連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布的探討

摘 要：隨機(jī)變量的分布函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中有著非常多的運(yùn)用，與其分布相關(guān)的研究同樣是大部分教材重要的組成內(nèi)容。往往計(jì)算機(jī)變量函數(shù)分布能夠采取公式法又或是分布函數(shù)法，正常狀況下，公式法所需具備的條件非常的嚴(yán)格。本文對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布進(jìn)行較為深入的研究。

關(guān)鍵詞：連續(xù)型隨機(jī)變量；分布函數(shù)；應(yīng)用

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2017.05.218

1 連續(xù)型隨機(jī)變量中的“連續(xù)”界定

連續(xù)型隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量是完全不同的，經(jīng)過(guò)其所存在的取值點(diǎn)集特點(diǎn)來(lái)概括，運(yùn)用全新的工具分布F（x）函數(shù)來(lái)對(duì)其進(jìn)行界定，也就是如果X的分布函數(shù)都可以寫(xiě)為某一非負(fù)函數(shù)f（x）的變上限積分模式，便將它叫做連續(xù)型隨機(jī)變量。

（1）性質(zhì)1 針對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X存在：

a.

b.。

根據(jù)以上所闡述的特性能夠發(fā)現(xiàn)，連續(xù)型隨機(jī)變量大都是探討相互持續(xù)的點(diǎn)集中的取值概率，比如：區(qū)間[c，d]等，它的某個(gè)固定點(diǎn)位置處的概率是0。換而言之，連續(xù)型隨機(jī)變量所分析的是各式各樣的有限區(qū)間、數(shù)軸以及半數(shù)軸等。

但是，若果取值點(diǎn)集是半數(shù)軸、有限區(qū)間、數(shù)軸以及并集的隨機(jī)變量，

其并非一定是連續(xù)型，比如：。其同樣是沒(méi)有辦法

采取連續(xù)型隨機(jī)變量全部的能夠進(jìn)行取值的點(diǎn)集的特點(diǎn)來(lái)實(shí)施概括。

（2）性質(zhì)2 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X，如果f（x），F(xiàn)（x）所代表的是密度函數(shù)以及分布函數(shù)，那么便存在：

a.f（x）≥0；b.；c.f（x）=F′（x），在f（x）的連續(xù)點(diǎn)便成立。

較為顯著的是，f（x）在XOY坐標(biāo)平面中所對(duì)應(yīng)的的圖像，處在X軸以及它上方的一個(gè)曲線，同時(shí)此曲線和X軸間區(qū)域的面積是1。然而f（x）并不能確定為（-∞，+∞）區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，同時(shí)其所有不連續(xù)點(diǎn)均是單獨(dú)存在的、數(shù)量有限的點(diǎn)集，然而從其主體層面依然是分段式的連續(xù)函數(shù)，同時(shí)在f（x）的連續(xù)點(diǎn)處的F（x）可導(dǎo)。此處補(bǔ)充說(shuō)明的是，性質(zhì)2中所列出的a、b均是f（x）能夠成為連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的充要條件。

（3）根據(jù)高等數(shù)學(xué)相關(guān)理論能夠得知，變上限積分函數(shù)F（x）一定是（-∞，+∞）區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。針對(duì)普通性的分布函數(shù)僅僅需要其達(dá)到右連續(xù)，例如：連續(xù)型隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)是全部連續(xù)的，換而言之，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率累積實(shí)漸漸積累的，并未產(chǎn)生跳躍式的增長(zhǎng)。其同樣是連續(xù)型隨機(jī)變量最為主要的“連續(xù)”特點(diǎn)，然而并不能說(shuō)明分布函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，其所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量必然是連續(xù)型的。

2 連續(xù)型隨機(jī)函數(shù)分布的計(jì)算方法

2.1 復(fù)合函數(shù)單調(diào)

定理1 假定隨機(jī)變量X存在著概率密度函數(shù)fx（x），fx（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)不可能為0，函數(shù)g（x）處處可導(dǎo)同時(shí)始終存在（又或是始終存在），那么Y=g（X）便為連續(xù)型隨機(jī)變量，同時(shí)，其間：α=min（g（a），g（b））；β=max（g（a），

g（b））；h（y）為g（x）的反函數(shù)。

2.2 復(fù)合函數(shù)分段單調(diào)

定理2 假定隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為fx（x），同時(shí)fx（x）在區(qū)間（a，b）范圍內(nèi)等于0，函數(shù)g（x）在（a，b） 的不重復(fù)的子區(qū)間I1，I2，...中逐段的嚴(yán)格單調(diào)，其所對(duì)應(yīng)的反函數(shù)分別是h1（y），h2（y），...，同時(shí)，都是連續(xù)函數(shù)，那么Y=g（X）便為連續(xù)型隨機(jī)變量，同時(shí)其所對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)是

，其間：α=min（g（a），

g（b））；β=max（g（a），g（b））。

3 連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的部分性質(zhì)與證明

無(wú)論X是連續(xù)型的又或是離散型的隨機(jī)變量，其所對(duì)應(yīng)的的分布函數(shù)F（x）都有以下的基本性質(zhì)：1，2，3

性質(zhì)1 單調(diào)性：F（x）為（-∞，+∞）區(qū)間內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)；

性質(zhì)2 有界性：0≤F（x）≤1，且

性質(zhì)3 右連續(xù)性：F（x+0）=F（x）。

性質(zhì)4 如果隨機(jī)變量X為連續(xù)型，F(xiàn)（x）所代表的是其對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)，那么Y=F（x）滿足[0，l]區(qū)間為的均勻分布。

證明 假定p（x）代表的是隨機(jī)變量x的密度函數(shù)，PY（y）所代表的是隨機(jī)變量Y=F（x）對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)，那么便會(huì)有F`（x）=P（x）。因?yàn)閥=F（x）是（-∞，+∞）區(qū)間內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，所以F（x）在（-∞，+∞）區(qū)間內(nèi)有著相應(yīng)的反函數(shù)，假定該反函數(shù)是，0≤y≤1，那么：

當(dāng)y<0或y>1時(shí)，PY（y）=0；

當(dāng)0≤y≤1時(shí)，

求導(dǎo)，得：

根據(jù)以上所述，Y=F（X）的密度函數(shù)是

因此，Y=F（X）滿足[0，1]區(qū)間內(nèi)的均勻分布。

性質(zhì)5 如果隨機(jī)變量X為連續(xù)型，F(xiàn)（x）所代表的是分布函數(shù)，F(xiàn)（x）在[a，b]區(qū)間內(nèi)連續(xù)并且嚴(yán)格單調(diào)，（此處的a能夠?yàn)?∞，b能夠?yàn)?∞），那么同分布，其間U滿足[0，l]區(qū)間內(nèi)的均勻分布。此處是F（.）所對(duì)應(yīng)的反函數(shù)。

證明 假設(shè)其密度函數(shù)是，因?yàn)镕（x）在[a，b]區(qū)

間內(nèi)連續(xù)并且嚴(yán)格單調(diào)遞增，因此假定其所對(duì)應(yīng)的的反函數(shù)是，此處0≤y≤1，假設(shè)所對(duì)應(yīng)的密度函

數(shù)是PY（y）。根據(jù)U的密度函數(shù)能夠得知：

當(dāng)y<0或y>1時(shí)，PY（y）=0；

當(dāng)0≤y≤1時(shí)，

求導(dǎo)，得：

當(dāng)a為-∞，b為+∞的時(shí)候，以上結(jié)論同樣成立。能夠得知，和X同分布。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：陳曉（1982-），女，河南濟(jì)源人，本科，助教，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。