函數(shù)、方程不等式的思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

吳云飛

摘要：本文結(jié)合例題簡(jiǎn)要分析了函數(shù)、方程式不等式的思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，希望能給廣大同仁的教學(xué)帶來(lái)幫助。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；方程不等式；高中數(shù)學(xué)；應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）01-0125

一、相關(guān)概念解析

函數(shù)思想是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，在運(yùn)用函數(shù)圖像和性質(zhì)分析問(wèn)題中，達(dá)到轉(zhuǎn)化問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題的目的。函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問(wèn)題。

方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型——方程、方程組，通過(guò)解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決。方程的思想是對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問(wèn)題。方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系。

不等式是研究數(shù)量關(guān)系的有力工具，在數(shù)學(xué)的各分支中，凡涉及數(shù)量關(guān)系的地方，無(wú)一不與不等式知識(shí)發(fā)生著聯(lián)系。對(duì)某些不等的是問(wèn)題，通過(guò)觀察其結(jié)構(gòu)上的特點(diǎn)，利用函數(shù)與方程思想可獲得巧妙解決。

函數(shù)與方程、不等式是通過(guò)函數(shù)值大于零、等于零、小于零而相互關(guān)聯(lián)的，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系。函數(shù)與方程思想，既是函數(shù)思想與方程思想的體現(xiàn)，又是兩種思想綜合運(yùn)用的體現(xiàn)，是研究變量與函數(shù)相等與不等過(guò)程中的基本數(shù)學(xué)思想。不等式與函數(shù)、方程的關(guān)系十分密切，因?yàn)橛行┎坏仁降囊贿吘褪呛瘮?shù)的解析式，所以我們通常不等式、方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，這樣就可以利用函數(shù)的圖像性質(zhì)來(lái)處理不等式、方程的問(wèn)題。

二、函數(shù)思想在研究方程的根、函數(shù)零點(diǎn)中的應(yīng)用

通過(guò)以下例題分析理解函數(shù)與方程思想在解題中的重要作用。

例：（2011年陜西選擇題）求函數(shù)f（x）=-cosx在[0，+∞）內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題。

將零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程=cosx在[0，+∞）內(nèi)的根的問(wèn)題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y=與y=cosx的圖像交點(diǎn)問(wèn)題，而這兩個(gè)函數(shù)圖像是高中學(xué)生熟悉的，畫(huà)出圖像片刻就解決了，這里顯然將函數(shù)問(wèn)題與方程問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化給解題帶來(lái)方便。

三、用方程思想解決函數(shù)問(wèn)題

在求函數(shù)數(shù)解析式問(wèn)題中也會(huì)用到方程組的思想解決問(wèn)題。如下例中就是方程組思想的應(yīng)用。

例：若f（x）滿(mǎn)足2f（x）+f=3x，則f（2）=（ ）

該題利用構(gòu)造方程的方法解題。用代替原方程中的x即可得到的方程組即可解決這個(gè)函數(shù)求解析式求值問(wèn)題。當(dāng)然，也可以解具體化的關(guān)于f（2），f

的方程組解題，但還是體現(xiàn)了方程組的思想方法。

雖然函數(shù)思想和方程思想是兩個(gè)不同的概念，但它們又是密切相關(guān)的。對(duì)與函數(shù)y=f（x），當(dāng)y=0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f（x）看作二元方程y-f（x）=0。函數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題來(lái)求解，如求函數(shù)的值域問(wèn)題；方程問(wèn)題亦可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解，如解方程f（x）=0，就是求函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)。這種緊密的關(guān)系為函數(shù)方程思想的應(yīng)用，為高考題的解決提供了很多轉(zhuǎn)化方向，突出高考試題的靈活性，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的靈魂。

四、用函數(shù)的思想解決有關(guān)不等式的問(wèn)題

將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)換為函數(shù)問(wèn)題解題利用函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合解決不等式問(wèn)題也是函數(shù)思想的重要體現(xiàn)。

從幾種解析方法的比較中，不難看出解法一、二，通過(guò)變量分離構(gòu)造新函數(shù)，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問(wèn)題解，只是一種是用換元法，一種轉(zhuǎn)化為熟悉的對(duì)勾函數(shù)來(lái)求最值。解法三直接構(gòu)造函數(shù)，判斷為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)根的分布，結(jié)合二次函數(shù)圖像直接得到不等式解決，但解法三顯然難度較大，不如轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值簡(jiǎn)單解法一較好，但這三種做法都體現(xiàn)了用函數(shù)思想解不等式問(wèn)題。只有最后一種解法用到了特值法及不等式性質(zhì)，但只是技巧性的解決小題適用。解決不等式問(wèn)題我們要靈活把握，具體問(wèn)題具體分析，本著化繁為簡(jiǎn)的原則選擇合適的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題。

在高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中，還有很多可以采用函數(shù)、方程、不等式思想互換方式解決的題型，我們只是希望通過(guò)本文的分析對(duì)教學(xué)中思想方法的滲透起到拋磚引玉的作用。希望在以后的數(shù)學(xué)教學(xué)中，能恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化思維解決復(fù)雜問(wèn)題，提升學(xué)生的思維能力、解題能力。

（作者單位：山西省榆社中學(xué) 031800）