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    Fekete-Szeg? Problem for Certain Subclass of p-Valent Analytic Functions using Quasi-Subordination

    2017-03-14 02:46:34

    (1.School of Mathematics and Statistics,Chifeng University,Inner Mongolia 024000,China;2.School of Computer and Information Engineering,Chifeng University,Inner Mongolia 024000,China)

    §1.Introduction

    LetApdenote the class of functions of the form

    which are analytic in the unit diskD={z:|z|<1}.For simplicity,we writeA1=:A.

    For two analytic functionsfandg,the functionfis subordinate toginD(see[1]),written as follows

    if there exists an analytic functionω,withω(0)=0 and|ω(z)|<1 such that

    In particular,if the functiongis univalent in D,thenf(z)?g(z)is equivalent tof(0)=g(0)andf(D)?g(D).

    Ma and Minda[2]introduced and studied the classesS?(φ)andC(φ)as below

    and

    whereφ(z)is an analytic function with positive real part inD,φ(D)is symmetric with respect to the real axis and starlike with respect toφ(0)=1 andφ′(0)>0.The classS?(φ)andC(φ)include several well-known subclasses of starlike and convex functions as special case.

    In the year 1970,Robertson[3]introduced the concept of quasi-subordination.For two analytic functionsfandg,the functionfis quasi-subordinate toginD,written as follows

    if there exist analytic functions?andω,with|?(z)|≤1,ω(0)=0 and|ω(z)|<1 such that

    Observe that when?(z)=1,thenf(z)=g(ω(z)),so thatf(z)?g(z)inD.Also notice that ifω(z)=z,thenf(z)=?(z)g(z)and it is said thatfis majorized bygand writtenf(z)?g(z)inD.Hence it is obvious that quasi-subordination is a generalization of subordination as well as majorization.See[4-6]for works related to quasi-subordination.

    Mohd and Darus[7]introduced the classes(φ)andCq(φ)as below

    and

    The two classes are analogous to the Ma-Minda starlike and convex classes defined in the form of quasi-subordination.

    Letf(m)be then-th order ordinary differential operator,for a functionf∈Ap,that is,

    wherep>m,p∈N;n∈N0=N∪{0},z∈D.

    Throughout this paper it is assumed that functionφ(z)is analytic inDwithφ(0)=1.Using the operatorf(m),we now de fine the following class ofp-valent analytic functions.

    De finition 1.1Let the class(λ,b;φ)consists of functionsf(z)∈Apsatisfying the quasi-subordination

    Clearly,we have the following relationship:

    It is well known that then-th coefficient of a univalent functionf(z)∈Ais bounded byn(see[8]).The bounds for coefficient give information about various geometric properties of the function.Many authors have also investigated the bounds for the Fekete-Szeg? coefficient for various classes[7,9-23].In particular,some authors start to study the Fekete-Szeg? problem for various classes using quasi-subordination[7,22,23].In this paper,we obtain coefficient estimates for the functions in the above defined class.

    Let ? be the class of analytic functionsω(z),normalized byω(0)=0,and satisfying the condition|ω(z)|<1.We need the following lemmas to prove our main results.

    Lemma 1.2[24]Ifω∈?,then for any complex numbert

    The result is sharp for the functionsω(z)=z2orω(z)=z.

    Lemma 1.3[2]Ifω∈?,then

    Whent<?1 ort>1,equality holds if and only ifω(z)=zor one of its rotations.If?1<t<1,then equality holds if and only ifω(z)=z2or one of its rotations.Equality holds fort=?1 if and only ifω(z)=or one of its rotations while fort=1,equality holds if and only ifω(z)=or one of its rotations.

    Also the sharp upper bound above can be improved as follows then?1<t<1:

    and

    §2.Main Results

    Throughout,letf(z)=z+ap+1zp+1+ap+2zp+2+···,φ(z)=1+B1z+B2z2+···,?(z)=c0+c1z+c2z2+···,ω(z)=ω1z+ω2z2+···,B1∈RandB1>0.

    Theorem 2.1Iff(z)∈Apbelongs to(λ,b;φ),then

    and,for any complex numberμ,

    where

    ProofIff(z)(λ,b;φ),then there exist analytic functions?(z)andω(z),with|?(z)|≤1,ω(0)=0 and|ω(z)|<1 such that

    Since

    it follows from(2.3)that

    Further,

    where

    Since?(z)is analytic and bounded inD,we have[25,page 172]

    By using this fact and the well-known inequality|ω1|≤1 in(2.6)and(2.7),we get

    and

    Applying Lemma 1.2 and the triangle inequality to(2.8),we obtain(2.2).The result is sharp for the function

    or

    Forμ=0 in(2.2),we have(2.1).The proof of theorem 2.1 is complete.

    Corollary 2.2[7]Iff(z)∈Abelongs to(φ),then

    and,for any complex numberμ,

    Corollary 2.3[7]Iff(z)∈Abelongs toCq(φ),then

    and,for any complex numberμ,

    Theorem 2.4Iff(z)∈Apsatis fies

    then the following inequalities hold

    and,for any complex numberμ,

    where

    ProofThe result follows by takingω(z)=zin the proof of Theorem 2.1.

    Theorem 2.5Iff(z)∈Apbelongs toRpm,q(λ,b;φ),then for any real numberμandb>0

    Further,ifσ1≤μ≤σ3,then

    Ifσ3≤μ≤σ2,then

    For any real numberμandb<0,

    Further,ifσ2≤μ≤σ3,then

    Ifσ3≤μ≤σ1,then

    where

    ProofWe assume thatb>0.From(2.2),we have

    Ifμ≤σ1,thent≤?1.Thus,by applying Lemma 1.3,we get the first inequality in(2.10).

    Ifμ≥σ2,thent≥1.Applying Lemma 1.3,we have the last inequality in(2.10).

    Whenσ1≤μ≤σ2,then|t|≤1.Thus applying Lemma 1.3,we obtain the middle inequality in(2.10).

    Moreover,(2.11)and(2.12)are established by an application of Lemma 1.3.

    Applying Lemma 1.3,we can prove(2.13)?(2.15)forb<0.The proof of theorem 2.5 is complete.

    Corollary 2.6Iff(z)∈Abelongs to(φ),then for any real numberμ

    Further,ifσ1≤μ≤σ3,then

    Ifσ3≤μ≤σ2,then

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