基于非穩(wěn)定過(guò)程的巖土體非飽和參數(shù)反演分析

馬恒臻，劉明明，陳 君，王旭輝

(1. 武漢大學(xué)水資源與水電工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430072；2. 武漢大學(xué)水工巖石力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430072)

0 引 言

非飽和滲流問(wèn)題一直是水利工程、巖土工程、環(huán)境工程研究的熱點(diǎn)，其在壩體滲流、降雨入滲、淺層地下水污染治理等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1]。過(guò)去幾十年中，大量關(guān)于非飽和滲流的研究[2-4]主要集中于各種非飽和土體，并且對(duì)于非飽和土的持水特征曲線有相對(duì)成熟的試驗(yàn)測(cè)定技術(shù)[6,7]。但對(duì)于巖體，由于其結(jié)構(gòu)特征、孔隙和裂隙發(fā)育程度不均一，天然性質(zhì)極其復(fù)雜，導(dǎo)致巖體的非飽和水力特性的確定及其非飽和參數(shù)的試驗(yàn)測(cè)定非常困難。因此，研究巖體非飽和水力參數(shù)的確定方法具有重要意義。孫樹(shù)林等[8]基于巖體微觀結(jié)構(gòu)和毛細(xì)管理論得到了裂隙孔隙巖體持水特征曲線。王恩志等[9]對(duì)裂隙巖體非飽和滲流中應(yīng)用V-G模型和B-C模型進(jìn)行評(píng)價(jià)并建立了改進(jìn)的本構(gòu)關(guān)系。根據(jù)現(xiàn)階段研究成果，壓汞試驗(yàn)可以確定孔隙性巖體的持水特征曲線，但試驗(yàn)過(guò)程困難。另外，天然巖體中孔隙、裂隙的發(fā)育存在極大的不均勻性和復(fù)雜性，小尺度測(cè)定技術(shù)難以反映現(xiàn)場(chǎng)條件下巖體的非飽和水力特性。

另一方面，在實(shí)際工程中，以實(shí)測(cè)水位為已知信息來(lái)確定現(xiàn)場(chǎng)尺度下巖土體滲透特性的反饋分析方法已經(jīng)有了廣泛應(yīng)用。張乾飛等[10]基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性映射特性提出了大壩滲透系數(shù)的反演方法。劉杰等[11]利用水頭實(shí)測(cè)資料，運(yùn)用遺傳算法反演了裂隙巖體滲透系數(shù)。上述方法多用于確定滲流場(chǎng)中各巖土介質(zhì)的飽和滲透系數(shù)，而將實(shí)測(cè)水位信息反饋分析方法用于巖土體非飽和參數(shù)確定方面的研究報(bào)道較少。

本文在非飽和滲流的框架下，建立了正交設(shè)計(jì)、非飽和滲流正分析、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法優(yōu)化相結(jié)合的反演分析方法，確定了基于V-G模型[4]的巖土體持水特征曲線參數(shù)。該方法首先以研究區(qū)域的水文地質(zhì)條件為基礎(chǔ)，確定待求的巖土體非飽和參數(shù)及其合理的變化范圍；其次運(yùn)用正交設(shè)計(jì)生成樣本組，其中每個(gè)樣本和一組參數(shù)組合相對(duì)應(yīng)；然后對(duì)每個(gè)樣本采用非飽和有限元滲流分析來(lái)模擬其滲流場(chǎng)的變化過(guò)程，得到相應(yīng)監(jiān)測(cè)點(diǎn)處的計(jì)算結(jié)果及其變化曲線；進(jìn)而將各個(gè)樣本對(duì)應(yīng)的參數(shù)組合作為輸入，監(jiān)測(cè)點(diǎn)處的水頭值作為輸出，訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；最后通過(guò)訓(xùn)練得到的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)預(yù)測(cè)任意參數(shù)組合下的計(jì)算值，并以接近監(jiān)測(cè)資料為目標(biāo)，采用遺傳算法獲得最佳非飽和參數(shù)取值。本文以一次降雨過(guò)程中巖質(zhì)邊坡非飽和滲流場(chǎng)的動(dòng)態(tài)變化為例，論證了該方法的可行性和可靠性。

1 非飽和滲流理論及其反問(wèn)題

1.1 飽和/非飽和滲流數(shù)學(xué)模型

根據(jù)質(zhì)量守恒定律，可建立巖土體區(qū)域Ω內(nèi)飽和/非飽和滲流的控制方程：

▽·v=0 (inΩ)

(1)

式中：φ=h+z為總水頭，h為壓力水頭，z為垂直坐標(biāo)；C=?Se/?h為容水度，在非飽和區(qū)可表示為壓力水頭h或基質(zhì)吸力s的函數(shù)，在飽和區(qū)為零，Se為飽和度；Ss為單位貯存量，在非飽和區(qū)為0；β在飽和區(qū)等于1，非飽和區(qū)等于0。

巖土體中的飽和/非飽和滲流規(guī)律可用廣義Darcy定律表示：

v=-kr(s)k▽?duì)?/p>

(2)

式中：k為巖土體的飽和滲透張量；kr為相對(duì)滲透率，可表示為飽和度Se或基質(zhì)吸力s的函數(shù)。

式(1)的初始條件如下：

φ(x,y,z,t0)=φ0(x,y,z) (inΩ)

(3)

式中：φ0為初始水頭場(chǎng)；t0為初始時(shí)刻；x和y為坐標(biāo)分量。

式(1)還應(yīng)滿(mǎn)足如下邊界條件：

(1)水頭邊界條件：

(4)

(2)流量邊界條件：

(5)

(3)飽和溢出邊界條件：

qn=-v·n≤0 且φ=z(onΓs)

(6)

式中：Γs為溢出邊界。

(4)非飽和流量邊界條件：

且φ

(7)

式中：Γuq為非飽和流量邊界，包括溢出邊界ΓE(如蒸發(fā)邊界)和降雨入滲邊界ΓR。

巖土體飽和度Se與基質(zhì)吸力s之間的關(guān)系稱(chēng)為持水特性曲線。在眾多描述持水特征曲線的模型中，V-G模型以其線型與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)吻合程度高而得到廣泛應(yīng)用[12]，其表達(dá)式如下：

(9)

式中：θ為巖土體體積含水率；θr、θs為巖土體殘余含水率和飽和含水率；α為反映巖體進(jìn)氣值的參數(shù)，n為控制曲線斜率的參數(shù)，m=1-1/n。四個(gè)模型參數(shù)中，飽和含水率θs、殘余含水率θr與巖土體本身的性質(zhì)及類(lèi)型有關(guān)，可通過(guò)室內(nèi)或現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)確定或根據(jù)巖土體孔隙率大致確定；而α和n則為經(jīng)驗(yàn)擬合參數(shù)，對(duì)非飽和滲流運(yùn)動(dòng)有顯著的影響[13]。因此，在非飽和滲流反演分析中，經(jīng)驗(yàn)參數(shù)α、n可作為待反演參數(shù)，來(lái)確定非飽和水力特征參數(shù)取值，進(jìn)而描述非飽和滲流運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

1.2 非飽和滲流反問(wèn)題

(10)

式中：f1(·)為目標(biāo)函數(shù)；G與R為待反演非飽和參數(shù)與降雨數(shù)據(jù)；φki與φi為監(jiān)測(cè)點(diǎn)i的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與計(jì)算數(shù)據(jù)；‖·‖2與dim(·)分別表示歐幾里德范數(shù)與向量的維度。

2 巖土體非飽和參數(shù)反演分析方法

由于采用試算方法確定待反演參數(shù)存在效率較低、耗時(shí)較長(zhǎng)且容易陷入局部最優(yōu)等問(wèn)題，本文將正交設(shè)計(jì)、非飽和滲流正分析、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法相結(jié)合，以保證反演分析的可行性與有效性。反演分析流程圖如圖1所示。

圖1 反演分析方法流程圖Fig.1 Flow chart of back-analysis method

2.1 正交設(shè)計(jì)

正交設(shè)計(jì)可以在眾多的試驗(yàn)方案中安排少量有代表性的方案，采用正交設(shè)計(jì)科學(xué)安排神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本數(shù)，可使反演分析計(jì)算量大為減少[14]。在實(shí)際工程反演問(wèn)題中，計(jì)算規(guī)模一般較大，如需進(jìn)行5水平6因素試驗(yàn)時(shí)，若采用全面試驗(yàn)，則要進(jìn)行56=15 625次有限元正算，計(jì)算量巨大，若采用正交設(shè)計(jì)僅需36次計(jì)算即可滿(mǎn)足要求。

2.2 非飽和滲流正分析

根據(jù)正交設(shè)計(jì)給出的一系列非飽和參數(shù)組合，采用前述非飽和滲流計(jì)算方法進(jìn)行有限元計(jì)算，得到各個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的水頭數(shù)據(jù)，并以此作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本。

2.3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是按誤差逆?zhèn)鞑ニ惴ㄓ?xùn)練的多層前饋網(wǎng)絡(luò)的簡(jiǎn)稱(chēng)，可以建立輸入數(shù)據(jù)與輸出數(shù)據(jù)之間的隱式映射關(guān)系[15,16]。

圖2 單隱含層BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure of a typical single hidden-layer BPNN

圖2為單隱含層BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，包括一個(gè)輸入層(Y)，一個(gè)隱含層(Z)和一個(gè)輸出層(K)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層參數(shù)為巖土體非飽和參數(shù)組合和降雨數(shù)據(jù)，輸出層為監(jiān)測(cè)點(diǎn)水頭數(shù)據(jù)。由于樣本數(shù)據(jù)量綱不同，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練之前，需對(duì)根據(jù)下式對(duì)輸入和輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化預(yù)處理。

(11)

式中：pn歸一化后的值；p為樣本原始值；pmax和pmin分別為樣本原始的最大值和最小值。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練步驟如下：

(1)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中給每個(gè)連接權(quán)值和閾值賦位于區(qū)間(-1, 1 )上的隨機(jī)初始值。

(2)提供訓(xùn)練輸入樣本和目標(biāo)輸出樣本。

(3)隨機(jī)選取一個(gè)輸入樣本，計(jì)算BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層和輸出層各節(jié)點(diǎn)的輸出值。

(4)根據(jù)目標(biāo)值與輸出值之間的偏差，計(jì)算反向誤差，對(duì)權(quán)值進(jìn)行修正。

(5)選取下一個(gè)訓(xùn)練樣本提供給神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，返回步驟(3)，直至整個(gè)訓(xùn)練樣本訓(xùn)練完畢。

(6)重復(fù)樣本學(xué)習(xí)，直至神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局誤差E收斂至小于目標(biāo)誤差，此時(shí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練結(jié)束。

2.4 遺傳算法

遺傳算法是一種仿生物全局優(yōu)化算法，其靈感來(lái)自于自然選擇和進(jìn)化過(guò)程，可以達(dá)到解的優(yōu)化最大化。該算法克服了傳統(tǒng)方法易于陷入局部最優(yōu)解的缺點(diǎn)，適用于目標(biāo)函數(shù)具有多極值點(diǎn)的優(yōu)化問(wèn)題[17]。采用遺傳算法能夠找到一組監(jiān)測(cè)點(diǎn)水位計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)最為吻合的參數(shù)組合，以此作為非飽和參數(shù)的最佳反演參數(shù)。遺傳算法的實(shí)施步驟如下：

(1)種群初始化。在巖土體非飽和參數(shù)的取值范圍內(nèi)，生成一系列隨機(jī)解，形成初始種群N，并對(duì)其進(jìn)行二進(jìn)制編碼。

(2)適應(yīng)度函數(shù)的設(shè)定。本文把目標(biāo)函數(shù)[式(10)]的導(dǎo)數(shù)值作為適應(yīng)度函數(shù)，并把耗時(shí)的有限元計(jì)算用訓(xùn)練好的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代替，進(jìn)而使反演效率大為提高。

(3)選擇、交叉和變異。選擇操作采用隨機(jī)遍歷抽樣的方式選擇最優(yōu)個(gè)體，交叉操作采用交叉概率pc對(duì)個(gè)體進(jìn)行交叉操作，變異操作使用變異概率pm產(chǎn)生出另外新的變異個(gè)體。

(4)循環(huán)操作。循環(huán)調(diào)用選擇、交叉和變異操作不斷地產(chǎn)生新的種群個(gè)體，直至迭代過(guò)程收斂，此時(shí)的最優(yōu)個(gè)體即為巖土體非飽和參數(shù)最佳取值。

3 算例驗(yàn)證

以一次降雨過(guò)程中巖質(zhì)邊坡非飽和滲流場(chǎng)的動(dòng)態(tài)變化為例，驗(yàn)證上述反演分析方法的有效性和可靠性。計(jì)算模型如圖3所示，降雨量數(shù)據(jù)如圖4所示，邊坡三種巖土材料的飽和滲透系數(shù)k、巖土體的飽和含水率θs、殘余含水率θr為已知，具體取值見(jiàn)表1。選取三種典型巖土體的α、n值作為材料非飽和參數(shù)的真實(shí)值。將多年平均降雨量(2 mm/d)對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)滲流場(chǎng)作為初始條件進(jìn)行非飽和滲流分析。以非飽和滲流正算獲得的監(jiān)測(cè)點(diǎn)水頭值作為水位觀測(cè)值。

圖3 邊坡計(jì)算模型(單位：m)Fig.3 Calculation model of the slope

圖4 降雨量柱狀圖Fig.4 Rainfall histogram

編號(hào)材料滲透系數(shù)/(cm·s-1)θsθrα/m-1真實(shí)值取值范圍反演值相對(duì)誤差/%n真實(shí)值取值范圍反演值相對(duì)誤差/%Ⅰ覆蓋層8．00×10-30．320．060．100．050～5．00．09970．302．31．1～5．02．29590．18Ⅱ強(qiáng)風(fēng)化巖層2．00×10-40．120．030．050．005～0．50．05000．001．61．1～3．01．59780．14Ⅲ弱風(fēng)化巖層2．00×10-50．090．020．020．005～0．50．02094．501．41．1～3．01．40930．47

3.1 正交設(shè)計(jì)與正分析

根據(jù)典型巖土的α、n真實(shí)值確定其可能的取值范圍，每個(gè)參數(shù)選取7個(gè)水平，如表2所示，采用正交設(shè)計(jì)方法安排49種參數(shù)組合。對(duì)每組方案進(jìn)行有限元計(jì)算，得到各監(jiān)測(cè)點(diǎn)的水位計(jì)算值數(shù)據(jù)。

表2 正交設(shè)計(jì)和均勻設(shè)計(jì)水平與因素表Tab.2 Factors and levels of orthogonal and even design

3.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建

以上述49種非飽和參數(shù)組合方案和降雨數(shù)據(jù)為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，以每組方案下監(jiān)測(cè)點(diǎn)的水位變動(dòng)數(shù)據(jù)為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出，得到BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)樣本。然后采用均勻設(shè)計(jì)表U*10(108)[18]構(gòu)造10組參數(shù)組合方案，得到BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的測(cè)試樣本。

本文神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練在MATLAB平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)。本文采用的trainlm函數(shù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練函數(shù)，采用tansig函數(shù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層傳遞函數(shù)，采用purelin函數(shù)作為輸出層傳遞函數(shù)，以均方誤差函數(shù)mse作為網(wǎng)絡(luò)性能函數(shù)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最大訓(xùn)練次數(shù)為1 000次，目標(biāo)誤差為0.001。初始的連接權(quán)值和閾值設(shè)置為默認(rèn)值，學(xué)習(xí)率μ= 0.05，動(dòng)量項(xiàng)系數(shù)η= 0.9。輸入層設(shè)為7個(gè)節(jié)點(diǎn)，輸出層設(shè)為4個(gè)節(jié)點(diǎn)。隱含層神經(jīng)元根據(jù)試湊法確定[19]，常用的經(jīng)驗(yàn)公式為：

(12)

式中：z為隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)；y為輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)；k為輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)，p為1～10之間的整數(shù)。上式求得隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為4～13個(gè)。通過(guò)試算，最終選用7-12-4神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，此時(shí)測(cè)試樣本的均方誤差最小。圖5給出了7-12-4神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的誤差曲線，由圖可知，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在第27步達(dá)到目標(biāo)誤差，此時(shí)的收斂誤差為0.000 435 6。

圖5 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練誤差曲線Fig.5 Neural network training error curve

3.3 遺傳算法尋優(yōu)

根據(jù)2.2節(jié)所建立的目標(biāo)函數(shù)[式(10)]，采用遺傳優(yōu)化算法尋找目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。本例的初始種群N的大小設(shè)置為50個(gè)，交叉pc和變異pm操作的概率分別為0.9和0.1，進(jìn)化迭代過(guò)程見(jiàn)表3。由表3可見(jiàn)，隨迭代次數(shù)增加目標(biāo)函數(shù)值不斷減小，且反演迭代過(guò)程穩(wěn)定，在迭代步數(shù)達(dá)到16步時(shí)目標(biāo)函數(shù)值僅為4.01 ×10-5，此時(shí)反演值與理論值已非常接近，說(shuō)明本文方法是可行的。

3.4 反演分析結(jié)果

監(jiān)測(cè)點(diǎn)水位與反演計(jì)算值對(duì)比如圖6所示。由圖6可知，P1、P2測(cè)點(diǎn)位于強(qiáng)風(fēng)化巖層，水位計(jì)算值與觀測(cè)值幾乎吻合，P3、P4測(cè)點(diǎn)位于弱風(fēng)化巖層，監(jiān)測(cè)點(diǎn)水位計(jì)算值與觀測(cè)值之間的誤差在0.2 m范圍內(nèi)，表明本文方法是可靠的。

由表1可知，通過(guò)上述方法反演得到的三種材料的反演值與真實(shí)值極為相近，兩者相對(duì)誤差在5%以?xún)?nèi)。其中，覆蓋層和強(qiáng)風(fēng)化巖層的反演結(jié)果尤為準(zhǔn)確，這是由于覆蓋層、強(qiáng)風(fēng)化巖層結(jié)構(gòu)松散，降雨過(guò)程中非飽和帶水水分運(yùn)動(dòng)較快，因此該層的水位變動(dòng)較大，非飽和參數(shù)α、n對(duì)降雨量及測(cè)點(diǎn)水位信息較為敏感；而弱風(fēng)化巖層結(jié)構(gòu)相對(duì)完整，該層地下水水位相對(duì)穩(wěn)定，受上部降雨影響較小，反演結(jié)果有一定誤差。

表3 進(jìn)化迭代過(guò)程Tab.3 Evolution iterating process

圖6 監(jiān)測(cè)點(diǎn)水位與反演計(jì)算值對(duì)比圖Fig.6 Comparison of the measured and calculated water heads

4 結(jié) 論

本文根據(jù)監(jiān)測(cè)點(diǎn)水位數(shù)據(jù)，將正交設(shè)計(jì)、非飽和滲流正分析、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法結(jié)合，提出了基于非穩(wěn)定過(guò)程的巖土體非飽和參數(shù)反演分析方法，并通過(guò)算例驗(yàn)證了該反演分析方法的有效性和可靠性，為現(xiàn)場(chǎng)條件下巖土體非飽和參數(shù)的確定提供了一種可行方案。

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