透析錯例 把握實(shí)質(zhì)

湯建明

“平面圖形的認(rèn)識（二）”是初中數(shù)學(xué)中“圖形與幾何”的基礎(chǔ)，在學(xué)習(xí)的過程中，常常會出現(xiàn)因不能正確理解基本概念、基本性質(zhì)而導(dǎo)致的各種錯誤.現(xiàn)舉例說明，望同學(xué)們在學(xué)習(xí)的過程中注重概念的了解、性質(zhì)的理解，學(xué)會對數(shù)學(xué)本質(zhì)的掌握.

一、不能正確理解平行線的性質(zhì)

例1 如圖1，直線c與直線a，b相交，若∠1=56°，則∠2等于（ ）.

A.34° B.56°

C.124° D.不能確定

【錯解】B.

【分析】從圖形來看，∠1、∠2是直線c被直線a、b所截后所得的兩個同位角，誤以為根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：∠1與∠2具有相等關(guān)系.平行線的性質(zhì)“兩直線平行，同位角相等”的條件是兩直線平行，結(jié)論是同位角相等.本題中直線a，b的位置沒有明確給出平行，因此，∠1與∠2是否具有相等關(guān)系也就不能確定.

【正解】D.

【警示】“兩直線平行，同位角相等”“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”這些平行線的性質(zhì)，都是在兩直線平行的條件下，兩角之間具有的數(shù)量關(guān)系.

二、不能正確理解“三線”的概念

例2 如圖2，在△ABC中，∠C=90°，D、E為AC上的兩點(diǎn)，且AE=DE，BD平分∠EBC，則下列說法不正確的是（ ）.

A.BC是△ABE的高

B.BE是△ABD的中線

C.BD是△EBC的角平分線

D.∠ABE=∠EBD=∠DBC

【錯解】C.

【分析】根據(jù)條件“∠C=90°”即可知：BC⊥AC，垂足為點(diǎn)C，則BC可以看成是△ABC、△BEC、△BCD、△ABD、△BED以及△ABE的高，則選項(xiàng)A是正確的，不符合題意；根據(jù)條件“AE=DE”即可知：點(diǎn)E是△ABD的邊AD的中點(diǎn)，即為△ABD的中線，則選項(xiàng)B是正確的，不符合題意；根據(jù)條件“BD平分∠EBC”即可知，BD是△EBC的角平分線，則選項(xiàng)C也是正確的，不符合題意；∵BD平分∠EBC，∴∠EBD=∠DBC.∵AE=DE，△ABD不是等腰三角形，∴∠ABE≠∠EBD，∴∠ABE=∠EBD=∠DBC不成立，則選項(xiàng)D是不正確的，符合題意.

【正解】D.

【警示】三角形的角平分線、高、中線是三角形重要的線段，熟記這些概念并正確識圖是解答這類問題的關(guān)鍵.

三、沒有掌握中線性質(zhì)

例3 如圖3，在△ABC中，已知點(diǎn)D、E、F分別為邊BC、AD、CE的中點(diǎn)，且S△ABC=16cm2，則S陰影= cm2.

【錯解】8.

【分析】由條件“點(diǎn)D、E、F分別為邊BC、AD、CE的中點(diǎn)”可知：AD、BE、CE、BF分別為△ABC、△ABD、△ACD以及△BCE的中線，根據(jù)“等底等高的兩個三角形面積相等”可得：S△BED=[12]S△ABD、S△ECD=[12]S△ACD，所以S△BEC=[12]S△ABC，同理可得S△BEF=[12]S△BEC，即S△BEF=[14]S△ABC

=4cm2.由于有的同學(xué)不能掌握中線性質(zhì)，即三角形中線將三角形分成兩個面積相等的三角形，而不能對這類圖形的面積加以轉(zhuǎn)化.

【正解】4.

【警示】根據(jù)等底等高的三角形的面積相等，可知道三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形.解答這類問題時，我們要善于將這類不規(guī)則的圖形逐步轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形或可以求的圖形面積問題.

四、不能正確理解三角形的三邊關(guān)系

例4 （2016·淮安）已知一個等腰三角形的兩邊長分別為2和4，則該等腰三角形的周長是 .

【錯解】10或8.

【分析】因?yàn)樗o的等腰三角形的兩邊長分別為2和4，所以對這兩邊到底是這個等腰三角形的腰還是底邊，需要分情況加以討論.即：（1）三角形的三邊長分別為2，2，4，∵2+2=4，∴它們不能構(gòu)成三角形，即此種情況不存在；（2）三角形的三邊長分別為2，4，4，此時能構(gòu)成三角形，且周長為10.綜上所述，該等腰三角形的周長為10.而有的同學(xué)僅僅考慮了等腰三角形邊的情況，忽視了三角形的三邊關(guān)系，即三條線段能否構(gòu)成三角形，而出現(xiàn)錯誤的結(jié)論.

【正解】10.

【警示】解決與三角形三邊長有關(guān)的問題時，一定要考慮構(gòu)成三角形的三邊長能否滿足三角形的三邊關(guān)系.

五、考慮問題不全面，不能正確分類討論

例5 （2016·涼山）一個多邊形切去一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和為1080°，那么原多邊形的邊數(shù)為（ ）.

A.7 B.7或8

C.8或9 D.7或8或9

【錯解】B或C.

【分析】設(shè)內(nèi)角和為1080°的多邊形的邊數(shù)是n，則（n-2）·180°=1080°，解得：n=8.即切去一個角后，形成的另一個多邊形的邊數(shù)為8.由于原多邊形切去的這個角怎么切的沒有說明，因此有三種可能出現(xiàn)的結(jié)果，即邊數(shù)不變、邊數(shù)增加1、邊數(shù)減少1，則原多邊形的邊數(shù)為7或8或9.

【正解】D.

【警示】解答這類操作性問題時，先確定內(nèi)角和為1080°的多邊形邊數(shù)，再根據(jù)操作過程中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分類討論.

（作者單位：江蘇省建湖縣城南實(shí)驗(yàn)初中教育集團(tuán)城南校區(qū)）