煤炭類期貨收益率分布擬合與風險度量

李百吉，楊子銘，孔德泰

(中國礦業(yè)大學(北京)管理學院，北京 100083)

煤炭類期貨收益率分布擬合與風險度量

李百吉，楊子銘，孔德泰

(中國礦業(yè)大學(北京)管理學院，北京 100083)

近年來，受煤價下跌的影響，煤炭類期貨價格波動劇烈，隨之而來的風險也不斷加大。在這樣的市場環(huán)境下，原有的正態(tài)分布的VaR模型已很難準確度量煤炭類期貨的價格波動風險。因此，如何更好地更準確地度量煤炭類期貨價格風險成為當前亟待解決的問題。本文在利用VaR模型的基礎(chǔ)上，借助K-S檢驗逐類篩選其他可替換正態(tài)分布的假設，以更好、更準確地提高風險度量精度。K-S檢驗結(jié)果顯示，煤炭類期貨收益率服從雙曲線分布；概率密度曲線圖和Q-Q圖顯示，雙曲分布比正態(tài)分布擬合效果更優(yōu)；VaR計算與比較結(jié)果顯示，雙曲線分布VaR比正態(tài)分布VaR更接近歷史VaR，且焦煤VaR大于動力煤VaR。因此，基于雙曲線分布的VaR模型更適于投資者度量煤炭類期貨風險，投資焦煤期貨的風險大于投資動力煤。

煤炭類期貨；VaR；分布擬合；正態(tài)分布； 雙曲線分布

1 研究現(xiàn)狀與存在問題

隨著實證研究方法的發(fā)展，金融計量學家發(fā)現(xiàn)：絕大多數(shù)金融時間序列數(shù)據(jù)的分布均存在尖峰、厚尾特征，并不服從正態(tài)分布假設。因此，原有的正態(tài)分布的VaR模型的風險度量精度受到了懷疑。為提高VaR模型的風險度量精確度，國內(nèi)外學者做了大量卓有成效的工作，提出了眾多的改進方案。這些改進工作主要沿兩條路徑展開：一是對樣本數(shù)據(jù)集的處理，即利用適當?shù)霓D(zhuǎn)換函數(shù)，將不符合正態(tài)分布的初始樣本數(shù)據(jù)集變換成基本滿足正態(tài)分布的計算樣本數(shù)據(jù)集，然后用變換后的樣本數(shù)據(jù)集來估測VaR[1]；二是針對正態(tài)分布假設偏差的修正，其中包括不考慮分布的方法(如蒙特卡洛模擬法)和更換分布假設的方法(如Logistic分布、t分布、GED分布等)。

綜合現(xiàn)有相關(guān)研究成果不難發(fā)現(xiàn)，利用轉(zhuǎn)換函數(shù)處理樣本數(shù)據(jù)集的方法需要根據(jù)經(jīng)濟周期的不同階段選擇不同的轉(zhuǎn)換函數(shù)，操作繁瑣且對數(shù)學知識的要求較高；蒙特卡羅模擬法計算量大，且可能因價格隨機過程選擇不當而招致失敗。然而，針對正態(tài)分布假設偏差的修正只需找到合適的分布假設即可在原VaR模型的基礎(chǔ)上提高風險度量精度，相比其他方法操作簡便，易于理解。因此，本文在VaR模型的基礎(chǔ)上，嘗試以雙曲線分布假設替換正態(tài)分布假設，以提高風險度量精度。

在修正模型假設方面，國內(nèi)外學者做了如下工作。Mandebrot[2]提出用穩(wěn)定分布假設代替正態(tài)分布假設，而Officer[3]、kgiray和Booth等[4]提供了反對穩(wěn)定分布假設的證據(jù)，何建敏等[5]對中國證券市場收益率分布的研究也證實了穩(wěn)定分布的尾部通常比實際分布更厚。arndorff-Nielsen[6]引入廣義雙曲分布，并在金融領(lǐng)域得到成功應用。Eberlein和Keller[7]率先將它的一個子類“雙曲線分布”應用到金融領(lǐng)域。Barndorff-Nielsen[8]基于正態(tài)逆高斯分布對股票收益進行了研究。Prause[9]，arndoff-Nielsen和Shepard[10]和McNeil[11]等對GH分布的極限分布“偏t分布”做了研究。在國內(nèi)，鄒健[12]用廣義雙曲線分布研究了普通歐式期權(quán)的定價問題。郭海燕和李綱[13]將雙曲線分布和NIG分布應用于中國證券市場風險度量之中。

上述研究成果都為進一步研究風險測度方法奠定了堅實的理論和實證基礎(chǔ)，但依舊存在如下不足：①現(xiàn)有研究多數(shù)集中于股票市場，將修正過分布假設的VaR模型應用于期貨(尤其是煤炭類期貨)風險測度的文獻極少；②期貨風險度量不同于其他金融資產(chǎn)風險度量，需同時度量多空雙方的風險。因此，現(xiàn)有多數(shù)文獻建模時僅度量價格下跌風險卻忽視價格上升風險的處理方法不適用于期貨類資產(chǎn)；③現(xiàn)有對VaR模型各類分布假設的研究僅對某一分布假設下的VaR值進行計算，缺少對不同分布下VaR值的對比分析。

針對已有研究不足，本文在VaR模型的基礎(chǔ)上，借助K-S檢驗逐類篩選其他可替換正態(tài)分布的假設，第一次利用雙曲線分布來研究煤炭類期貨的風險測度問題；并以對比概率密度曲線和樣本Q-Q圖的可視化方式證明了新假設的優(yōu)越性；最后實際計算并比較了“左尾”和“右尾”各置信水平下的正態(tài)VaR、雙曲線VaR和歷史VaR以驗證修正模型的風險度量精度的提升。

2 實證研究

2.1 數(shù)據(jù)來源與描述性統(tǒng)計

數(shù)據(jù)選取時間范圍從2013年10月21日～2015年12月29日，數(shù)據(jù)以Wind商品品種指數(shù)中焦煤指數(shù)和動力煤指數(shù)作為樣本,該品種基期為行業(yè)內(nèi)第一個上市品種上市首日，基點為第一個交易日收盤后計算出的指數(shù)值。

指數(shù)公式見式(1)～(3)。

Wind商品品種指數(shù)=∑合約最新價×每個合約權(quán)重

(1)

每個合約權(quán)重=每個合約持倉額÷品種總持倉額

(2)

品種總持倉額=∑每個合約最新價×持倉量×交易單位，雙邊計算

(3)

獲得樣本期指數(shù)后以Rt=lnpt-lnpt-1計算收益率,pt為第t日指數(shù)值,pt-1為第t-1天的指數(shù)值,于是得到各包含539個樣本的數(shù)據(jù)序列。對兩Rt序列進行描述性統(tǒng)計結(jié)果見表1。

表1 樣本數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計

對比可知，兩樣本的偏度和峰度與正態(tài)分布理論值差異較大。因此猜測其他種類分布能更好的擬合兩序列。為證實此猜測，下文以K-S假設檢驗方法嘗試找到最優(yōu)擬合分布。

2.2 最優(yōu)擬合分布的選擇

2.2.1 K-S檢驗方法描述

K-S檢驗是以兩位蘇聯(lián)數(shù)學家Kolmogorov和Smirnov的名字命名的一個擬合優(yōu)度檢驗。K-S檢驗的基本思路是：先比較資料數(shù)據(jù)的理論累積頻率分布與觀測的經(jīng)驗累積頻率分布，求出兩者最大偏離值，然后在給定的顯著性水平上檢驗這種偏離值是否是偶然出現(xiàn)的。

檢驗步驟如下所述。

1)提出假設。H0:Sn(x)=F0(x),H1:Sn(x)≠F0(x)。Sn(x)是隨機樣本觀察值的累計概率分布函數(shù)，即經(jīng)驗分布函數(shù)，樣本量為n；F0(x)是一個特定的累計概率分布函數(shù)，即理論分布函數(shù)。

2)計算統(tǒng)計量Dmax=max|Sn(x)-F0(x)|與相應p值。D=|Sn(x)-F0(x)|，如果對于每一個x值，Sn(x)和F0(x)都十分接近，則表明經(jīng)驗分布函數(shù)與理論分布函數(shù)的擬合程度很高，有理由認為樣本數(shù)據(jù)來自服從該理論分布的總體。

3)比較p值與給定的顯著性水平α。若p>α，則在α的顯著性水平上，不能拒絕H0；否則，拒絕H1。

2.2.2 逐類排除錯誤分布

按照以上步驟進行正態(tài)性檢驗：無效假設(一般譯為原假設)為“焦煤/動力煤指數(shù)收益率Rt服從正態(tài)分布”。通過計算得到焦煤樣本的檢驗統(tǒng)計量=0.079 917,且p值為0.002 046，于是在1%的顯著性下拒絕無效假設，接受了備擇假設“焦煤指數(shù)收益率Rt不服從正態(tài)分布”；動力煤樣本的檢驗統(tǒng)計量Ddlm=0.148 61，且p值為9.138×10-11，于是在1%的顯著性下拒絕無效假設，接受了備擇假設“動力煤指數(shù)收益率Rt不服從正態(tài)分布”。

為了排除不適用于描述煤炭類期貨收益率分布的分布類型，以K-S檢驗方法檢驗焦煤與動力樣本Rt是否服從beta, cauchy, chi-squared, exponential, f, gamma, geometric, log-normal,lognormal,logistic,negative binomial,normal,Poisson,t以及weibull分布。結(jié)果均顯示在5%的顯著性下應拒絕無效假設，即均不服從這些常用分布，因此嘗試雙曲線分布。

2.2.3 雙曲線分布的K-S檢驗

以上各類分布的K-S檢驗在R軟件中均有成熟的函數(shù)，因此可用來直接檢驗樣本數(shù)據(jù)。但雙曲線分布的K-S檢驗無成熟函數(shù)，因此需先假設焦煤和動力煤樣本Rt服從雙曲線分布，估計出分布參數(shù)，再進行K-S雙樣本檢驗。

一維的廣義雙曲分布(GH)具有如下形式的密度函數(shù)[14]，見式(4)～(6)。

(4)

(5)

(6)

式中：x∈R,μ∈R,Kλ(t)是λ階的第三類修正貝塞爾函數(shù)，t>0。參數(shù)的取值范圍為:如果λ>0，則δ≥0,|β|<α；如果λ=0，則δ>0,|β|<α；如果λ<0，則δ>0,|β|≤α。

GH分布的性質(zhì)由參數(shù)向量θ=(λ,α,β,δ,μ)決定，α和δ決定密度函數(shù)的峰度，β決定偏度，μ和δ分別決定位置和尺度，λ決定尾部的厚度并標記不同的子類。改變λ可得不同尾部厚度的分布函數(shù)，衍生出不同尾部厚度的GH分布族的子類，λ=-0.5時為正態(tài)逆高斯分布，比如λ=1時為雙曲線分布。雙曲線分布的參數(shù)向量由θ=(π,ζ,δ,μ)表示。

分別生成兩組服從以上雙曲線分布的隨機數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)進行K-S雙樣本檢驗。焦煤檢驗統(tǒng)計量Djm=0.051 9，p值為0.461 1；動力煤檢驗統(tǒng)計量Ddlm=0.027 8，p值為0.985 1。結(jié)果均顯示在5%顯著性下不能拒絕無效假設“煤炭類期貨收益率服從雙曲線分布”。

2.3 正態(tài)與雙曲分布擬合度的可視化比較

為進一步證明雙曲分布比正態(tài)分布更適于描述焦煤期貨收益率,本文分別繪制了概率密度曲線對比圖、正太分布Q-Q圖、雙曲線分布Q-Q圖，見圖1～3。

圖2是焦煤期貨指數(shù)正態(tài)分布Q-Q圖,圖3是雙曲分布Q-Q圖。圖2、圖3中斜線比較標準，斜率為1，如果散點與斜線重合度較高則樣本數(shù)據(jù)分位點與理論分布分為點較為接近，即可證明樣本服從該類型分布的可能性較高。圖2散點曲線多次彎折，與斜線重合度不高，但圖3散點曲線基本與直線重合，比較圖2、圖3可判定樣本數(shù)據(jù)服從雙曲分布的概率更高。

為進一步證明雙曲分布比正態(tài)分布更適于描述動力煤期貨收益率,本文繪制了概率密度曲線對比圖、正太分布Q-Q圖、雙曲線分布Q-Q圖，見圖4～6。

圖1 焦煤樣本、正態(tài)、雙曲線概率密度曲線圖

圖2 焦煤正態(tài)Q-Q圖

圖3 焦煤雙曲分布Q-Q圖

圖4 動力煤樣本、正態(tài)、雙曲線概率密度曲線圖

圖5 動力煤正態(tài)Q-Q圖

圖6 動力煤雙曲分布Q-Q圖

圖5、圖6分別為動力煤正態(tài)分布與雙曲線分布Q-Q圖，圖5、圖6中斜線比較標準，斜率為1，如果散點與斜線重合度較高則樣本數(shù)據(jù)分位點與理論分布分為點較為接近，即可證明樣本服從該類型分布的可能性較高。圖5散點曲線多次彎折，與斜線重合度不高，但圖6散點曲線基本與直線重合，比較圖5、圖6，可判定樣本數(shù)據(jù)服從雙曲分布的概率更高。

3 VaR對比結(jié)果與結(jié)論

3.1 VaR方法描述

VaR是指面臨“正常”的市場波動時“處于風險狀態(tài)的價值”，即在給定的置信水平和一定的持有期限內(nèi)，預期的最大損失量。通俗來講就是一定可能性下某段時間損失的最大錢數(shù)。由此可知，要確定一個金融機構(gòu)或資產(chǎn)組合的VaR值或建立VaR模型，必須首先確定以下三個參數(shù)：一是持有期間的長短；二是置信水平的大??；三是觀察時點[15]。用公式表達，見式(4)。

VaRα=inf{l∈R:P(L>l)≤1-α}L=Vt-Vt-T

(4)

式中：T為持有期長度；a為置信水平;t為觀察時點;L為損失;V為資產(chǎn)價值;l是使F(1)=a的數(shù)。

計算VaR通常用Risk Metrics模型。該方法假定資產(chǎn)組合的價值變化服從正態(tài)分布，即：L=(Vt-Vt-1)～N(μ,δ2)。VaR的計算公式為:VaR=P0×Zα。其中P0表示資產(chǎn)的初始市場價值，表示正態(tài)分布的分位數(shù)。本文以雙曲線分布修正了正態(tài)分布假設，是對Za的修正。

此外，歷史模擬法也常用于計算VaR。該方法以樣本數(shù)據(jù)個數(shù)n與置信水平a的乘積取整得到序數(shù)N，取由小到大排列后的第N個樣本數(shù)據(jù)，其值則為歷史VaR。

3.2 結(jié)果與結(jié)論

參數(shù)確定后的雙曲線分布不同顯著性水平下的分位值與資產(chǎn)初值的乘積為VaR。取資產(chǎn)初值為100萬元可得出不同顯著性水平下的VaR值，在表2、表3中列示(期貨可以做空，因此表2和表3列舉了上下尾部對稱的3對分位點)。

表2 100萬元焦煤期貨投資在不同置信度下VaR值(萬元)的對比

比較不同方法所得VaR值，可以得到以下三點結(jié)論。

1)雙曲分布VaR與歷史VaR最為接近。此結(jié)果證明，把正態(tài)分布假設修正為雙曲分布假設可以提高煤炭類期貨價格風險度量的精度。

2)焦煤雙曲線VaR與歷史VaR間的差值小于動力煤雙曲線VaR與歷史VaR間的差值。此結(jié)果說明，雙曲線法對焦煤期貨指數(shù)VaR的估計更準。

3)各置信度下焦煤VaR均大于動力煤VaR。此結(jié)果說明，投資焦煤期貨的風險高于動力煤期貨。

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重大專項

編者按：

2013年9月，習近平總書記提出“一帶一路”戰(zhàn)略構(gòu)想，描繪了具有劃時代意義的全球戰(zhàn)略新藍圖，為新形勢下中國礦業(yè)全球化提供新的戰(zhàn)略思路?！耙粠б宦贰钡貐^(qū)能源及重要礦產(chǎn)資源極為豐富，與中國在礦業(yè)及相關(guān)領(lǐng)域互補性強，合作前景廣闊。開展礦業(yè)與冶煉加工產(chǎn)業(yè)等領(lǐng)域產(chǎn)能合作是中國全面實施 “一帶一路”戰(zhàn)略最重要的組成部分，對促進各國經(jīng)濟社會發(fā)展、保障中國資源產(chǎn)業(yè)安全和國際運輸通道安全均具有極為重要的意義。中國地質(zhì)科學院礦產(chǎn)資源研究所陳其慎、于汶加研究團隊以地質(zhì)調(diào)查二級項目“‘一帶一路’64國礦產(chǎn)資源供需格局及產(chǎn)能合作布局研究”項目為依托，系統(tǒng)開展了“一帶一路”沿線國家經(jīng)濟社會發(fā)展、礦產(chǎn)資源分布及供需趨勢、礦業(yè)及相關(guān)產(chǎn)業(yè)發(fā)展現(xiàn)狀及趨勢判斷以及產(chǎn)能合作建議等方面的研究。本次專欄展示了研究團隊對東南亞、伊朗、烏茲別克斯坦和波蘭等幾個典型國家的研究成果，以期為各類相關(guān)人員提供參考。

Distribution fitting and risk metrics of coal futures returns

LI Baiji, YANG Ziming, KONG Detai

(School of Management, China University of Mining and Technology (Beijing), Beijing 100083, China)

In recent years, the influence of falling coal prices makes coal futures’ price volatility risk increases. The market environment leads the VaR model which based on the normal distribution could not measure coal futures price risk accurately. Therefore, how to measure coal futures price risk accurately becomes a serious problem. This paper based on the VaR model, tries using K-S tests to find other distributions, which can improve the risk metrics accuracy, to replace the normal distribution assumptions. The K-S test results show that coal futures returns comply with the hyperbolic distribution; probability density curves and Q-Q figures show that the hyperbolic distribution fits the reture series better than the normal distribution; VaR calculation and comparison shows that the hyperbolic VaRs are closer to history VaRs than the normal VaRs, and coking coal futures’ VaRs are greater than power coal futures’ VaRs. Therefore, the VaR model based on the hyperbolic distribution is more suitable for coal futures investors to measure risk; investment risk of coking coal futures is bigger than that of power coal futures.

coal class futures; VaR; distribution fitting; normal distribution; hyperbolic distribution

2016-11-22

李百吉(1962-)，男，黑龍江大慶人，教授，博士生導師，研究方向為宏觀經(jīng)濟、金融工程與風險管理、市場營銷、能源經(jīng)濟管理，E-mail:13911056088@163.com；

楊子銘(1988-)，男，河北石家莊人，博士研究生，研究方向為能源金融，E-mail: 2282375429@qq.com;

孔德泰(1985-)，男，河北衡水人，博士研究生，研究方向為創(chuàng)新管理。

F223

A

1004-4051(2017)03-0043-05