基于混合范數(shù)的來波方位估計

謝前朋,王倫文

(解放軍電子工程學(xué)院，安徽 合肥 230037)

基于混合范數(shù)的來波方位估計

謝前朋,王倫文

(解放軍電子工程學(xué)院，安徽 合肥 230037)

針對傳統(tǒng)MUSIC算法以及CS-MUSIC算法在相干和非相干信源的條件下DOA估計效果不理想問題，提出基于混合范數(shù)的來波方位估計方法。該方法利用MUSIC和壓縮感知稀疏恢復(fù)的特性得到信號的支持域，然后由信號的支持域得到噪聲子空間和信號子空間，把得到的信號子空間和噪聲子空間與經(jīng)典MUSIC算法相結(jié)合，得到高分辨率的來波方位估計方法。仿真結(jié)果表明，在非相干信源的條件下，該算法性能優(yōu)于MUSIC和CS-MUSIC算法；同時，該算法相關(guān)信源的角度分辨率也優(yōu)于CS-MUSIC算法。

DOA估計；CS-MUSIC；壓縮感知；混合范數(shù)

0 引言

窄帶遠場信號的來波方位估計在無線通信、雷達聲吶系統(tǒng)、聲源定位、醫(yī)學(xué)成像和地震學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用。經(jīng)典子空間估計算法如MUSIC算法在理想的條件下能得到高分辨率的來波方位估計，但是，在信噪比比較低和快拍數(shù)比較小的情況下，其會產(chǎn)生子空間泄露問題[1]，即一些信號子空間泄露到噪聲子空間之中從而導(dǎo)致算法性能的下降。同時，MUSIC算法同樣也不能處理相關(guān)信源的DOA估計問題。

由于信號在空間域的稀疏性，空間信源數(shù)遠遠小于所有可能劃分的空間角度數(shù)，使壓縮感知在DOA估計中得到了廣泛的應(yīng)用。壓縮感知能降低采樣速率以及傳感器陣列的數(shù)目，同時在工程上能降低軟件與硬件的復(fù)雜度。

壓縮感知中的稀疏恢復(fù)算法能在未知的稀疏矢量空間中找到非零元素的位置，這在DOA估計中非常重要，常用的稀疏恢復(fù)算法是凸優(yōu)化算法[2-3]和貪婪算法[4-5]。貪婪算法能夠降低計算的復(fù)雜度，凸優(yōu)化算法一般是基于l0,l1,l2范數(shù)。在這三種范數(shù)中，l2范數(shù)存在非稀疏解[6]，使用l0范數(shù)能夠得到精確的解但是會導(dǎo)致NP-hard問題[7]。因此，在特定的條件下，l1范數(shù)被用來對稀疏信號進行精確恢復(fù)，使其和l0范數(shù)有相同的解[8]。三種算法均能夠處理單快拍和多快拍數(shù)條件下的DOA估計，分為單觀測矩陣矢量算法和多觀測矢量矩陣算法。但是，三種算法在單獨使用時都會出現(xiàn)不足。本文針對上述問題，提出了基于混合范數(shù)的來波方位估計方法。

1 信號模型

1.1 基于MUSIC算法的信號模型

假設(shè)N個窄帶遠場信號源si(t)入射到M元均勻線陣上，接收信號模型可以表示為如下：

X=AS+W

(1)

以MUSIC算法為代表的傳統(tǒng)DOA估計算法基于奇異值分解，利用噪聲子空間和信號子空間的正交性來實現(xiàn)高分辨率的DOA估計。接收信號的協(xié)方差矩陣為：

RXX=E{XXT}

(2)

對RXX進行奇異值分解，得到信號子空間QS∈CM×N和噪聲子空間QW∈CM×(M-N)，從而得到MUSIC算法的空間譜估計如下：

(3)

由于信號子空間與噪聲子空間的正交性，利用MUSIC算法進行測向時，得到的最大的峰值方向就是信號的來波方向。在高信噪比的條件下，MUSIC算法能得到較好的性能，但是其有兩方面的不足[9]：需要知道信源的個數(shù)以及只能對非相干信源進行DOA估計。

1.2CS-MUSIC

把空間角度劃分為G份，[θ1,θ2,…,θG],G?N，在稀疏域的DOA估計模型如下：

X=ΨS+W

(4)

式(4)中，S=[s1(t),…,sG(t)]T中有N個非零的列，Ψ∈CM×G是過完備原子基。利用l1范數(shù)對上式進行求解，找出S中最大的N個元素值：

(5)

在快拍數(shù)為單快拍的條件下，對應(yīng)的模型是單測量矢量模型(Single Measurement Vectors，SMV)，否則是多測量矢量模型(Multiple Measurement Vectors, MMV)問題。對于單快拍SMV問題，除了凸優(yōu)化的解決方法，貪婪算法通過迭代運算也能得到稀疏系數(shù)的解。對于SMV問題的求解最常用的兩種貪婪算法是正交匹配追蹤和基追蹤算法。對于MMV問題，算法應(yīng)該能恢復(fù)出聯(lián)合稀疏矩陣S。一般使用混合范數(shù)來求解聯(lián)合稀疏矩陣S：

(6)

(7)

式(7)中，j?{1,…,G}表示Ψ的列。在相干信源的情況下，rank(S)=r

(8)

2 基于混合范數(shù)的來波方位估計方法

圖1的流程圖說明了本文所提算法的步驟，壓縮感知是以概率性的方式重構(gòu)空間譜，而MUSIC算法是以確定性的方式構(gòu)造空間譜。壓縮感知突出的優(yōu)勢是在較少的快拍數(shù)的情況下具有較高的分辨率，其特殊的重構(gòu)方式使得該方法具有抗干擾性，但隨著快拍數(shù)的增加，壓縮感知算法不能給出尖銳的譜峰，而MUSIC算法在快拍數(shù)較多時能得到尖銳的譜峰。因此使用混合l1,2范數(shù)與MUSIC算法相結(jié)合能實現(xiàn)比其他MMV稀疏恢復(fù)算法或傳統(tǒng)DOA估計算法更好地測向性能。

利用本文算法來進行來波方位估計包含以下三個步驟：1)由于本文算法在處理DOA估計時，需要知道信號源的數(shù)目，因此，在信源數(shù)目未知時首先利用蓋氏圓方法(Gerschgorin)[11]對信號源數(shù)目進行估計，蓋氏圓方法在相關(guān)信源，白噪聲和色噪聲的條件下均能精確的估計出信源數(shù)； 2)在得到信號源數(shù)目的條件下，利用l1,2范數(shù)最小化求出SuppS(N-r)；3)找出SuppS中剩余的r個元素，然后使用MUSIC算法進行DOA估計。為了降低式(4)中X的維數(shù)，首先進行奇異值分解：

X=UDrVT

(9)

式(9)中，Dr∈Cr×r是包含最大奇異值的滿秩對角矩陣，U∈CM×r和V∈CK×r分別是對應(yīng)的酉矩陣。降維后的信號模型為：

XSV=ΨSSV

(10)

式(10)中，XSV=XV，SSV=SV。把降維后的式(10)首先利用l1,2范數(shù)最小化求出SuppS(N-r)的下標：

(11)

式(11)中，σ2表示稀疏恢復(fù)需要的噪聲門限，把通過上式求出的SuppS記為IN-r。然后通過MUSIC算法找出SuppS中剩余的r個下標。從Ψ中選擇下標為IN-r的元素記為ΨIN-r從而形成新的噪聲子空間。對于其他下標的元素利用式(8)找到非零元素的下標并且按升序排列。

本文提出一種新的混合l1,2-MUSIC算法，盡管l2,1-MUSIC算法在文獻[12]中被提出，但是本文算法從另一個角度來對來波方位進行估計。所提算法把壓縮感知以概率性的方式重構(gòu)空間譜和MUSIC算法以確定性的方式構(gòu)造空間譜結(jié)合起來。并且使用新的兩種范數(shù)對信號進行恢復(fù)同時不需要考慮信源的相關(guān)就能得到完整的信號支持域SuppS，克服了傳統(tǒng)MUSIC算法以及CS-MUSIC算法的不足。通過在劃分的空間網(wǎng)格上重新排列SuppS的下標，利用壓縮感知稀疏恢復(fù)算法能得到精確的高分辨率信號的來波方位。

3 實驗驗證

由于在實際的來波方位估計中，正弦信號、高斯信號和線性調(diào)頻信號得到了廣泛的應(yīng)用，本文把這三種信號應(yīng)用于所提出的算法中，通過本文算法在三種不同信號中的應(yīng)用來說明所提算法能夠應(yīng)用于實際的信號來波方位估計中。

為了說明本文算法的有效性，通過與MUSIC算法以及CS-MUSIC算法進行對比。算法的性能通過不同信噪比下的均方誤差、不同快拍數(shù)下的均方誤差以及對相關(guān)信源的分辨能力來進行說明。分別在信源為正弦信號、高斯信號以及線性調(diào)頻信號的情況下比較三種算法的性能。同時定義克拉美羅界如下[13]：

(12)

式(12)中，K表示快拍數(shù)，M表示陣元的數(shù)目，d表示陣元間距，θ表示方位角。

3.1 不同信噪比下的均方誤差實驗

正弦信號的頻率設(shè)置為100 Hz，高斯信號的方差設(shè)置為σ=0.01，線性調(diào)頻信號的頻率隨時間線性變化，初始值設(shè)置為100 Hz，以0.1 Hz的速率進行增加。所有的結(jié)果是100次獨立蒙特卡羅實驗的平均，圖3表示三種算法的均方誤差隨信噪比的變化。陣元數(shù)為10，陣元間距為λ/2，采用50個快拍的接收數(shù)據(jù)。信噪比的變化范圍為[-5，20]dB。入射信號來自于40°方向，把[0,180°]的角度劃分間隔為1 801份。對于MMV問題下的SuppS，本文算法通過混合l1,2范數(shù)最小化和MUSIC算法來求解，而CS-MUSIC通過SOMP和MUSIC來求解。

從圖2中可以看出：當信號為正弦信號時本文算法的性能優(yōu)于MUSIC算法以及CS-MUSIC算法；但對于高斯信號以及線性調(diào)頻信號在信噪比較低時，本文算法性能差于其他兩種算法。這是因為高斯信號以及線性調(diào)頻信號在頻率域不具有稀疏性。

3.2 不同快拍數(shù)下的均方誤差實驗

快拍數(shù)的變化范圍為[1,1 000]，陣元數(shù)為12，SNR=0 dB，信源來波方位為40°，其他實驗條件不變。從圖3中可以看出在低快拍數(shù)的條件下，本文所提算法優(yōu)于MUSIC算法和CS-MUSIC算法。

3.3 三種算法對相關(guān)信源的分辨率實驗

兩個相關(guān)正弦信號來自于不同的方向，陣元數(shù)采用20，快拍數(shù)為200，信噪比SNR=0 dB。第一個信源的角度為-1°，第二個信源的角度在第一個的基礎(chǔ)之上以0.1°的速率進行增加。真實的信源間隔應(yīng)該是一條直線。由于MUSIC算法不能處理相關(guān)信源，所以只對本文算法和CS-MUSIC算法的性能進行比較。從圖4中可以看出：本文算法能夠分辨的角度間隔是0.5°，而CS-MUSIC算法能夠分辨的最小的角度間隔為0.7°；并且在角度間隔小于0.5°的條件下，本文算法的性能優(yōu)越于CS-MUSIC。

通過以上仿真實驗可以得出，本文提出的新的混合范數(shù)的方法的確提高了來波方位的估計性能。并且針對不同的信號進行了分析，因此，本文所提算法在實際的情況下也能對信號進行來波方位估計。

4 結(jié)論

本文提出基于混合范數(shù)的來波方位估計方法。該方法利用壓縮感知稀疏恢復(fù)的混合l1,2范數(shù)對噪聲子空間和信號子空間進行稀疏恢復(fù)，得到一種新的高分辨率的來波方位估計方法。仿真結(jié)果表明,在非相干信源和相干信源的條件下，本文算法性能優(yōu)于MUSIC和CS-MUSIC算法。但是，本文算法的測向性能仍然不能達到克拉美羅界，同時當角度間隔小于0.5°時，本文算法不能精確地分辨出兩個信號；并且，本文算法需要預(yù)估計信源數(shù)，而且陣元數(shù)要多于信源數(shù)。對于信源數(shù)未知的情況下，在下一步的研究中可以在DOA估計之前，先利用最新的信源數(shù)目估計算法對來波數(shù)目進行精確地估計，然后再利用本文所提的算法對信號的來波方位進行精確恢復(fù)。

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DOA Estimation Based on Mixed-Norm Algorithm

XIE Qianpeng, WANG Lunwen

(Electronic Engineering Institute of PLA, Hefei 230037, China)

In order to solve the poor performance of the traditional MUSIC algorithm and CS-MUSIC algorithm DOA estimation in the condition of coherent and incoherent sources, an approach based on Mixed-Norm of compressive sensing was proposed in this paper. The proposed method used the characteristics of MUSIC and compressive sensing sparse recovery to obtain the support of the signal domain, then the noise subspace and signal subspace were obtained by the support of the signal domain. Finally, an approach was obtained based on the combination the signal subspace and noise subspace with classical MUSIC algorithm. Simulation experimental results proved that the proposed method had superior performance than MUSIC and CS-MUSIC algorithm under the condition of incoherent source. At the same time, the algorithm‘s angular resolution was also superior to CS-MUSIC algorithm under the condition of coherent source.

DOA estimation, CS-MUSIC, compressive sensing, mixed-norm

2016-9-23

國家自然科學(xué)基金項目資助(61273302)

謝前朋(1991—)，男，河南鄲城人，碩士研究生，研究方向：智能信號處理。E-mail：13721038905@163.com。

TN911.7

A

1008-1194(2017)01-0071-05