基于變易理論的數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

劉堂利

【摘 要】隨著新課改的深入推進，學生素質的重要性越發(fā)凸顯。對于高中數(shù)學學科而言，關于數(shù)學核心素養(yǎng)的問題更是引發(fā)教師、學生的關注與重視。文章以變易理論為基礎，探討了中學生數(shù)學核心素養(yǎng)的具體措施。

【關鍵詞】變易理論；數(shù)學；核心素養(yǎng)

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2016）36-0090-02

數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征、適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關鍵能力，是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)。它是在數(shù)學學習的過程中逐步形成的。數(shù)學核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析。

數(shù)學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學研究對象的思維過程。邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程。數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構建模型解決問題的過程。直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的過程。數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的過程。數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲得相關數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進行分析和推斷，形成知識的過程。

本文從變易理論的角度嘗試培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

一、變易理論簡介

變易理論由瑞典學者Ference Marton提出，起源于80年代的現(xiàn)象圖示學研究。變易理論認為，學習認識事物或現(xiàn)象就是從對象中區(qū)分出一些主要特征，并將注意力同時聚焦于這些特征，學習就是識別，而識別依賴于對差異的認識，主體所能同時體驗到關于對象各個方面的變異維數(shù)就直接決定可能的學習空間。識別和變異是其核心概念。識別是指在變易空間中對學習對象的多種關鍵屬性進行分辨，變異則指在現(xiàn)象、概念認識和問題解決過程中，對問題不同形式的變換。

變易理論在數(shù)學中的應用主要是變式教學。變式教學是對學生進行數(shù)學技能和思維訓練的重要方式，通過對數(shù)學問題進行多角度、多方面的變式探索研究，有意識地引導學生從變化的問題中發(fā)現(xiàn)不變的本質，從不變的本質中探索變的規(guī)律，優(yōu)化學生思維品質，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

二、基于變易理論的教學思考

1. 利用“一題多變”豐富問題情景

從基本問題出發(fā)，通過不同的視角，變換問題的條件、結論和形式，但不改變問題的本質，使本質的東西更全面。

【例1】已知復數(shù)z1、z2，其中|z1| =1，z2的實部為1，且1≤|z2|≤，若z= z1z2，求z在平面上的區(qū)域面積。

解題思路：先確定z的軌跡形狀、大小，再求其面積。本題最后結果為3π平方單位。（略）

根據(jù)上述方法，可得下面幾個問題。

【問題1】已知復數(shù)z1、z2滿足|z1|=1，Re z2=1，且1≤|z2|≤，求區(qū)域P={z|z = z1z2}的面積。此題與原題意一樣，目的在于熟悉符號Re z2、點集與區(qū)域關系。

【問題2】已知復數(shù)z1、z2滿足|z1|=1，Re z2=1，且1≤

|z2|≤，求區(qū)域P={z|z=z1+z2}的面積。此題是根據(jù)四則運算，由乘法聯(lián)想到加法。

【問題3】已知復數(shù)z1、z2滿足|z1|=1，Re z2=1，且1≤

|z2|≤，求區(qū)域P={z|z=z1n+z2n}的面積。問題的提出同問題2。但本題易造成學生心理上的壓力和恐懼感，如同原命題聯(lián)系起來，問題就不難以解決了。

【問題4】已知復數(shù)z1、z2滿足|z1|=1，Re z2=1，且1≤|z2|≤，求區(qū)域P={z|z=z1+z2}繞直線z=1旋轉一周所得旋轉體的體積。由面積聯(lián)想到體積，由平面圖形聯(lián)想到空間圖形，聯(lián)想到旋轉體，把求面積問題演變?yōu)榍篌w積問題。這是問題的由來。解答如下：

解：設z=x+yi，z1=cosθ+i sinθ，z2=1+bi（x，y∈R，-1≤b≤1），由z=z1+z2得，x+yi=cosθ+i sinθ+1+bi。即x+yi=（1+cosθ）+i（b+sinθ），由復數(shù)相等定義得x=1+cosθ

y=b+sinθ，消去參數(shù)θ得（x-1）2+（y-b）2= 1（*）， 表示以（1，b）為圓心，1為半徑的圓。因為b在[-1，1]上變化，（*）表示一簇圓，簇圓半徑均為1，圓心在線段x=1（-1≤y≤1）上滑動。圓滑動后的軌跡如圖陰影部分。因為x=1為此平面圖形的對稱軸，旋轉后的旋轉體為一圓柱、兩個半球拼湊而成。故所求體積V=π·13+π·12·2 =立方單位。

問題4比較綜合，拐彎較多，由例1推來，其解決也就變得容易了。

例題1通過變易問題的不同情景，使學生學習時能看到問題的本質，能克服和減少思維僵化和思維的惰性，從而可以更深刻地理解問題。一題多變有利于促進學生提出問題、分析問題和建模能力的培養(yǎng)，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力。

【例2】若點P1、P2表示復數(shù)z1、z2，線段P1P2繞點P1逆時針旋轉90°到P1P3位置，證明點P3表示的復數(shù)是z1+ i （z2-z1）。

證明：對應的復數(shù)為z2-z1，對應的復數(shù)為 （z2-z1）（cos90°+ i sin90°）=（z2-z1） i，又=+，所以（或稱點P3）對應的復數(shù)為z1+（z2-z1）i，命題得證。

若將原題中的“90°”改為“α”，其他條件都不變，則有：

【命題1】若點P1、P2表示復數(shù)z1、z2，線段P1P2繞點P1逆時針旋轉α角到P1P3位置 ，則點P3表示的復數(shù)為z1+（z2-z1）（cosα+ i sinα）。

在命題1的基礎上附上條件“|P1P3| = r·|P1P2|”，則有：

【命題2】若點P1、P2表示復數(shù)z1、z2，線段P1P2繞P1逆時針旋轉α角到P1P3位置，且|P1P3| = r·|P1P2|，則點P2表示復數(shù)z1+（z2-z1）[r（cosα+ i sinα）]。

這就是復數(shù)中的旋轉公式，此公式在解決向量旋轉問題時有重要作用，要求學生切實掌握，由例2推得命題2，有助于學生記憶并熟練地運用它。

同樣，將命題2中的 “逆時針” 改為 “順時針” 即可得。

【命題3】若點P1、P2表示復數(shù)z1、z2，線段P1P2繞P1順時針旋轉α角到P1P3位置，使|P1P3| = r·|P1P2|，則點P3表示復數(shù)z1+（z2- z1）[r cos（-α）+i sin（-α）]。

可見，重視解題后的分析，有利于思維能力的培養(yǎng)，有助于新問題的發(fā)現(xiàn)和解決，達到化繁為簡、變難為易的效果。同時還有助于對問題進行分類，便于記憶等等。

2. 利用“一題多解”拓展數(shù)學思維

一題多解是從不同角度、運用不同的思維方式來解答同一個問題的思考方法。一題多解有利于培養(yǎng)學生直觀想象能力和數(shù)據(jù)分析能力。數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲得相關數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進行分析和推斷，形成知識的過程。直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的過程。在尋求一題多解的過程中，學生需要從多角度收集數(shù)據(jù)，提取信息，借助空間關系和圖形描述進行分析、推理和綜合。

【例3】已知正數(shù)a，b滿足+=3，求a+b的取值范圍。

解題思路：結合本題求范圍的問題，通常采用的思路是：一是根據(jù)化歸思想，化二元轉為一元，即利用+=3將a+b中的b用a表示，然后用基本不等式求范圍；二是對+=3進行變形，找到a+b與ab的關系，然后消去ab，建立a+b的不等式求解。

【解法1】由+=3得a+b=3ab，∴ b=由于a>0，b>0，可得a>，于是a+b=a+=a+×=a++= a-+ + ≥2+=，（當且僅當a-=，即a=時取等號），∴ a+b的取值范圍是[，+∞）。

【解法2】由+=3得+=1，∴ a+b=（a+b）（+）=++≥ +2= （當且僅當=，即a=b=時取等號），所以a+b的取值范圍是[，+∞）。

【解法3】由+=3得a+b=3ab，又ab≤（）2，所以≤（）2，即4（a+b）≤3（a+b）2，所以a+b≥， 即a+b的取值范圍是[，+∞）。

【解法4】由+=3得a+b=3ab（*）。設a+b=t，則b=t-a，代入（*）式得t=3a（t-a），整理得3a2-3ta+t=0，又由+=3得a>，即方程3a2-3ta+t=0在（，+∞）上有解，令h（a）=3a2-3ta+t，則△=（3t）2-4×3t≥0

-

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（）>0，解得t≥， 所以a+b的取值范圍是[，+∞）。

通過一題多解，還可以總結出運用基本不等式求最值或取值范圍的常用技巧：①含有多個變量的條件最值問題，一種方法是減少變量的個數(shù)，將問題轉化為只含有一個變量的函數(shù)的最值問題進行解決；另一種方法是采用代換的方法，對代數(shù)式變形后，再運用基本不等式；②妙用常數(shù)代換求代數(shù)式的最值：在求解含有兩個變量的代數(shù)式的最值問題時，通常的解決辦法是常值替換，即由已知條件得到某個式子的值為常數(shù)，然后將要求最值的代數(shù)式乘以常數(shù)，再對代數(shù)式進行變形整理，最后利用基本不等式求最值。

運用變易理論中的變式教學，可以培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)。在實際教學過程中需要注意以下問題：①精選問題。要選擇具有示范性、發(fā)散性、重點突出的典型問題進行變易，從而提高學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力；②以生為本。問題變式要充分認識到學生的最近發(fā)展區(qū)。通過設置具有啟發(fā)性和科學性的“臺階”和問題情境，讓學生在主動發(fā)現(xiàn)、主動探究的過程中完成變式的認知過程，促進新舊知識的聯(lián)系；③情境豐富。變式情境要和現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系，要讓學生從原始的問題情景中抽象出數(shù)學問題，建立模型，變易模型和問題情境。

參考文獻：

[1] 李巧春.基于變易理論的函數(shù)y=Asin（ωx+φ）性質的認識[J].數(shù)學教學研究，2014，33（6）：20—41.

（編輯：易繼斌）