組合公式的推廣及應(yīng)用

內(nèi)蒙古呼和浩特土左旗金山學(xué)校 劉海軍

組合公式的推廣及應(yīng)用

內(nèi)蒙古呼和浩特土左旗金山學(xué)校 劉海軍

文章對二項(xiàng)式定理，組合數(shù)公式進(jìn)行了深入探討，得出了一些新的性質(zhì)、定理。通過對它們的恒等變形，在某些數(shù)列的求和方面進(jìn)行了有效的應(yīng)用，最后利用組合數(shù)學(xué)中的“查分表”法求部分和，此方法只需知道該數(shù)列的通項(xiàng)式，就可以求得前幾項(xiàng)的和，而且格式固定，便于操作。

二項(xiàng)式定理；組合公式；查分表

一、應(yīng)用二項(xiàng)式定理求某些組合數(shù)的數(shù)列求和問題

所謂二項(xiàng)式定理，是指設(shè)n是正整數(shù)，對于一切實(shí)數(shù)x和y，有

為了討論方便，不妨把數(shù)列中的每項(xiàng)中的組合數(shù)之外的部分稱為該項(xiàng)的系數(shù)。在中，令x=1，y=1得：

公式（1）（2）（3）是三個(gè)最基本的等式，許多組合數(shù)的數(shù)列求和問題，經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃握砗?，都可以利用公式?）（2）（3）得到有效解決。

1.系數(shù)成等差數(shù)列的數(shù)列求和問題

2.系數(shù)成等比數(shù)列的數(shù)列求和問題

解：由于a1=3a2=32a3=…3nan+1=3n+1，顯然且{ai}（i=1,2，3…n+1）是以3為公比的等比數(shù)列。于是：

二、利用差分式求部分和

設(shè)任一數(shù)列h0,h1,h2,h3…h(huán)n… （9）

△h0,△h1,△h2,△h3…△hn…，

于是，數(shù)列（9）的差分序列是將每個(gè)k=0,1,2…階差分序列列成一行而得到，如下所示：

若求形如h0,h1,h2,h3…h(huán)n的和。

定理3：設(shè)序列h0,h1,h2,h3…h(huán)n有一個(gè)差分表，該表的第0條對

總之，利用二項(xiàng)式定理、組合公式、差分表求和，其中二項(xiàng)式定理、組合公式及其變形定理在求和中表現(xiàn)得特別靈活巧妙。使原本抽象深?yuàn)W復(fù)雜的運(yùn)算，看似無法求和，但是能夠通過巧妙運(yùn)用這些定理及其變形得到很好的解決。而“差分表”求和的優(yōu)點(diǎn)是格式固定，易于操作，但運(yùn)算量較大，這就要求我們在學(xué)習(xí)中要善于總結(jié)，善于思考各種求和問題，要善于運(yùn)用定理及其變形，使復(fù)雜問題簡單化，使求和問題得到有效解決。