正確處理數(shù)學(xué)備課中的三大關(guān)系

張春明

摘 要 數(shù)學(xué)教師上課之前都要進(jìn)行備課，而備課質(zhì)量的優(yōu)劣將直接影響到課堂教學(xué)的效果。所以，課前如何進(jìn)行高質(zhì)量的備課是高效教學(xué)的前提。根據(jù)數(shù)學(xué)這門課的特點(diǎn)，備課就是要處理好所授內(nèi)容的學(xué)術(shù)形態(tài)與教學(xué)形態(tài)、預(yù)設(shè)與生成、差異性與整體性這三大關(guān)系。

關(guān)鍵詞 備課 學(xué)術(shù)形態(tài) 教學(xué)形態(tài) 預(yù)設(shè) 生成

因?yàn)閭湔n質(zhì)量的高低直接影響到課堂教學(xué)的效率與學(xué)生吸收知識的效果，故教師要思考從哪些角度切入才能備出好課。其實(shí)人教社的章建躍博士早就給出了思路，他認(rèn)為要“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”[1]，筆者概括為“備教材、備學(xué)情、備評價(jià)”。本文探討實(shí)際備課時(shí)要處理好的三大關(guān)系。

一、學(xué)術(shù)形態(tài)與教學(xué)形態(tài)的關(guān)系

現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教材中呈現(xiàn)的內(nèi)容并不是以該知識剛被發(fā)現(xiàn)時(shí)的原始面貌來編寫的，而是經(jīng)過若干年后的發(fā)生、發(fā)展和完善，編者以最嚴(yán)密、最簡潔和最漂亮的形式呈現(xiàn)出來，所以教材中的內(nèi)容已是高度的形式化和符號化，具有很強(qiáng)的抽象性，這便是教師要在課堂上傳授給學(xué)生的數(shù)學(xué)知識，這種形式被稱為數(shù)學(xué)內(nèi)容的“學(xué)術(shù)形態(tài)”。如果教師照本宣科，按教材這樣的編寫形式來直接傳授，學(xué)生會(huì)感到枯燥乏味，同時(shí)也給學(xué)生一種錯(cuò)覺：以為數(shù)學(xué)知識都是這樣，與生俱來就很完美，數(shù)學(xué)家最初發(fā)現(xiàn)該知識時(shí)就很完整、很嚴(yán)密。然而歷史事實(shí)并非如此，因?yàn)槿魏我粋€(gè)數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生和發(fā)展都不是一帆風(fēng)順的，期間都經(jīng)歷了一代代數(shù)學(xué)家們幾十年、幾百年甚至上千年的傳承、創(chuàng)新或爭論，才逐漸慢慢地發(fā)展起來直至完善[2]，而教材把這些已完善的數(shù)學(xué)知識通過“整容”變成了“冷美人”。這就需要教師根據(jù)學(xué)生的情況對教材中的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有意識地再創(chuàng)造。比如，可以用現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際例子來替代令學(xué)生感到陌生的教材中的引入；可以采用數(shù)學(xué)史上促使該知識產(chǎn)生的原始問題來探究；可以把當(dāng)年數(shù)學(xué)家們對該知識點(diǎn)的爭論呈現(xiàn)給學(xué)生辨析；可以把教材中比較抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為通俗的易于理解的語言傳授給學(xué)生；等等。而所有這些教師在備課時(shí)的再創(chuàng)造，就是數(shù)學(xué)知識的“教學(xué)形態(tài)”。只有這樣，學(xué)生才能體會(huì)到數(shù)學(xué)的趣味性，才會(huì)知道數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生絕非“冰冷的美麗”，也有“火熱的思考”。

當(dāng)然，在把教材中數(shù)學(xué)知識的“學(xué)術(shù)形態(tài)”通過備課轉(zhuǎn)化為“教學(xué)形態(tài)”時(shí)，也不能隨心所欲。比如，不能為了一味追求有趣而沒有數(shù)學(xué)味，不能為了僅僅讓課堂生動(dòng)而使設(shè)計(jì)的例子失去科學(xué)性或沒有思維含量，更不能脫離現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)本質(zhì)而去刻意臆造情境。因此，教師在備課時(shí)始終要圍繞所傳授知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)，按照課標(biāo)的要求抓住其核心內(nèi)容，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行再創(chuàng)造。既要能把學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性充分調(diào)動(dòng)起來，又能緊扣教材避免有“去數(shù)學(xué)化”傾向，而這都需要教師在備課時(shí)對教材進(jìn)行二次開發(fā)。

案例1 函數(shù)的單調(diào)性概念

在高中數(shù)學(xué)蘇教版必修1的2.2.1節(jié)“函數(shù)的單調(diào)性”中，該節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)就是要讓學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性概念并能證明與求單調(diào)區(qū)間，因此教學(xué)重點(diǎn)顯然就是函數(shù)單調(diào)性的概念，但教學(xué)難點(diǎn)是什么呢？仔細(xì)閱讀教材，一開始就先給出一個(gè)氣溫變化圖（如圖1），然后寫了一句話：怎樣用數(shù)學(xué)語言刻畫上述時(shí)間段內(nèi)“隨著時(shí)間的增加氣溫逐漸升高”這一特征？接著就直接給出增函數(shù)與減函數(shù)的概念，最后安排了兩個(gè)例子：求單調(diào)區(qū)間與證明增函數(shù)。

教材的編寫就是典型的關(guān)于“函數(shù)單調(diào)性”這個(gè)知識的學(xué)術(shù)形態(tài)。以教材中單調(diào)增函數(shù)的概念為例：“一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，區(qū)間I？哿A。如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1

顯然，教材中的增函數(shù)概念非常精確也很嚴(yán)密，但抽象程度非常高，正是典型的高度符號化與抽象化的數(shù)學(xué)概念代表。這對于剛進(jìn)入高中的高一學(xué)生來說，在理解上還存在難度。因“任意”涉及到了“無限向有限轉(zhuǎn)化”的思想，這需要認(rèn)知上的一個(gè)提升，屬于質(zhì)的飛躍，所以這個(gè)詞的理解是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。一旦學(xué)生突破了這個(gè)難點(diǎn)，理解了“任意”的含義，則表明學(xué)生從形象的感性認(rèn)識上升到了抽象的理性認(rèn)識，學(xué)會(huì)了如何從定量分析轉(zhuǎn)化到定性分析，也進(jìn)一步理解了高中數(shù)學(xué)概念中的形式化符號表征。

有了上述分析后就要思考：該怎樣講授才能突破這個(gè)難點(diǎn)呢？這只能從學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)才能循序漸進(jìn)地理解。學(xué)生對函數(shù)的熟悉顯然還只停留在初中所學(xué)的四個(gè)函數(shù)，包括它們的圖象，所以一定要利用好這個(gè)前提而不能僅靠教材中給出的氣溫變化圖這一個(gè)圖象。另外要給學(xué)生一系列的問題去思考，怎樣用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)初中所講的“增大而增大”這個(gè)描述。確定了這樣一個(gè)教學(xué)思路和策略后，就可以對教材進(jìn)行二次開發(fā)，設(shè)計(jì)出逐漸深入的問題串讓學(xué)生去探究。

設(shè)計(jì)片斷：首先展示圖1，讓學(xué)生直觀感受日常生活中某一天出現(xiàn)的哪些時(shí)間段氣溫在升高或下降，然后針對“氣溫隨著時(shí)間的增加慢慢上升”這個(gè)現(xiàn)象類比學(xué)生非常熟悉的函數(shù)f（x）=x2。學(xué)生根據(jù)圖象自然會(huì)知道在[0，+∞]內(nèi)f（x）是隨x的增大而增大，接著就給出一個(gè)問題來探究：“怎樣用數(shù)學(xué)語言來刻畫f（x）=x2在[0，+∞]內(nèi)f（x）是隨x的增大而增大？”這就是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用抽象的數(shù)學(xué)語言去表征形象化的文字語言。當(dāng)然這樣提問難度太大，學(xué)生也回答不了，故可分解成若干個(gè)小問題來降低難度，于是就設(shè)計(jì)了下列一些環(huán)環(huán)緊扣的問題串。

（1）當(dāng)0<1時(shí)，有f（0）

（2）當(dāng)0<1<2<3<…時(shí)，有f（0）

（3）當(dāng)有無數(shù)個(gè)x1

（4）如何才能讓自變量x取遍區(qū)間里的所有值呢？難道真需要這樣一個(gè)接一個(gè)列舉下去嗎？

當(dāng)學(xué)生探究思考到這兒，就會(huì)很自然想到要用字母來代替數(shù)字，此時(shí)概念的符號化表達(dá)就呼之欲出了，同時(shí)也把“任意”兩字很輕松地解決了。教師還可以邊問邊用幾何畫板來演示f（x）=x2在[0，+∞]內(nèi)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，以增加教學(xué)的直觀性。

上述設(shè)計(jì)片斷便是教師授課時(shí)對單調(diào)增函數(shù)概念的“教學(xué)形態(tài)”，這樣才能讓學(xué)生易于理解抽象性的概念，即概念的“學(xué)術(shù)形態(tài)”，而剛才這個(gè)分析與思考過程就是備課中的一個(gè)環(huán)節(jié)。當(dāng)然接下來的減函數(shù)概念理解也就水到渠成了。

二、預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系

預(yù)設(shè)其實(shí)就是指對教學(xué)過程的預(yù)先設(shè)計(jì)，是對課堂動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的預(yù)先思考，通俗說法就是前面提到的“備課”過程。而生成是指教師在課堂的實(shí)際教學(xué)過程中產(chǎn)生的新問題，它可以是學(xué)生出乎意料的答案或想法，也可以是教師臨時(shí)發(fā)現(xiàn)的有矛盾甚至有誤的地方。

作為一名教師，對某一數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)過程進(jìn)行預(yù)設(shè)后，在實(shí)際授課時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)生成，而此時(shí)的生成經(jīng)過教師反思后可成為下次傳授此內(nèi)容的預(yù)設(shè)，于是生成就轉(zhuǎn)化為新的預(yù)設(shè)；同樣道理，如果再在授課時(shí)又產(chǎn)生新的生成，則此次生成還可成為再下次更新的預(yù)設(shè)。預(yù)設(shè)、生成，再預(yù)設(shè)、再生成，如此繼續(xù)循環(huán)下去，教師的預(yù)設(shè)就會(huì)越來越多，備課的質(zhì)量也就會(huì)越來越高（如圖2）。

案例2 基本不等式的證明

（3）結(jié)合恒等式變換來證明

教師準(zhǔn)備好上述幾種方法的預(yù)設(shè)還不夠，因?yàn)檫@些方法都只是代數(shù)角度的方法，除此之外還要預(yù)設(shè)幾何角度的證法。在蘇教版教材上安排了基本不等式的幾何意義（如圖3），就是一個(gè)半圓模型。因此受此啟發(fā)還有其他幾何方法：構(gòu)造圓模型、弦圖模型等來推導(dǎo)[3]。即便預(yù)設(shè)了這么多的證法，仍然免不了課堂上可能還有其他意外證法的生成等。所以教師一定要不斷積累課堂隨時(shí)會(huì)產(chǎn)生的生成，并作為以后的預(yù)設(shè)，這樣才能在遇到新的生成時(shí)不心慌，不被打亂節(jié)奏，并能順利引導(dǎo)學(xué)生完成這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

當(dāng)然，預(yù)設(shè)畢竟是課前作的準(zhǔn)備，是靜態(tài)的，而課堂是隨時(shí)在發(fā)生變化的一個(gè)動(dòng)態(tài)過程。所以教師要因時(shí)因地，具體情況具體應(yīng)變，既不要無視生成而一定要把預(yù)設(shè)全講完，也不要因生成多了而拋棄事先的預(yù)設(shè)導(dǎo)致無法實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。由此可見，預(yù)設(shè)與生成這個(gè)矛盾統(tǒng)一體一定要處理得當(dāng)。預(yù)設(shè)是前提，生成是過程，只要教師在備課時(shí)能充分考慮到“生成”的可能情況，就能在課堂上應(yīng)對自如。

三、差異性與整體性的關(guān)系

心理學(xué)研究表明，人與人之間是有差異的。這些差異可以體現(xiàn)在記憶力、理解能力、動(dòng)手操作實(shí)踐能力等各方面。教師在課堂上授課時(shí)，雖然學(xué)生都在認(rèn)真聽講，但他們的接受能力是不同的。這就要求教師在備課時(shí)需要考慮學(xué)生的個(gè)體差異性，還要考慮班級的整體性，也就是要保證每個(gè)學(xué)生都能達(dá)到這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。故在備課時(shí)，基于全體學(xué)生要掌握的基本教學(xué)目的，需要認(rèn)真設(shè)計(jì)例習(xí)題，使它們的難度具有層次性，富有梯度。設(shè)計(jì)出符合不同程度學(xué)生的習(xí)題，既有讓他們能獨(dú)立完成的習(xí)題，又有各自“跳一跳夠得著”的拓展題。

教師在提問、講解時(shí)要從不同程度學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，巧妙靈活地應(yīng)用各種教學(xué)策略或手段，圍繞不同層次的學(xué)生設(shè)計(jì)出“恰時(shí)恰點(diǎn)”的問題。教師若能在備課時(shí)合理安排好差異性與整體性的關(guān)系，也就做到了“因材施教”和隱性的“分層教學(xué)”。

備課時(shí)還要考慮評價(jià)，即練習(xí)題和作業(yè)的配置，此時(shí)也要兼顧差異性與整體性。如安排一些整體學(xué)生須掌握的基礎(chǔ)題與中等題，再安排一些拓展提高題，以訓(xùn)練思維的深刻性與發(fā)散性。因此無論課前、課中還是課后，都要認(rèn)真處理好差異性與整體性的關(guān)系。

參考文獻(xiàn)

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【責(zé)任編輯 郭振玲】