高中數(shù)學(xué)數(shù)列的解題常規(guī)方法分析

孫瀟婧

【摘要】數(shù)列是高中數(shù)學(xué)關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)之一，我們要想在高中數(shù)學(xué)考試中取得理想的成績(jī)，掌握數(shù)列的解題思路與解題技巧至關(guān)重要。我將重點(diǎn)總結(jié)高中數(shù)學(xué)數(shù)列的解題常規(guī)方法。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 數(shù)列 解題方法 探究

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）01-0103-01

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重難點(diǎn)之一，高考中涉及數(shù)列知識(shí)的考題難度系數(shù)多中等偏上。由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，涉及大量的數(shù)學(xué)思想與知識(shí)點(diǎn)，如函數(shù)方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等。高考中的數(shù)列試題考查學(xué)生的綜合性知識(shí)掌握程度，不僅有復(fù)雜的運(yùn)算，還需要一定的技巧，要想縮短解題時(shí)間、提高解題的正確性，就必須掌握好的解題方法與技巧。

一、掌握數(shù)列的概念與基本性質(zhì)

我在遇到數(shù)列試題時(shí)，首先會(huì)分析數(shù)列試題的構(gòu)成，總的來說，數(shù)列試題多考查我們對(duì)數(shù)列基本概念以及通項(xiàng)公式的理解與掌握程度，在日常學(xué)習(xí)中應(yīng)重視這兩方面知識(shí)的學(xué)習(xí)。

（一）數(shù)列的基本概念

遇到考查數(shù)列基本概念的試題，一般直接運(yùn)用通項(xiàng)公式、求和公式來解答，這類試題比較基礎(chǔ)簡(jiǎn)單，沒什么技巧可言。

掌握等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)，必須掌握a1、d、n、an、sn這5者之間的關(guān)系，能從任意已知的3個(gè)量中，求出另外2個(gè)量，這就運(yùn)用了方程思想；掌握等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)，也是能從a1、q、n、an、sn這5個(gè)量中，任意已知3個(gè)量得出另外2個(gè)量。如，等差數(shù)量an，前n項(xiàng)和為sn，（n為整數(shù)），如果a5=5，s10=60，求數(shù)列的前5項(xiàng)和s5？利用等差數(shù)列公式：an=a1+（n-1）·d，等差公式前n項(xiàng)和公式為：an=n·（a1+an）/2，求出a1=-3，d=2，s5=10。在解答此類題型時(shí)，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式是關(guān)鍵，首先求出a1和d，然后利用通向公式求出an與sn，因此，我們只有掌握了數(shù)列的概念及公式，才能準(zhǔn)確解答此題試題。

（二）考查數(shù)列的性質(zhì)

二、理解掌握數(shù)列前n項(xiàng)和的求法

（一）錯(cuò)位相減法

分析近10年的高考數(shù)學(xué)試題發(fā)現(xiàn)，能運(yùn)用錯(cuò)位相減法解答的試題多側(cè)重于等比數(shù)列的推導(dǎo)以及相關(guān)數(shù)列公式的應(yīng)用，此類題目解答的關(guān)鍵就是靈活運(yùn)用平時(shí)教師講解的（等差數(shù)列×等比數(shù)列）類型數(shù)列的前n項(xiàng)和解法。如，已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，其中a1=1，an+1=2sn（n為正整數(shù)），求數(shù)列an以及數(shù)列nan的前n項(xiàng)和Qn，在解答這種類型題目時(shí)，學(xué)生要理解掌握題目的特點(diǎn)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘求和，此類題目就可使用錯(cuò)位相減法解答。在解題過程中，第一步是求出等比數(shù)列的公比以及首項(xiàng)，然后利用等比數(shù)列相關(guān)公式，算出a1=1，n=1，那么an=2·3n-2，其中n≥2，那么Qn的公式就出來了，然后根據(jù)Qn算出3Qn，使用錯(cuò)位相減法，兩個(gè)表達(dá)式相減得出Qn=1/2+（n-1/2）·3n-2，其中n≥2，經(jīng)驗(yàn)證n=1時(shí)，上式也成立，得出n的范圍為正整數(shù)，由數(shù)列的性質(zhì)以及解題方法看出，錯(cuò)位相減法在求（等差數(shù)列×等比數(shù)列）類型數(shù)列前n項(xiàng)和中運(yùn)用比較合適。所以，我們?cè)趯W(xué)習(xí)該知識(shí)點(diǎn)時(shí)，首先要全面掌握該知識(shí)點(diǎn)，然后重視學(xué)習(xí)解題思路，在解題過程中總結(jié)相關(guān)規(guī)律，總結(jié)解題方法。

（二）分組求和法

這種解題法適用于那些既不屬于等差數(shù)列，也不屬于等比數(shù)列的試題，解題時(shí)，將其拆分成幾個(gè)不同部分，能得出是等差數(shù)列或等比數(shù)列的組合。對(duì)于此類試題，一般采用分組求和法，將題中數(shù)列拆分成幾個(gè)容易求和的數(shù)列，分別求和后，最后合并求和。如，已知數(shù)列an（n為正整數(shù)），an=n+2n，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn。解題時(shí)，先假設(shè)n=1、2、3、4…那么，a1=3，a2=6，a3=10，a4=18…，由此可見，an既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是n+2n前面n是等差數(shù)列，后面2n是等比數(shù)列，因此，假設(shè)cn=n，dn=2n，那么，an=cn+dn，那么，等差數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為n+n·（n-1）/2；等比數(shù)列dn的前n項(xiàng)和為2·（2n-1）/2，那么數(shù)列an的前n項(xiàng)和為[n+n·（n-1）/2]+[2·（2n-1）/2]。由此可見，對(duì)于一些不能直接求和的數(shù)列，首先要學(xué)會(huì)拆分，然后求出每個(gè)子數(shù)列的前n項(xiàng)和，最后將每個(gè)子數(shù)列的前n項(xiàng)和相加，就得出原來數(shù)列的前n項(xiàng)和，值得一提的是，解答該類型題目的關(guān)鍵就是拆分題中的數(shù)列，可靈活使用多種拆分法，切忌拘泥于一種。

（三）合并求和法

在數(shù)列章節(jié)，常常會(huì)涉及到一些復(fù)雜特殊的數(shù)列題型，解答這類題型時(shí)，首先要整合數(shù)列中的某些項(xiàng)，才能發(fā)現(xiàn)計(jì)算方法與技巧，所以，教師在教學(xué)過程中，應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)列題中的合并項(xiàng)，合并完這些合并項(xiàng)后方可解題，能有效將難題簡(jiǎn)單化。

如，已知數(shù)列an，n為正整數(shù)，其中a1=2，a2=7，a3=5，an+2+an=an+1，求數(shù)列an的前1999項(xiàng)和S1999，假設(shè)n=4，5，6，那么a4=-2，a5=-7，a6=-5，由此可見，數(shù)列an既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是，在分析的過程中，發(fā)現(xiàn)a6m+1=2，a6m+2=7，a6m+3=5，a6m+4=-2，a6m+5=-7，a6m+6=-5，（k為正整數(shù)），由此可見S1998=0，S1999=0+S1999，由于1999=6×333+1，所以，a1999=2，那么S1999=2。從該題的解答過程中，我們可以看出使用合并求和法的關(guān)鍵在于找出數(shù)列中的特殊項(xiàng)，將特殊項(xiàng)合并，然后相互消減，將剩下的各項(xiàng)相加就得出了所求的前n項(xiàng)和，得出最終答案。

綜上所述，數(shù)列章節(jié)知識(shí)點(diǎn)是高考考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，并且會(huì)與三角函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)點(diǎn)緊密聯(lián)系在一起，相互滲透，一定程度上加大了題目的難度。學(xué)生要想成功解答數(shù)列試題，必須全面掌握數(shù)列概念以及基本性質(zhì)，否則任何的解題方法與技巧都是空談。

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