三次三角樣條插值的單調性研究

陳雪嬌++潘晶++邢慶丹

摘要：利用帶參數(shù)的有理樣條插值方法，構造了一類帶參數(shù)的三次三角樣條插值函數(shù)，插值函數(shù)具有簡潔的顯式表示.插值曲線中含有三個形狀參數(shù)，在插值條件確定的條件下可以通過調節(jié)參數(shù)來調節(jié)曲線和曲面的形狀，并且給出了曲線保持單調性的參數(shù)條件，通過限制其中兩個參數(shù)來控制曲線的單調性，另一個作為自由參數(shù)調節(jié)曲線的形狀。之后根據(jù)三次三角樣條曲線構造了三次三角樣條曲面，并且給出曲面保持單調性的參數(shù)條件.最后給出了數(shù)值例子。

關鍵詞： 有理樣條插值；三次三角樣條； 參數(shù)； 單調性； 形狀控制

中圖分類號：TP391 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2016）32-0223-03

Monotonicity Preserving using Cubic Trigonometric Spline Interpolation

CHEN Xue-jiao， PAN Jing ， XING Qing-dan

（The School of Mathematics of Liaoing Normal University， Dalian 116029， China）

Abstract： By using rational interpolation spline with parameters constructed method ， this paper develops a cubic trigonometric spline interpolation with shape parameters。The interpolation function has a simple and explicit mathematical representation。The interpolation has three parameters， and the interpolation curves and surfaces can be modified by selecting suitable parameters under the condition that the interpolating data are not changed， and the problem to preserve monotone is solved。By constraints two parameters to preserve curves monotonicity， another as a free parameter to adjust the curves shape。Later according to cubic trigonometric curves， the cubic trigonometric surfaces are constructed， and the monotonicity preserving conditions are given. Finally， a numerical examples are given。

Key words：rational spline interpolation； trigonometric cubic spline； parameters； monotonicity； shape control

1 引言

曲線和曲面的構造方法和數(shù)學描述是計算機輔助幾何設計的關鍵問題之一?，F(xiàn)在已經(jīng)有很多這種方法，如多項式方法、B樣條及非均勻有理B樣條（NURBS）方法、Bézier方法等等。多項式樣條方法明顯的缺點在于它的整體性，即在給定的插值點不變的情況下，難以實現(xiàn)對其局部約束控制。非均勻有理B樣條方法和Bézier方法稱為“非插值型”方法，即插值曲線不經(jīng)過給定的數(shù)據(jù)點，給定的數(shù)據(jù)點是作為控制點出現(xiàn)的。因此，如果能設計出一種方法，它兼顧以上兩種類型的方法，即既是插值型的又能進行局部修改是非常有意義的，因此近年來有理插值受到廣泛的關注。段奇等在文獻[1]中構造了一種僅基于函數(shù)值的分母為線性的有理三次插值樣條，借助于該方法，文獻[2]研究了一種空間曲面插值問題，給出了矩形分劃上的僅基于函數(shù)值的分片二元有理插值樣條的構造方法。張云峰、段奇等在文獻[3]中構造了一類基于函數(shù)值和偏導數(shù)值的雙變量加權混合有理插值函數(shù)，插值函數(shù)不但含有參數(shù)，而且?guī)в屑訖嘞禂?shù)，增加了插值函數(shù)的自由度。

工程實際和科學計算中往往要求所構造的曲線和曲面保持原函數(shù)和所給定數(shù)據(jù)點的原本性質（正性、單調性和凸性）。因此保形問題是計算機輔助幾何中一個重要的研究課題。近年來，國內外的許多學者發(fā)表了保形方面的文章。單調性是形狀控制中一個重要的性質。在許多物理現(xiàn)象、工程問題和科學應用中都會出現(xiàn)單調數(shù)據(jù)。例如藥物在血液里的傳播率、癌癥患者的紅細胞沉降率、材料的抗拉程度等。Beatson和Ziegler在文獻[4]討論了矩形區(qū)域上[C1]二次樣條的單調性，導出了關于函數(shù)值和導數(shù)值的充分必要條件。M.Z.Hussain和M.Hussain在文獻[5]中構造了分母為二次的帶有兩個形狀參數(shù)的分段有理三次函數(shù)，并通過限制形狀參數(shù)來可視化單調數(shù)據(jù)。文獻[6] 通過限制有理雙三次函數(shù)的形狀參數(shù)來保持單調數(shù)據(jù)的單調性。M.Sarfraz在文獻[7]中討論了有理三次樣條的單調性。Muhammad Sarfraz等在文獻[8]中構造了一種基于導數(shù)值的二次三角樣條曲線，并給出了曲線保持正性、單調性和凸性的參數(shù)條件。

在這篇文章中主要研究了三次三角樣條插值的單調性。與以往的樣條插值相比， 本文構造的三次三角樣條插值有以下優(yōu)點：1）本文構造的三次三角樣條插值是[G1]連續(xù)的。2）本文構造的三次三角樣條曲線中含有三個參數(shù)，其中兩個作為形狀參數(shù)控制曲線的單調性， 另外一個作為自由參數(shù)調節(jié)曲線的形狀。 與帶有四個參數(shù)的樣條插值相比， 它可以大大地減少計算量， 與帶有兩個形狀參數(shù)的樣條插值相比它可以自由地調整曲線的形狀。 3）本文構造的三次三角樣條插值是非有理的，與有理樣條相比它僅僅占用少量的內存。

本文的結構如下：在文章的第二部分構造了[G1]連續(xù)的三次三角樣條插值，并且給出了插值條件。第三部分給出了使得曲線保持單調性的參數(shù)條件。第四部分構造了三次三角樣條曲面。第五部分研究了曲面的單調性。第六部分通過數(shù)值例子驗證了曲線和曲面的單調性。第七部分為本文的結論。

2 插值函數(shù)的構造

給定區(qū)間[[a，b]]上的數(shù)據(jù)[{（xi，fi，di），i=1，2，…，n，n+1}]， 其中[fi]， [di]為被插函數(shù)[f（x）]在分劃點[xi]處的函數(shù)值和導數(shù)值， 此處[a=x1

[Pi（x）=（1-sinθ）3fi+（1-sinθ）sinθ（3-sinθ）Ui+（1-cosθ）cosθ（3-cosθ）Vi+（1-cosθ）3fi+1] （1）

其中

[Ui=fi+2hidi3π]， [Vi=fi+1-2hidi+13π]。

容易看到對于給定的數(shù)據(jù)， 由式（1）定義的三次三角樣條函數(shù)滿足： [Pi（xi）=fi]，[P'i（xi）=di]，[i=1，2，…，n-1]。 稱這種插值為三次三角樣條插值。

由[G1]連續(xù)條件有：

[P'i-1（xiθ=π2）=K1P'i（xiθ=0）]， [?i]， [K1=1αi+βi≠1]。

[P'i（xi+1θ=π2）=K2P'i+1（xiθ=0）]， [?i]， [K2=1αi+γi≠1]。

幾乎處處

[di→diαi+βi]， [di+1→di+1αi+γi]。

其中[αi>0]， [βi>0]， [γi>0]為參數(shù)。

則三次三角樣條函數(shù)（1）轉換為[G1]連續(xù)的三次三角樣條函數(shù)為：

[Si（x）=（1-sinθ）3fi+（1-sinθ）sinθ（3-sinθ）Ui^+（1-cosθ）cosθ（3-cosθ）V^i+（1-cosθ）3fi+1] （2）

其中

[Ui^=fi+2hidi3π（αi+βi）]， [V^i=fi+1-2hidi+13π（αi+γi）]。

3 插值曲線的單調性研究

令[{（xi，fi，di），i=1，2，…，n，n+1}]是區(qū)間[[a，b]]上的一組單調數(shù)據(jù)， 且滿足下列條件： [fi0]，[di>0] ，[i=1，2，…，n]。 由式（2）定義的三次三角樣條插值在每一個子區(qū)間[Ii=[xi，xi+1]]是單調的， 如果在每一個子區(qū)間[S'i（x）>0]， [i=1，2，…，n-1]成立。

[S'i（x）=E1cosθ（1-sinθ）2+E2sinθcosθ+E3sinθ（1-cosθ）2]

其中

[E1=diαi+βi]， [E2=πΔi-（2di3（αi+βi）+2di+13（αi+γi））]， [E3=di+1αi+γi]。

[S'i（x）>0]， [i=1，2，…，n-1]。 如果[Ei>0]， [i=1，2，3]。

由[αi>0]， [βi>0] ， [γi>0] ， [Δi>0]可知， [E1>0]， [E3>0]。 若[E2>0]， 則只需[γi>-αi+2di+1（αi+βi）3πΔi（αi+βi）-2di]， [αi>0]和[βi>-αi-2hidi3πfi]， [αi>0]。

上述結論可總結為：

定理1. 三次三角樣條函數(shù)（2）是單調的， 如果參數(shù)[αi]， [βi] ， [γi]滿足下列條件：

[βi>max{0，-αi-2hidi3πfi}]， [αi>0]。

[γi>max{0，-αi+2di+1（αi+βi）3πΔi（αi+βi）-2di}]， [αi>0]。

4 三次三角樣條曲面

給定平面區(qū)域[Ω=[a，b；c，d]]，

[{（xi，yj，fi，j，di，j，ei，j），i=1，2，…，n，n+1；j=1，2，…，m，m+1}]為已知的插值數(shù)據(jù)點集。[a=x1

[S（x，y）=-AFBT] （3）

其中

[F=0S（x，yj）S（x，yj+1）S（xi，y）fi，jfi，j+1S（xi+1，y）fi+1，jfi+1，j+1]

[A=-1a0a1]， [B=-1b0b1]

其中

[a0=cos2θ]， [a1=sin2θ]； [b0=cos2η]， [b1=sin2η]。

[S（x，yj）=（1-sinθ）3A1+（1-sinθ）sinθ（3-sinθ）A2+（1-cosθ）cosθ（3-cosθ）A3+（1-cosθ）3A4] （4）

其中

[A1=fi，j]， [A2=fi，j+2hidi，j3π（αi，j+βi，j）]， [A3=fi+1，j-2hidi+1，j3π（αi，j+γi，j）]， [A4=fi+1，j]。

[S（x，yj+1）=（1-sinθ）3B1+（1-sinθ）sinθ（3-sinθ）B2+（1-cosθ）cosθ（3-cosθ）B3+（1-cosθ）3B4] （5）

其中

[B1=fi，j+1]，[B2=fi，j+1+2hidi，j+13π（αi，j+1+βi，j+1）]，

[B3=fi+1，j+1-2hidi+1，j+13π（αi，j+1+γi，j+1）]，[B4=fi+1，j+1]。

[S（xi，y）=（1-sinη）3C1+（1-sinη）sinη（3-sinη）C2+（1-cosη）cosη（3-cosη）C3+（1-cosη）3C4] （6）

其中

[C1=fi，j]， [C2=fi，j+2ljei，j3π（αi，j^+βi，j^）]， [C3=fi，j+1-2ljei，j+13π（αi，j^+γi，j^）]， [C4=fi，j+1]。

[S（xi+1，y）=（1-sinη）3D1+（1-sinη）sinη（3-sinη）D2+（1-cosη）cosη（3-cosη）D3+（1-cosη）3D4] （7）

其中

[D1=fi+1，j]， [D2=fi+1，j+2ljei+1，j3π（αi+1，j^+βi+1，j^）]，

[D3=fi+1，j+1-2ljei+1，j+13π（αi+1，j^+γi+1，j^）]， [D4=fi+1，j+1]。

5 插值曲面的單調性研究

給定[Ω=[a，b；c，d]]上的數(shù)據(jù)[（xi，yj，fi，j，di，j，ei，j），i=1，2，…，n，n+1；j=1，2，…，m，m+1}]， 且滿足： [fi，j0]， [ei，j>0]， [i=1，2，…，n，n+1]； [j=1，2，…，m，m+1]。由式（3）定義的三次三角樣條曲面是單調的， 如果由式（4）-（7）定義的邊界曲線[S（x，yj）]， [S（x，yj+1）]， [S（xi，y）]， [S（xi+1，y）]是單調的。 由定理1可知邊界曲線[S（x，yj）]的保單調條件為：

[βi，j>max{0，-αi，j-2hidi，j3πfi，j}]， [αi，j>0]。

[γi，j>max{0，-αi，j+2di+1，j（αi，j+βi，j）3πΔi，j（αi，j+βi，j）-2di，j}]， [αi，j>0]。

同理可得邊界曲線[S（x，yj+1）]， [S（xi，y）]， [S（xi+1，y）]的保單調條件。

定理2. 定義在區(qū)間[I=[xi，xi+1；yj，yj+1]]上的二元三次三角函數(shù)（3）是單調的， [αi，j]， [βi，j]， [γi，j]， [αi，j+1]， [βi，j+1]， [γi，j+1]，[αi，j^]， [βi，j^]，[γi，j^]，[αi+1，j^]，[βi+1，j^]，[γi+1，j^]滿足下列條件：

[βi，j>max{0，-αi，j-2hidi，j3πfi，j}]， [αi，j>0]

[γi，j>max{0，-αi，j+2di+1，j（αi，j+βi，j）3πΔi，j（αi，j+βi，j）-2di，j}]， [αi，j>0]。

[βi，j+1>max{0，-αi，j+1-2hidi，j+13πfi，j+1}]， [αi，j+1>0]。

[γi，j+1>max{0，-αi，j+1+2di+1，j+1（αi，j+1+βi，j+1）3πΔi，j+1（αi，j+1+βi，j+1）-2di，j+1}]，[αi，j+1>0]。

[βi，j^>max{0，-αi，j^-2ljei，j3πfi，j}]， [αi，j^>0]。

[γi，j^>max{0，-αi，j^+2ei，j+1（αi，j^+βi，j^）3πΔi，j^（αi，j^+βi，j^）-2ei，j}]， [αi，j^>0]。

[βi+1，j^>max{0，-αi+1，j^-2ljei+1，j3πfi+1，j}]， [αi+1，j^>0]。

[γi+1，j^>max{0，-αi+1，j^+2ei+1，j+1（αi+1，j^+βi+1，j^）3πΔi+1，j^（αi+1，j^+βi+1，j^）-2ei+1，j}]， [αi+1，j^>0]。

6 數(shù)值例子

例1 表1是由函數(shù)[y=x3]給出的一組單調數(shù)據(jù)。 圖1是當參數(shù)不滿足定理2時得到的， 可以看出曲線不是單調的。 圖2是當參數(shù)滿足定理2時得到的， 可以看出曲線是單調的。

表1

圖1 不滿足定理1

7 結論

本文主要研究了三次三角樣條曲線和曲面的單調性。首先構造了[G1]連續(xù)的三次三角樣條曲線，并給出了曲線保持單調性的參數(shù)條件，之后基于三次三角樣條曲線構造了三次三角樣條曲面，并討論了三次三角樣條曲面的參數(shù)條件。當參數(shù)滿足定理1時，曲線是單調的。當參數(shù)滿足定理2時，曲面的邊界曲線是單調的，曲面也是單調的。最后通過數(shù)值例子進行了驗證。

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