對稱美在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

江蘇省張家港高級中學(xué) 張新秀

對稱美在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

江蘇省張家港高級中學(xué) 張新秀

羅丹說過：“生活中不是缺少美,而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛?！睂ΨQ美是數(shù)學(xué)美中最典型的代表之一，教學(xué)中如果能夠帶領(lǐng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)隱藏在數(shù)學(xué)問題中的對稱美，將能夠沖淡學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)的枯燥感，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在教學(xué)中，我常常在以下幾個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生在解題中感受和發(fā)現(xiàn)對稱美的意識：

一、運(yùn)用數(shù)學(xué)圖形的對稱美尋求解題思路

圖形的對稱美常常體現(xiàn)在對稱軸和對稱中心。無論是一個(gè)圖形本身的自對稱，還是兩個(gè)圖形之間的互對稱，對稱軸都是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，而對稱中心則是任意兩個(gè)對稱點(diǎn)的中點(diǎn)。抓住了對稱的本質(zhì)，就抓住了解題的關(guān)鍵。

例1 設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+2）=-f（x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x,則f（7.5）= __________。

解析：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，點(diǎn)（0,0）是其對稱中心，

又∵f（x+2）=-f（x），即f（x+1）=f（-x），

∴x=1是y=f（x）的對稱軸。

∴y=f（x）是以2為周期的函數(shù)，

∴f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-0.5。

評析：函數(shù)奇偶性即函數(shù)對稱性，正確應(yīng)用對稱性導(dǎo)出周期性，是解題的關(guān)鍵。

二、運(yùn)用數(shù)學(xué)關(guān)系的對稱美尋求解題方法

數(shù)學(xué)中存在著很多“對稱”關(guān)系：乘冪與開方、指數(shù)與對數(shù)、微分與積分、矩陣與逆矩陣等等。利用對稱關(guān)系來構(gòu)造輔助項(xiàng)，能得到較為巧妙的解題思路。

例2 計(jì)算p=sin10°sin30°sin50°sin70°。

解析：利用三角函數(shù)中的正弦與余弦的對稱關(guān)系，構(gòu)造一個(gè)與p對稱的關(guān)系式：

設(shè)q=cos10°cos30°cos50°cos70°，則：

pq=（1/2）4sin20°sin60°sin100°sin140°=（1/2）

cos70°cos30°cos10°cos50°=（1/2）4q，

評析：這里為求p而巧設(shè)q，解法巧妙，呈現(xiàn)了均衡的對稱美，令人愉快。用對稱美的觀點(diǎn)去審題、解題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，挖掘題目的內(nèi)在規(guī)律，從而抓住本質(zhì)，變難為易，輕松地解答數(shù)學(xué)題。

解析：只要在“對稱”上認(rèn)真思考，就不難發(fā)現(xiàn)下面的簡單方法：在x上取關(guān)于對稱的兩點(diǎn)，如，由圖像的對稱可知，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等，從而很快得到a=-1。

評析：在數(shù)學(xué)解題過程中考慮對稱美的因素，運(yùn)用對稱美思考，可啟迪人的思維，起到事半功倍的效果，有助于培養(yǎng)思維的深刻性。

三、運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的對稱美，尋求解題靈感

題感，就是我們常說的解題直覺，指未經(jīng)過一步步的邏輯分析或無清晰的邏輯步驟，而對問題直接的、突然間的領(lǐng)悟、理解或給出答案的思維，通常稱之為靈感。直覺思維在問題解決中具有重要的作用，許多數(shù)學(xué)問題都是先從數(shù)與形的直覺感知中得到某種猜想，然后再進(jìn)行邏輯證明的。

例4 給定半徑為R的圓，求內(nèi)接于圓的面積最大的三角形。

解析：圓是最美、最對稱的平面圖形，最能填滿圓的三角形，在完美性上就必須最接近圓，因而，這個(gè)三角形必須具有最多的對稱性。故我們設(shè)想正三角形比其他三角形更能最大限度地“填充”圓。

類似的，利用對稱思想，我們還可以得出內(nèi)接于圓的具有最大面積的n邊形必定是正n邊形。不但如此，我們還可以得出內(nèi)接于球的具有最大體積的四面體必是正四面體等一些結(jié)論。

評析：對稱思想可以幫助我們實(shí)現(xiàn)猜測，增強(qiáng)數(shù)學(xué)預(yù)感。

運(yùn)用對稱美解題是一種給人以自由感受的教育，有助于學(xué)生擺脫思維定式的影響，特別有助于學(xué)習(xí)者非邏輯思維活動(dòng)的展開。教師可以根據(jù)學(xué)生的知識水平，有計(jì)劃地訓(xùn)練學(xué)生從整體出發(fā)，根據(jù)數(shù)學(xué)的對稱美的特征，用猜測、跳躍的方式直接而迅速地找到答案。

除了以上的兩道習(xí)題外，像用一根“斷尺”來測量物體的長度，家里的電表、水表讀數(shù)等一些問題，都是很有針對性的一些變式。

教學(xué)實(shí)踐證明，遷移教學(xué)能有效地落實(shí)課堂素質(zhì)教育，它注重“四基”的落實(shí)(“四基”只有達(dá)到一定的程度，才能有效實(shí)施遷移)和能力的培養(yǎng)(特別是觀察、比較、分析、動(dòng)手操作、綜合概括能力)以及注意聯(lián)系生活實(shí)際，培養(yǎng)學(xué)生開放性、創(chuàng)新性思維，有利于提高課堂教學(xué)效率，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，全面提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。

遷移是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種普遍現(xiàn)象。正是由于遷移，學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識才能以某種方式聯(lián)系起來，并能夠在解決數(shù)學(xué)問題的過程中發(fā)揮作用。數(shù)學(xué)新知識的掌握總在某種程度上改變著已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生對已經(jīng)掌握的不同數(shù)學(xué)知識進(jìn)行組合，往往可以形成新的數(shù)學(xué)知識。諸如此類的數(shù)學(xué)知識之間的相互影響，都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遷移現(xiàn)象。