望不要出現(xiàn)“一英里寬，一英寸深”的課程體系，不然，負(fù)面影響將如影隨形，遺害不淺.

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1.文炳輝，楊仲明，張興仁.數(shù)學(xué)與生活單元2——代數(shù)與微積分［M］.香港：朗文教育出版社，2009年.

2.人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-2［M］.北京：人民教育出版社，2007年.

3.方厚良.中學(xué)微積分核心概念與基本思想的理解與滲透［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（7）.