如何檢驗分組回歸后的組間系數(shù)差異？

連玉君，廖俊平

(中山大學(xué) 嶺南學(xué)院，廣東 廣州 510275)

一、問題的提出

實證分析中，經(jīng)常需要對比分析兩個子樣本組的系數(shù)是否存在差異。例如，在公司金融領(lǐng)域，研究薪酬激勵是否有助于提升業(yè)績時，模型設(shè)定為：

ROEit=αi+Salaryit-1·β+Controlsit-1·γ+uit

關(guān)注的重點是系數(shù)β。文獻(xiàn)中經(jīng)常把樣本組分成“國有企業(yè)(SOE)”和“民營企業(yè)(PRI)”兩個樣本組，繼而比較βSOE和βPRI是否存在差異。通常認(rèn)為，民營企業(yè)的薪酬激勵更有效果，即βSOE<βPRI。

如果兩個樣本組中的模型設(shè)定是相同的，則兩組之間的系數(shù)大小是可以比較的，而且這種比較在多數(shù)實證分析中都是非常必要的。參見Cleary(1999)，以及連玉君等(2010)。

下面使用Stata軟件自帶的一份數(shù)據(jù)文件(nlsw88.dta)，說明此類問題的關(guān)鍵所在。這份數(shù)據(jù)包含了1988年采集的2 246個婦女的資料，包括：小時工資(wage)，每周工作時數(shù)(hours)，種族(race)等關(guān)鍵變量。

假如我們研究的問題是種族特征是否會影響婦女的工資決定機制，則我們最為關(guān)注的是“白人組”和“黑人組”的工資決定因素是否存在差異。分析的重點集中于工齡(ttl_exp)和婚姻狀況(married)這兩個變量的系數(shù)在兩組之間是否存在顯著差異。

我們可以使用如下命令進(jìn)行分組OLS回歸，并呈現(xiàn)“白人組”和“黑人組”的系數(shù)估計值：

執(zhí)行上述命令后將呈現(xiàn)如下結(jié)果，如表1所示：

表1 “黑人組”和“白人組”系數(shù)對比

可以看到，ttl_exp變量在[white組]和[black組]的系數(shù)分別為0.251和0.269，二者都在1%水平上顯著異于零。問題在于：以上結(jié)果能解釋為0.269比0.251大嗎？從統(tǒng)計意義上來看，答案顯然沒有那么明確。

下面，我們介紹三種檢驗組間系數(shù)差異的方法：其一，引入交叉項(Chow檢驗)；其二，基于似無相關(guān)模型的檢驗方法(suest)；其三，費舍爾組合檢驗(Permutation test)。第一種方法是文獻(xiàn)中普遍使用的，但假設(shè)條件最為嚴(yán)格，第三種方法主要以自抽樣為基礎(chǔ)，假設(shè)條件最為寬松。

二、檢驗方法

(一)引入交叉項

1.基本思想

這是文獻(xiàn)中最常用的方法，執(zhí)行起來也最簡單。以檢驗ttl_exp在兩組之間的系數(shù)是否存在顯著差異為例。引入一個虛擬變量Di，若某個婦女是黑人，則Di=1，否則Di=0。在如下命令中，black變量即為這里的Di。模型設(shè)定為：

Wagei=α+γ·Di+β·ttl_expi+δ(Di×ttl_expi)+Controlsi·γ+εi

(1)

這是最基本的包含虛擬變量，以及虛擬變量與一個連續(xù)變量交乘項的情形。

顯然，對于“白人組”而言，Di=0，則(1)式可以寫為：

Wagei=α+β·ttl_expi+Controlsi·γ+εi

(1a)

對于“黑人組”，(1)式可以寫為：

Wagei=(α+γ)+(β+δ)·ttl_expi+Controlsi·γ+εi

(1b)

由此可見，在(1)式中，參數(shù)γ和δ分別反映了黑人組相對于白人組的截距和斜率差異。此時，參數(shù)反映了ttl_exp這個變量在兩個樣本組中的系數(shù)差異。因此，檢驗ttl_exp在兩組之間的系數(shù)是否存在顯著差異就轉(zhuǎn)變?yōu)镠0：δ=0。

2.Stata實現(xiàn)

估計(1b)式的Stata命令如下：

為節(jié)省篇幅，僅列出最關(guān)鍵的結(jié)果如下：

交乘項[ttl_x_black]的系數(shù)為-0.01818，對應(yīng)的p-value為0.756，表明[ttl_exp]的系數(shù)在兩組之間并不存在顯著差異。我們也可以直接采用Stata的因子變量表達(dá)式，在不用預(yù)先生成交乘項的情況下得到完全相同的結(jié)果：

然而，在上述檢驗過程中，我們無意識中施加了一個非常嚴(yán)格的假設(shè)條件：只允許變量[ttl_exp]的系數(shù)在兩組之間存在差異，而其他控制變量(如married，south，hours等)的系數(shù)則不隨組別發(fā)生變化。這顯然是一個非常嚴(yán)格的假設(shè)。因為，從表1中的結(jié)果來看，married，south，hours等變量在兩組之間的差異都比較明顯。

我們可以放松上述假設(shè)，允許married，south，hours等變量的系數(shù)存在組間差異。這主要通過引入虛擬變量black與上述變量的交乘項來實現(xiàn)(模型2)：

當(dāng)然，我們也可以采用更為靈活的方式：允許所有的變量在兩組之間都存在系數(shù)差異1(模型3)：

這其實就是大名鼎鼎的Chow test(鄒檢驗)，可以用chowtestP命令快捷地完成。

3.小結(jié)

引入交乘項來檢驗?zāi)硞€或某幾個變量的系數(shù)是否存在組間差異，只需在普通線性回歸中加入交乘項即可，但需要注意這一方法背后隱含的假設(shè)條件(為了便于說明，重新將(1)式列出)：

Wagei=α+γ·Di+β·ttl_expi+δ(Di×ttl_expi)+Controlsi·γ+εi

(1)

A1：所有控制變量的系數(shù)在兩組之間無差異，即γwhite=γblack；

因此，當(dāng)其他變量的系數(shù)在兩組之間也存在明顯差異(A1不滿足)，或存在異方差(A2不滿足)時，上述檢驗方法得到的結(jié)果都存在問題。

4.解決辦法

對于A1，實際操作過程中，可以通過引入更多的交項來放松A1，如上文提到的“模型2”或“模型3”。

對于A2，則可以在上述回歸分析過程中加入vce(robust)選項，以便允許干擾項存在異方差；或加入vce(cluster varname)以便得到聚類調(diào)整后的穩(wěn)健型標(biāo)準(zhǔn)誤。

上述范例中，是以基于截面數(shù)據(jù)的OLS回歸為例的，但這一方法也適用于其他命令，如針對面板數(shù)據(jù)的xtreg，針對離散數(shù)據(jù)的logit，probit等。

(二)SUEST (基于似無相關(guān)模型SUR的檢驗)

1. 基本思想

顧名思義，所謂的似無相關(guān)模型(seemingly unrelated regression)其實就是表面上看起來沒有關(guān)系，但實質(zhì)上有關(guān)系的兩個模型。這聽起來有點匪夷所思。這種“實質(zhì)上”的關(guān)系其實是假設(shè)白人組和黑人組的干擾項彼此相關(guān)。為了表述方便，將白人和黑人組的模型簡寫如下：

白人組：y1i=x1iβ1+e1i，i=1,2,…,N1

(2a)

黑人組：y2j=x2jβ2+e2j,j=1,2,…,N2

(2b)

若假設(shè)corr(e1,e2)=0，則我們可以分別對白人組和黑人組進(jìn)行OLS估計。然而，雖然白人和黑人種族不同，但所處的社會和法律環(huán)境，面臨的勞動法規(guī)都有諸多相似之處，使得二者的干擾項可能相關(guān)，即corr(e1,e2)≠0。此時，對兩個樣本組執(zhí)行聯(lián)合估計(GLS)會更有效率(詳見Greene(2012)，292-304)。執(zhí)行完 SUR 估計后，對兩組之間的系數(shù)差異進(jìn)行檢驗。

從上面的原理介紹，可以看出，基于SUR估計進(jìn)行組間系數(shù)差異檢驗時，假設(shè)條件比第一種方法要寬松一些：

其一，在估計過程中，并未預(yù)先限定白人組和黑人組中各個變量的系數(shù)相同，因此在(2)式中，我們分別用β1和β2表示白人組和黑人組各個變量的系數(shù)向量；

2.Stata 實現(xiàn)方法

在Stata中執(zhí)行上述檢驗的步驟為：(1) 分別針對白人組和黑人組進(jìn)行估計(不限于OLS估計，可以執(zhí)行l(wèi)ogit，tobit等估計)，存儲估計結(jié)果；(2) 使用suest命令執(zhí)行SUR估計；(3) 使用test命令檢驗組間系數(shù)差異。范例如下：

Step 2 的結(jié)果如下(為便于閱讀，部分變量的系數(shù)未呈現(xiàn))：

對上述命令和結(jié)果的簡要解釋如下：

其一，白人組和黑人組估計結(jié)果分別存儲于w和b兩個臨時性文件中。

其二，執(zhí)行suest w b命令時，白人組和黑人組的被視為兩個方程，分別對應(yīng)于(2a)和(2b)式。Stata會自動將兩個方程對應(yīng)的樣本聯(lián)合起來，采用GLS執(zhí)行似無相關(guān)估計(SUR)。

由于SUR屬于多方程模型，因此需要指定每個方程的名稱，在下面呈現(xiàn)的回歸結(jié)果中，[w_mean]和[b_mean]分別是白人組和黑人組各自對應(yīng)的方程名稱。因此，[w_mean]ttl_exp表示白人組方程中ttl_exp變量的系數(shù)，而[b_mean]ttl_exp則表示黑人組中ttl_exp變量的系數(shù)。

執(zhí)行組間系數(shù)差異檢驗的結(jié)果如下(Step 3)：

此時，ttl_exp在兩組之間的系數(shù)差異仍然不顯著，這與采用第一種方法得到的結(jié)論是一致的。在我們測試的三個變量中，只有south的系數(shù)在兩組之間存在顯著差異，對應(yīng)的p-value為0.0169。

3.使用bdiff命令

上述過程可以使用bdiff命令快捷地加以實現(xiàn)，結(jié)果的輸出方式也更為清晰②。舉例如下：

輸出結(jié)果如下：

兩點說明：其一，使用suest時，允許兩個樣本組的解釋變量個數(shù)不同。但由于一些技術(shù)上的問題尚未解決，bdiff命令要求兩個樣本組中的解釋變量個數(shù)相同。在上例中，白人組在Mining行業(yè)的觀察值個數(shù)為零(輸入tab industry black命令可以查看)，導(dǎo)致我們加入行業(yè)虛擬變量時，白人組只有10個行業(yè)虛擬變量，而黑人組則有11個行業(yè)虛擬變量。為此，在上述命令中，我使用drop if industry==2命令刪除了Mining行業(yè)的觀察值。其二，目前，bdiff命令還不能很好地支持因子變量的寫法(help fvvarlist)，因此上例中的行業(yè)虛擬變量不能通配符方式寫成d*，而必須寫成原始模樣：d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11。

4.面板數(shù)據(jù)的處理方法

suest不支持xtreg命令，因此無法直接將該方法直接應(yīng)用于面板數(shù)據(jù)模型，如FE或RE。此時，可以預(yù)先手動去除個體效應(yīng)，繼而對變換后的數(shù)據(jù)執(zhí)行OLS估計，步驟如下：第一步，去除個體效應(yīng)。對于固定效應(yīng)模型而言，可以使用center或xtdata命令去除個體效應(yīng)；對于隨機效應(yīng)模型而言，可以使用xtdata命令去除個體效應(yīng)。第二步，按照截面數(shù)據(jù)的方法對處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行分組估計，并執(zhí)行suest估計和組間系數(shù)檢驗。

5.小結(jié)

相對于方法1(引入交乘項)，基于SUR的方法更為靈活一些。在上例中，白人組和黑人組的被解釋變量相同(均為wage)，此時方法1和方法2都能用。有些情況下，兩個組中的被解釋變量不同，此時方法1不再適用，而方法2則可以。

對于面板數(shù)據(jù)而言，可以預(yù)先使用center或xtdata命令去除個體效應(yīng)，變換后的數(shù)據(jù)可以視為截面數(shù)據(jù)，使用regress命令進(jìn)行估計即可。

為了便于呈現(xiàn)結(jié)果，可以使用estadd命令將上述檢驗結(jié)果(chi2值或p值)加入內(nèi)存，進(jìn)而使用esttab命令列示出來。可以參考help bdiff中的類似范例。

(三)費舍爾組合檢驗 (Fisher’s Permutation test)

1. 基本思想

這一方法最早見于Efron和Tibshirani(1993)(Section 15.2，pp.202)。Cleary(1999),連玉君等(2008), 連玉君等(2010)等都使用了該方法進(jìn)行組間系數(shù)差異檢驗。

同樣以上述“白人組”和“黑人組”為例，假設(shè)兩組的樣本數(shù)分別為n1和n2，模型設(shè)定如下：

y=xβ1+e1

(3a)

y=xβ2+e2

(3b)

將二者的系數(shù)差異定義為d=β1-β2，檢驗的原假設(shè)為：H0:d=0。

然而，在實際應(yīng)用過程中，我們并不知道d的分布特征。此時，可以對現(xiàn)有樣本進(jìn)行重新抽樣，以得到經(jīng)驗樣本(empirical sample)，進(jìn)而利用經(jīng)驗樣本構(gòu)造出組間系數(shù)差異統(tǒng)計量d的經(jīng)驗分布(empirical distribution)，從而最終得到經(jīng)驗p值(empirical p-value)。

下面先通過一個小例子說明“經(jīng)驗p值”和“經(jīng)驗分布”的概念，進(jìn)而介紹使用組合檢驗獲得“經(jīng)驗p值”的流程。

2. 經(jīng)驗p值(empirical p-value)

在這個小例子中，我們先隨機生成一個服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機數(shù)d，共有10 000個觀察值。這些觀察值是通過模擬產(chǎn)生的。如果這些觀察值構(gòu)成的樣本是通過從原始樣本(原始樣本是從母體中一次隨機抽樣，稱為“抽樣樣本，sample”)中二次抽樣得到的，則稱為“經(jīng)驗樣本(empirical sample)”。

然后，我們數(shù)一下在這10 000個隨機數(shù)中，有多少個是大于(我們實際觀察到的數(shù)值)，命令為count if d<-0.018。一共有4 963個觀察值大于，由此可得，經(jīng)驗p值=4963/10000=0.4963。這與采用normal()函數(shù)得到的結(jié)果(0.4928)非常接近。

3. 經(jīng)驗樣本 (empirical sample)

上例中，我們假設(shè)d服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，從而可以通過monte carlo模擬的方式產(chǎn)生10 000個觀察值，這事實上是構(gòu)造了一個經(jīng)驗樣本。但多數(shù)情況下，我們并不知道d的分布特征，此時無法使用monte carlo模擬。然而，若假設(shè)抽樣樣本(sample)是從母體(population)中隨機抽取的，則可以通過抽樣樣本中二次抽樣得到經(jīng)驗樣本(empirical sample)，這些經(jīng)驗樣本也可以視為對母體的隨機抽樣。

若H0抽樣過程中為無放回抽樣(sampling with no replacement)，則相應(yīng)的檢驗方法稱為“組合檢驗(permutation test)”；若抽樣過程中為有放回抽樣(也稱為可重復(fù)抽樣，sampling with replacement)，則對應(yīng)的檢驗方法稱為“基于Bootstrap的檢驗”。

4.費舍爾組合檢驗的步驟

若H0是正確的，則對于任何一個婦女而言(不論她是白人還是黑人)，其x對y的邊際影響都是相同的。因此，我們可以將白人組和黑人組的觀察值混合起來，從中隨機抽取n1個觀察值，并將其視為“白人組”，剩下的n2個觀察值可以視為“黑人組”。

Step 1：將白人組和黑人組的樣本混合起來，得到n1+n2個觀察值構(gòu)成的樣本S；

Step 2：獲得經(jīng)驗樣本——從S中隨機抽取(無放回)n1個觀察值，將其視為“白人組”(記為Sw)，剩下的n2個觀察值可以視為“黑人組”(記為Sb)；

Step 4：獲得統(tǒng)計量d的經(jīng)驗分布——將Step 2和Step 3重復(fù)執(zhí)行K次(如K=1 000)，則可以得到{dS1,dS2,…，dS1000}，亦可簡記為dSj(j=1,2,…,K)；

此外，該方法并不局限于普通的線性回歸模型(regress命令)，可以應(yīng)用于各種模型的估計命令，如xtreg，xtabond，logit，ivregress等。

5.Stata實現(xiàn)

上述過程可以使用bdiff命令來實現(xiàn)。③先使用一個簡單的例子，不考慮行業(yè)虛擬變量：

選項group()中填寫用于區(qū)分組別的類別變量(若有多個組，可以預(yù)先刪除不參與比較的組，類似于上面的drop if race==3命令)；

選項model()用于設(shè)定回歸模型，即上面提到的模型(3a)或(3b)；

選項reps(#)用于設(shè)定抽樣次數(shù)，即上文提到的K，通常設(shè)定1 000～5 000次即可；

上述過程大約用時13秒，結(jié)果如下：

可以看到，ttl_exp的經(jīng)驗p值為0.49，表明白人組和黑人組的ttl_exp系數(shù)不存在顯著差異；married變量的p值為0.08，我們可以在10%水平上拒絕原假設(shè)。

若需在模型中加入虛擬變量，處理過程會稍微復(fù)雜一些。需要手動生成行業(yè)虛擬變量，并保證兩個樣本組中參與回歸的行業(yè)虛擬變量個數(shù)相同。此外，書寫命令時，不能使用通配符。(后續(xù)版本的bdiff命令會使用fvunab命令解決這些bugs)。

若原始數(shù)據(jù)為面板數(shù)據(jù)，通常會采用xtreg，xtabond等考慮個體效應(yīng)的方法進(jìn)行估計。抽樣過程必須考慮面板數(shù)據(jù)的特征。在執(zhí)行bdiff命令之前，只需設(shè)定xtset id year，聲明數(shù)據(jù)為面板數(shù)據(jù)格式，則抽樣時便會以id(公司或省份代碼)為單位，以保持id內(nèi)部的時序特征。

結(jié)果如下：

解釋和說明：

bdiff命令中設(shè)定bs選項，則隨機抽樣為可重復(fù)抽樣(bootstrap)；

first選項便于將組間系數(shù)差異檢驗結(jié)果保存在內(nèi)存中，方便后續(xù)使用esttab合并到回歸結(jié)果表格中。具體使用方法參見help bdiff。

由于抽樣過程具有隨機性，因此每次檢驗的結(jié)果都有微小差異。在投稿之前，可以附加seed()選項，以保證檢驗結(jié)果的可復(fù)制性。

其他選項和使用方法參閱help bdiff的幫助文件。

三、小 結(jié)

方法1(加入交乘項)在多數(shù)模型中都可以使用，但要注意其背后的假設(shè)條件是比較嚴(yán)格的。若在混合回歸中，只引入關(guān)心的變量(ttl_exp)與分組變量(black)的交乘項(ttl_exp*black)，則相當(dāng)于假設(shè)其他控制變量在兩組之間不存在系數(shù)差異。相對保守的處理方法是：在混合估計時，引入所有變量與分組變量的交乘項，同時附加vce(robust)選項，以克服異方差的影響。

方法2(基于SUR模型的檢驗)執(zhí)行起來也比較方便，假設(shè)條件也比較寬松：允許兩組中所有變量的系數(shù)都存在差異，也允許兩組的干擾項具有不同的分布，且彼此相關(guān)。局限在于，有些命令無法使用suest執(zhí)行聯(lián)合估計，如幾乎所有針對面板數(shù)據(jù)的命令都不支持(xtreg，xtabond等)。

方法3(組合檢驗)是三種方法中假設(shè)條件最為寬松的，只要求原始樣本是從母體中隨機抽取的(看似簡單，但很難檢驗)，而對于兩個樣本組中干擾項的分布，以及衡量組間系數(shù)差異的統(tǒng)計量d=β1-β2的分布也未做任何限制。事實上，在獲取經(jīng)驗p值的過程中，我們采用的是“就地取材”“管中窺豹”的思路，并未假設(shè)d的分布函數(shù)；另一個好處在于可以適用于各種命令，如regress，xtreg，logit，ivregress等，而suest則只能應(yīng)用于部分命令。

方法無優(yōu)劣。無論選擇哪種方法，都要預(yù)先審視一下是否符合這些檢驗方法的假設(shè)條件。

注釋：

①注意：所有離散變量前都要加前綴 i.，否則將被視為連續(xù)變量進(jìn)行處理(對于取值為0/1的虛擬變量，可以省略前綴i.)；連續(xù)變量則需加前綴 c.

②在stata命令窗口中輸入ssc install bdiff, replace可以下載最新版命令包，進(jìn)而輸入help bdiff查看幫助文件.

③在命令窗口中輸入ssc install bdiff, replace可以自動安裝該命令。幫助文件中提供了多個范例.

[1]Cleary S. The relationship between firm investment and financial status[J].Journal of Finance, 1999, 54 (2): 673-692.

[2]連玉君,彭方平,蘇 治.融資約束與流動性管理行為[J].金融研究,2010,(10):158-171.

[3]連玉君,蘇 治,丁志國.現(xiàn)金—現(xiàn)金流敏感性能檢驗融資約束假說嗎?[J].統(tǒng)計研究,2008,(10):92-99.

[4]Willian H Greene. Econometric Analysis[M].New York: Prentice Hall,2012.

[5]Efron B R Tibshirani. An introduction to the bootstrap[M].New York: Chapmann & Hall,1993.