微積分在解決物理問題中的應(yīng)用與教學(xué)

李建杰

【摘要】微積分是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的思維分析問題、解決問題的一種數(shù)學(xué)方法，在普通物理學(xué)中有著廣泛而重要的應(yīng)用.在講授數(shù)學(xué)學(xué)理時(shí)，如何融會(huì)貫通地將數(shù)學(xué)與物理學(xué)有機(jī)結(jié)合起來，將微積分思想應(yīng)用于物理問題的解決是一個(gè)大膽的嘗試.

【關(guān)鍵詞】微積分思想；物理問題

隨著生產(chǎn)與社會(huì)實(shí)踐的發(fā)展，科技創(chuàng)新正在突破學(xué)科分立，呈現(xiàn)出多領(lǐng)域高度融合的趨勢.社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)呼喚更多創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)人才的涌現(xiàn)，這就需要教育、教學(xué)領(lǐng)域的改革不斷深化，特別是高職教育要在提高學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問題的能力上下功夫.因此，融通各學(xué)科知識(shí)，提高學(xué)生創(chuàng)新能力就成為教學(xué)的根本與關(guān)鍵.將微積分的思想、方法與物理學(xué)的概念、原理相融合，研究與物理知識(shí)相關(guān)的實(shí)際問題的計(jì)算步驟、微元選取和建立模型的方法；選好切入點(diǎn)，運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐，有利于學(xué)生在學(xué)而知之時(shí)體會(huì)學(xué)科間知識(shí)融通的妙趣，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，將創(chuàng)新思維融于數(shù)學(xué)教學(xué)中，推動(dòng)理論數(shù)學(xué)貼近生活，向?qū)嵺`型轉(zhuǎn)變.

一、微積分思想與物理學(xué)不可分割

在教學(xué)實(shí)踐中，我們深深體會(huì)到：微積分思想與物理學(xué)是相通的.微積分在物理學(xué)中有著廣泛而深入的應(yīng)用.無論是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)，剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，熱力學(xué)基礎(chǔ)，還是靜電場、穩(wěn)恒磁場都需要用微積分來分析與闡釋.

微積分初始的創(chuàng)立源于17世紀(jì)人類對(duì)自然科學(xué)探索之需要，天文學(xué)及力學(xué)等物理研究推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展.天文學(xué)及力學(xué)的探索包括四類主要問題——已知物體運(yùn)動(dòng)路程與時(shí)間的關(guān)系求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度，以及反之，已知加速度與速度，求物體在任意時(shí)刻的速度與路程；求曲線的切線；求函數(shù)的最大最小值問題；求積問題（計(jì)算曲線的弧長、曲線所圍區(qū)域的面積、體積及物體的重心等）.

微積分是高等數(shù)學(xué)的奠基石，它充滿了思辨的理念.包含著有限與無限的對(duì)立統(tǒng)一，近似與精確的對(duì)立統(tǒng)一.微積分思想和方法的精妙之處在于用運(yùn)動(dòng)的思維來看待和研究問題，通過有限向無限轉(zhuǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)近似到精確的分析過程.用微分來建立方程、建立模型，用積分來求解方程模型，這是微積分應(yīng)用的關(guān)鍵.

物理學(xué)是以實(shí)驗(yàn)和觀察為基礎(chǔ)，并用微積分來描述物體間各個(gè)量的因果關(guān)系的學(xué)科.雖然物理學(xué)與數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域各異，但解決問題的基本出發(fā)點(diǎn)與方法論是相通的，就是把復(fù)雜問題近似成簡單、基本、可研究的對(duì)象，從而使其可解.在這一過程中所運(yùn)用的基本方法就是：將物理學(xué)所研究的對(duì)象在時(shí)間或空間上分割成小量，對(duì)小量進(jìn)行近似求解，這些近似處理在無限次分割的情況下趨近于物理問題的真實(shí)結(jié)果.這就是微分的思想；由無限分割所得到的小量稱為微分元，簡稱微元.而把這些無限小的微元進(jìn)行連續(xù)性求和，就是積分思想.把物理對(duì)象分割成微元后，不均勻量變成均勻量，變量可看作常量，將復(fù)雜問題簡單化.這一化整為零，再積零為整的研究方法，正是微積分思想方法的跨領(lǐng)域運(yùn)用.

二、微積分思想與物理問題解決的融合

物理與微積分看似相互獨(dú)立，但實(shí)際上不可分割.物理是數(shù)學(xué)的延伸與應(yīng)用，數(shù)學(xué)思維又滲透于物理的多個(gè)分支.大學(xué)物理中無論是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)，剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，熱力學(xué)基礎(chǔ)，還是靜電場，穩(wěn)恒磁場都要用微積分來解決問題.

微元法思想——與中學(xué)物理相比，大學(xué)物理的基本特征在于所研究的物理量由原來的穩(wěn)恒量和離散量變成了連續(xù)量和變量，要想在已有的基礎(chǔ)上，進(jìn)行深入的學(xué)習(xí)與研究，微元法思想尤為重要.例如在力學(xué)中的速度、加速度、變力做功的求解中用到了位移元、時(shí)間元和速度元、功元；剛體質(zhì)心的求解中用到了質(zhì)量微元；在電磁學(xué)部分電場強(qiáng)度和電勢的求解用到了電荷元；在磁場強(qiáng)度的求解中用到了電流元等.有了微元之后我們就可以利用已掌握的知識(shí)求解這些微元的物理問題，進(jìn)而利用求和的方法解決實(shí)際連續(xù)體的物理問題.

積分思想——中學(xué)階段的大部分定理和定律都是針對(duì)離散變量或是理想模型，對(duì)于連續(xù)量和變量的物理問題我們除了應(yīng)用微元法外，還要利用積分思想，即對(duì)求得的離散的微元問題進(jìn)行求和.從物理上說就是標(biāo)量的代數(shù)和、矢量的迭加原理.例如：電磁學(xué)中高斯定理中高斯面內(nèi)電荷的代數(shù)和、磁場安培環(huán)路定理中環(huán)路內(nèi)電流的代數(shù)和等標(biāo)量的迭加，還有電場強(qiáng)度、磁場應(yīng)強(qiáng)度等矢量的迭加原理等.可以說積分是大學(xué)物理中應(yīng)用最廣泛的方法之一.

實(shí)踐表明，微積分思想與物理問題解決的融合，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理課程的鏈接，有益于破除數(shù)學(xué)與物理學(xué)科的“隔膜”，從而提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的能力.

三、微積分思想在物理問題解決中的應(yīng)用

如何將微積分的思維與物理學(xué)的學(xué)理有機(jī)結(jié)合起來，用微積分的方法分析與物理知識(shí)相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題，建立合理的數(shù)學(xué)模型，確立解決問題的一般方法，是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).在教學(xué)中適時(shí)切入典型案例，展示微積分思想在物理學(xué)科中的運(yùn)用，使學(xué)生加深理解微積分思想，感悟微積分思想的美妙與神奇，熟練運(yùn)用微積分的方法分析物理問題，探求用微積分方法解決工程實(shí)際問題的一般規(guī)律，為后期教學(xué)做好準(zhǔn)備.

針對(duì)高職學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)與認(rèn)知規(guī)律，僅選擇與力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、電磁學(xué)為背景的實(shí)例.主要方法如下：

首先，界定哪類物理問題需要微積分的方法來分析——這些問題突出特點(diǎn)在于所研究的物理量由原來的穩(wěn)恒量和離散量變成了連續(xù)量和變量，要想利用已有的知識(shí)進(jìn)行分析，需要利用微元法思想化繁為簡.

其次，掌握微積分核心，即微元的選取，是解決問題的關(guān)鍵——確定微元后先利用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述這些微元近似的物理狀態(tài)，進(jìn)而利用求和的方法解決實(shí)際連續(xù)體的物理問題.

最后，熟練運(yùn)用微積分的一般解法步驟是解題的關(guān)鍵——包括用近似值代替實(shí)際量；各微元值求和，利用各種積分方法求得原函數(shù)，代入上下限.即完成了在物理背景下，運(yùn)用微積分作為數(shù)學(xué)工具得到最終結(jié)果的完整過程.

基本步驟：

1.根據(jù)物理問題，確定相應(yīng)的微元——能近似處理成簡單的物理模型，便于分析與解決物理問題；

2.建立合理的坐標(biāo)系——物理問題與定量數(shù)學(xué)計(jì)算的聯(lián)結(jié)紐帶，把抽象的數(shù)學(xué)形式中所包含的物理內(nèi)涵體現(xiàn)出來；

3.結(jié)合物理規(guī)律和公式，將物理模型轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型——將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號(hào)來進(jìn)行表達(dá)；

4.應(yīng)用微積分的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，解決問題.

教學(xué)案例：

構(gòu)建的案例有：動(dòng)力學(xué)——如懸崖高度的估算、拱橋承受壓力問題、第二宇宙速度的計(jì)算、飛機(jī)減速傘的作用、降落傘下降速度、人在月球上能跳多高、交通管理中黃燈狀態(tài)持續(xù)的時(shí)間模型、火車轉(zhuǎn)彎時(shí)的軌跡線、列車的制動(dòng)點(diǎn)、計(jì)算勻質(zhì)薄板的重心；電磁學(xué)——并聯(lián)電路中電子元件問題、關(guān)于調(diào)節(jié)電路的總電阻問題、閉合回路中元件兩端電壓（電流）的變化規(guī)律模型、自感L與電阻R的閉合電路中，電流強(qiáng)度的變化規(guī)律；物體的振動(dòng)方程——鐘擺的往復(fù)振動(dòng)、彈簧的振動(dòng)；物體冷卻模型——刑事偵查案件中死亡時(shí)間鑒定等.

四、微積分思想解決物理問題的教學(xué)思考

將微積分學(xué)理應(yīng)用于解決物理問題的教學(xué)是一個(gè)嘗試.本文探析用微積分方法解決物理問題的一般規(guī)律、微元選取和建立模型的方法.適時(shí)將選取的案例運(yùn)用于教學(xué)，通過微積分思想和方法的有機(jī)運(yùn)用，使學(xué)生在潛移默化中體會(huì)跨學(xué)科知識(shí)融通的奧秘，使單純的數(shù)理灌輸成為可以動(dòng)手動(dòng)腦的實(shí)際問題的解決過程，從而使艱澀的教學(xué)生動(dòng)活潑起來，架起教學(xué)研究與實(shí)踐應(yīng)用的橋梁.

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