非線性入滲模型求參中參數(shù)初始值確定方法研究

沈洪政，王仰仁，韓娜娜

(天津農(nóng)學院水利工程學院，天津 300384)

0 引 言

參數(shù)擬合初始值的確定是非線性模型參數(shù)優(yōu)化的基本問題。對于非線性模型參數(shù)擬合人們提出了多種方法[1-3]。李春友[4]等提出用優(yōu)化方法計算Van Genuchten模型參數(shù)，擬合初始值參考有關文獻選取。由于所選初值有時對擬合值有較大的影響,因此在這種情況下就需要多次調(diào)初值才可獲得較為滿意的擬合效果。錢天偉[5]等用單純形調(diào)優(yōu)法和單純形加速法作為優(yōu)化手段，結合計算機程序進行參數(shù)優(yōu)化求解，但其初始值是任意給定的。以上均是從參數(shù)優(yōu)化求解方法角度進行研究，對于優(yōu)化初始值如何選取，沒有給出普遍適用的方法。

在求解非線性模型問題時，通常利用最小二乘法進行參數(shù)優(yōu)化擬合。對于有明確物理意義的參數(shù)，可以根據(jù)其物理意義進行初始值的確定。對于沒有明確物理意義的模型參數(shù)，通常采用均勻網(wǎng)格法[6]和外推內(nèi)插法[7]等進行初始值的選取。對于以上方法，由于需要進行反復尋優(yōu)，選取的初始點較多，過程復雜，使用不方便。因此，本文以擬合精度較高的非線性土壤入滲Green Ampt模型和Horton公式為例，提出采用泰勒級數(shù)法確定初始值，避免了初始值選取的煩瑣過程，提高了參數(shù)擬合的效率和精度。

1 方法介紹

1.1 目標函數(shù)

(1)

1.2 入滲模型介紹

1.2.1 Green-Ampt模型

Green-Ampt模型是Green W H和Ampt G A根據(jù)毛管理論提出的近似積水模型[8,9]。在土層均勻、初始土壤干燥的薄層積水入滲條件下，利用達西定律，經(jīng)過化簡與推導，可得到Green-Ampt入滲公式[10]：

(3)

式中：i(t)為入滲率，mm/min；ic為穩(wěn)定入滲率，mm/min；I(t)為累積入滲量，mm；t為入滲時間，min；b為參數(shù)，其中ic和b為待定參數(shù)。

1.2.2 霍頓(Horton)公式

霍頓(1940年)提出的入滲公式為：

i(t)=ic+(i0-ic)e-βt

(4)

(5)

式中：i0為初始入滲率，cm/min；β為衰減參數(shù)，其余符號意義同前，其中i0、ic、β為待定參數(shù)。

Green-Ampt模型和Horton公式具有較高的擬合精度，因而被得到廣泛的使用。由公式的形式易知，兩者均為非線性模型，其參數(shù)的擬合屬于非線性擬合問題。在利用最小二乘法(OLS)進行參數(shù)優(yōu)化擬合時，兩模型中的參數(shù)i0和ic的初始值可根據(jù)其物理意義進行確定，而參數(shù)b及β由于沒有明確的物理意義，用外推內(nèi)插法等方法確定時過程煩瑣。針對此問題，本研究提出利用泰勒級數(shù)法對公式進行展開，結合田間實測入滲數(shù)據(jù)，獲得未知參數(shù)b和β的初始值，再利用OLS進行擬合，即可得到最優(yōu)入滲模型參數(shù)。

1.3 初始值的確定

1.3.1 參數(shù)i0和ic初始值的確定

參數(shù)i0和ic分別表示初始入滲率和穩(wěn)滲率。初始入滲率可選取入滲試驗測定的最大入滲率值作為參數(shù)i0的優(yōu)化初始值，穩(wěn)滲率可選取入滲試驗測定的最小入滲率值作為參數(shù)ic的優(yōu)化初始值。

1.3.2 參數(shù)b初始值的確定

參數(shù)b初始值可采用泰勒級數(shù)法確定。為了便于泰勒公式的展開，對于公式(3)將其改寫為以t為因變量的顯式函數(shù)：

(6)

(7)

取式(7)中前3項，代入式(6)中得：

(8)

1.3.3 參數(shù)β初始值的確定

(9)

取式(9)中前3項，代入式(5)中得：

(10)

由式(8)和式(10)知，通過泰勒級數(shù)法展開后，非線性模型轉(zhuǎn)化為線性模型，結合i0和ic的實際物理意義及田間實測入滲數(shù)據(jù)即可確定入滲模型參數(shù)的初始值，進而可以利用最小二乘法進行參數(shù)擬合。現(xiàn)以天津農(nóng)學院農(nóng)田水循環(huán)試驗基地測得的田間入滲數(shù)據(jù)為例，驗證方法的合理性。

2 實例計算

2.1 試驗區(qū)概況

天津農(nóng)學院農(nóng)田水循環(huán)試驗基地位于天津市楊柳青鎮(zhèn)大柳灘村(116°57′E，39°08′N，海拔5.49 m)，全年平均氣溫11.6 ℃。試驗田總面積1 hm2，地下水位變幅在2.06～3.70 m之間，試驗區(qū)土壤理化性質(zhì)見表1，土壤水分特征曲線參數(shù)[11]見表2和圖1。

2.2 測試方法

試驗在2011年分2次測試，分別在灌溉冬水的麥田、不灌冬水的麥田和棉花茬地進行(試驗區(qū)簡圖見圖2)。測試時間為1月6日(氣溫為-5.6 ℃，相應麥田測試點次編號分別記為1和2)和3月28日(氣溫為11.2 ℃，麥田測試點次編號分別記為4和5)；棉花試驗田只在3月28日測試，其測試點次編號記為3。

表1 試驗區(qū)土壤理化性質(zhì)

表2 試驗區(qū)土壤水分特征曲線參數(shù)

圖1 試驗區(qū)土壤水分特征曲線圖

試驗采用雙環(huán)入滲儀測定土壤水分入滲過程[12]。內(nèi)環(huán)橫截面積1 000 cm2，內(nèi)環(huán)直徑35.7 cm，外環(huán)直徑60 cm，內(nèi)外環(huán)高度均為30 cm。試驗前，將滲透環(huán)埋于試驗田，埋入土壤的深度為10 cm。內(nèi)環(huán)加水保持5 cm水頭，采用手動方式向環(huán)內(nèi)加水，利用量筒計量，使得內(nèi)外環(huán)水位齊平。試驗開始后記錄每次灌入水量和相應的時間，其內(nèi)環(huán)灌入水量即為滲入水總量，測試直到入滲率基本穩(wěn)定為止，記錄內(nèi)環(huán)水量全部滲完為止的時間。

圖2 試驗區(qū)簡圖(單位：m)

2.3 結果分析

2.3.1 b值與β值計算結果分析

根據(jù)初始值確定方法的介紹，以天津農(nóng)學院水循環(huán)試驗基地在2011年1月6日和2011年3月28日測得的入滲數(shù)據(jù)為基礎，經(jīng)過計算，給出了各測試點b和β平均值的計算結果(表3)以及各測試點b和β值隨時間變化的曲線關系圖(圖3、圖4)。

表3 各測試點b與β平均值計算結果表

由表3知，通過平均值法計算得到的Green-Ampt模型中參數(shù)b的值在各測試點之間變化相對較大，Horton公式中參數(shù)β的值在個測試點之間變化較小。從Green-Ampt模型和Horton公式的實際意義分析來看，當入滲時間t→∞時，入滲速率i趨于穩(wěn)定入滲率ic，當入滲時間t不斷增加時，入滲速率i也趨于穩(wěn)定入滲率ic。為滿足此變化規(guī)律，要求b值和β值均為正值，這與計算的結果相符，表明用取平均值的方法計算b值和β值是可行的。

圖3 各測試點b值隨時間變化曲線

圖4 各測試點β值隨時間變化曲線

由圖3和圖4知，在入滲試驗初期，由于初始表層土壤含水率及土壤吸力大小等變化較大，入滲速率變化較大，導致b值和β值變化較大。隨著入滲試驗的進行，入滲速率逐漸穩(wěn)定，各測試點b值和β值變化也趨于平穩(wěn)。β值基本上在橫軸附近上下變化，b值基本上在79上下變化。說明，采用泰勒級數(shù)法確定的b值和β值具有較好的穩(wěn)定性，且β值較b值更穩(wěn)定。

2.3.2 Green-Ampt模型及Horton公式參數(shù)擬合結果

以b和β求出的值作為初始值，以累積入滲量I(t)的實測值與模擬值誤差平方和最小為目標，利用Excel規(guī)劃求解工具，分別對Green-Ampt模型及Horton公式的參數(shù)進行擬合。

表4 Horton公式參數(shù)擬合結果表

表5 Green-Ampt公式參數(shù)擬合結果表

由表4和表5知：

(1)采用泰勒級數(shù)法確定初始值來描述入滲變化具有較高精度，相關系數(shù)R2均達到0.85以上，最大值達到了0.998 6，具有較好的相關性。但由于初始入滲率i0和穩(wěn)滲率ic只是簡單選取測試數(shù)據(jù)的最大值和最小值，同時β和b值均采用測試數(shù)據(jù)的平均值計算得出，因此，需對參數(shù)初始值進行擬合。由擬合后的結果知，相關系數(shù)R2均達到了0.99以上，擬合精度得到顯著提高。

(2)對比Horton公式和Green-Ampt模型參數(shù)擬合結果知，Horton公式擬合參數(shù)均為正值，Green-Ampt模型擬合結果中穩(wěn)定入滲率 出現(xiàn)了負值，與穩(wěn)定入滲率 的實際物理意義不符。從均方差計算結果來看，Horton公式計算的各測試點之間均方差的值相差不大，均在1.63上下變化。Green-Ampt模型計算的各測試點之間均方差的值相差較大，最大值達到了7.31，最小值為0.76，變化較大。因此，Horton公式的參數(shù)比Green-Ampt模型的參數(shù)更加穩(wěn)定，公式更具有適用性。

圖5 Green-Ampt模型各測試點累積入滲量實測值與模擬值隨時間變化曲線

圖6 Horton公式各測試點累積入滲量實測值與模擬值隨時間變化曲線

圖5和圖6給出了各測試點Green-Ampt模型和Horton公式累積入滲量模擬值與對應實測值隨時間變化的曲線。由圖可見，各測試點Green-Ampt模型和Horton公式累積入滲量的模擬值擬合精度均較高。說明，采用泰勒級數(shù)法確定的初始值進行參數(shù)擬合具有較高的準確性。另一方面，由于測試時溫度的不同，灌冬水的麥田測試點1和測試點5，其累積入滲量之間變化較大，不灌冬水的麥田測試點2和測試點4也有相同變化規(guī)律。而對于測試溫度相同的麥田測試點1、2(-5.6 ℃)和測試點4、5(11.2 ℃)而言，其累積入滲量實測值與模擬值隨時間變化趨勢相近，表明，溫度對土壤水分入滲過程有很大影響。

2.3.3 溫度對入滲結果的影響

通過圖5和圖6的分析結果可知，溫度對入滲結果有很大影響，溫度越高，入滲速率越大，反之越小。茲以參數(shù)穩(wěn)定性較好的Horton公式為例，考慮溫度對入滲結果的影響，在式(4)和式(5)中引入溫度修正系數(shù)，

i(t)=KT[ic+(i0-ic)e-βt]

(12)

其中：

KT=ea(T-15)

(13)

式中：KT為溫度修正系數(shù)；T為氣溫，℃；a為參數(shù)，15為參考溫度，℃。對式(11)，將各測試點(1和5、2和4)在同一時間的實測入滲量數(shù)值之比與不同溫度(-5.6 ℃，11.2 ℃)下的溫度修正系數(shù)KT值之比建立等式關系[式(14)]，由此便可求得參數(shù)a的值(見表6)，由測試點1和5求得的a值為0.044 1，由測試點2和4求得a的值為0.050 7。參數(shù)a的值確定以后，再將不同溫度(-5.6 ℃，11.2 ℃)值代入式(11)中，即可求得溫度修正系數(shù)值。

(14)

式中：T1、T2分別為不同灌水地塊的氣溫；I1(t)、I2(t)分別為不同測試點的實測入滲量值。圖7和圖8分別表示不考慮溫度修正的入滲曲線及考慮溫度修正的入滲曲線。由圖7和圖8知，引入溫度修正系數(shù)以后，不同溫度的入滲曲線很好的重合到一起(參考溫度條件下)，顯著地改善了入滲曲線擬合精度。

表6 a值計算結果表

圖7 不考慮溫度修正的入滲曲線

圖8 考慮溫度修正的入滲曲線

3 結 語

本文以非線性土壤入滲Green-Ampt模型和Horton公式為例，提出采用泰勒級數(shù)法確定其模型參數(shù)初始值，同時考慮了溫度對入滲結果的影響。結果表明，在初始值擬合基礎上，相關系數(shù)均達到0.85以上，經(jīng)最小二乘法擬合后，實測值與模擬值相關系數(shù)提高到0.99以上?？紤]溫度修正系數(shù)以后，不同溫度的入滲曲線很好的重合到一起(參考溫度條件下)，顯著地改善了入滲曲線擬合精度。

泰勒級數(shù)法具有更好的理論基礎，避免了非線性規(guī)劃求參中需要設置多個初始值的不足，可顯著提高計算效率，而且可以提高參數(shù)尋優(yōu)的準確度，適用于無法線性化的非線性模型參數(shù)初始值的確定。但是，在擬合計算過程中Green-Ampt模型參數(shù) 值出現(xiàn)了負值情況，與其實際物理意義相矛盾，尚需進一步研究。

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