存在基數(shù)約束的投資組合效率評價方法

周忠寶，金倩穎，曾喜梅，吳 乾，劉文斌,2

(1. 湖南大學(xué)工商管理學(xué)院，湖南 長沙 410082；2. Business School, University of Kent, Kent, CT2 7PE)

存在基數(shù)約束的投資組合效率評價方法

周忠寶1，金倩穎1，曾喜梅1，吳 乾1，劉文斌1,2

(1. 湖南大學(xué)工商管理學(xué)院，湖南 長沙 410082；2. Business School, University of Kent, Kent, CT2 7PE)

采用數(shù)據(jù)包絡(luò)方法(DEA)評價投資組合效率的前提是有效前沿面為連續(xù)凹函數(shù)，然而存在基數(shù)約束的投資組合有效前沿面可能是非凹且不連續(xù)的函數(shù)，直接運(yùn)用DEA方法對其進(jìn)行評價是不合理的。本文首先給出了存在基數(shù)約束的投資組合效率的定義，考慮到其有效前沿面是由有限個連續(xù)凹函數(shù)分段構(gòu)成的，提出了一種分段點(diǎn)搜索算法，構(gòu)建分段DEA模型來評價投資組合效率。仿真分析表明，隨著樣本量的增加，本文提出的搜索算法得到的樣本分段點(diǎn)逼近于真實分段點(diǎn)，分段DEA前沿面逼近于真實前沿面，DEA效率與真實效率相關(guān)性逐漸增大，從而說明了本文方法的可行性和有效性。

投資組合效率；基數(shù)約束；有效前沿面；分段點(diǎn)搜索方法；數(shù)據(jù)包絡(luò)分析

1 引言

在現(xiàn)代金融研究領(lǐng)域，投資組合優(yōu)化和評價是一個熱點(diǎn)問題[1-3]。1952年，美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家Markowitz提出的均值-方差(Mean-Variance Model)模型[4]，開創(chuàng)了現(xiàn)代投資理論的新紀(jì)元，該理論現(xiàn)已發(fā)展為現(xiàn)代投資組合理論的核心[5-6]。

經(jīng)典的均值-方差模型存在著諸多不足，其中很重要的就是實際投資組合中資產(chǎn)數(shù)量是存在限制的(基數(shù)約束)。Chang等學(xué)者在經(jīng)典均值-方差模型中引入投資組合所含資產(chǎn)數(shù)量限制，從而建立考慮基數(shù)約束的均值-方差模型(Cardinality Constrained Mean-Variance Model)[7]。Fieldsend和Matatko和Anagnostopoulos等學(xué)者基于經(jīng)典的均值-方差模型建立了多目標(biāo)基數(shù)約束投資組合優(yōu)化模型，并通過實例說明了多目標(biāo)引入的重要性[8-9]。由于考慮基數(shù)約束的投資組合優(yōu)化問題是混合整數(shù)二次規(guī)劃問題，真實前沿面的解析解難以獲得。目前求解基數(shù)約束問題的方法主要分為兩類，一種是采用放松約束條件或者目標(biāo)函數(shù)來逼近原問題從而得到解析解，另一種是采用啟發(fā)式算法解決基數(shù)約束問題。Li Duan等學(xué)者[10]提出一種拉格朗日和Contour-Domain切割方法 。Gao Jianjun和Li Duan[11]結(jié)合基數(shù)約束問題的幾何特點(diǎn)，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了放松并得到了不同放松形式下的解析解。Zheng Yiaojing等[12]提出用分段線性DC函數(shù)逼近基數(shù)約束函數(shù)從而將原問題分解為一系列凸的子問題。Cheng和Gao[13]構(gòu)建了基數(shù)約束均值-CVaR投資組合優(yōu)化模型，并提出采用加權(quán)l(xiāng)1-范數(shù)方法找到問題的近似解。TianYe等[14]人構(gòu)建了正的錐約束來轉(zhuǎn)化原規(guī)劃問題，并用數(shù)值算例證明了得到的最優(yōu)解優(yōu)于已有方法得到的解。郝靜和張鵬[15]提出用離散近似迭代法求解具有基數(shù)約束的多階段投資組合模型的最優(yōu)投資策略，并證明了其收斂性。Chang等[16]考慮了不同風(fēng)險測度(均值-方差、半方差、均值絕對偏差及方差和偏度)下的基數(shù)約束問題，并用遺傳算法進(jìn)行求解。Woodside-Oriakhi等學(xué)者[17]對利用啟發(fā)式算法求解基數(shù)約束投資組合問題的文獻(xiàn)進(jìn)行了梳理。作為一個NP困難的問題，考慮基數(shù)約束的投資組合前沿面仍然難以獲取，即使采用啟發(fā)式算法，也存在計算復(fù)雜和局部最優(yōu)解等問題，因而基于真實前沿面直接對投資組合進(jìn)行評價是一個難題。

投資組合效率評價模型可以分為兩類：Diversification模型[18]和DEA(DataEnvelopmentAnalysis)模型[19]，兩者的基本思想都是基于投資組合與前沿面的距離來計算投資組合效率。但Diversification模型是非線性模型，計算復(fù)雜，實際應(yīng)用不便。而DEA是由Charnes等學(xué)者提出的一種基于樣本數(shù)據(jù)的非參數(shù)方法[16]，是線性模型，計算簡單。Liu等學(xué)者[20]關(guān)于DEA的應(yīng)用調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在金融，經(jīng)濟(jì)，教育等領(lǐng)域中應(yīng)用甚是廣泛。Murthi等學(xué)者[20]應(yīng)用DEA模型評價了考慮交易成本的投資組合效率，提出投資組合DEA效率指數(shù)DPEI。Galagadera和Silvapulle[22]運(yùn)用DEA方法，利用最小初始投資和多個時間段的平均收益和標(biāo)準(zhǔn)偏差評估了投資組合效率。Daraio和Simar[23]用標(biāo)準(zhǔn)偏差、費(fèi)用比率、投資周轉(zhuǎn)率和規(guī)模作為輸入指標(biāo)，預(yù)期回報作為輸出指標(biāo)進(jìn)行了實證研究。ZhaoXiujuan等學(xué)者[24]分析了系統(tǒng)風(fēng)險，非系統(tǒng)風(fēng)險，投資期限和超額收益率，并構(gòu)建了二次約束DEA模型評價投資組合效率。GuoJian等[25]運(yùn)用DEA模型評估了走高時期的投資基金效率。DingHui等學(xué)者[26]研究了存在保證金限制的投資組合效率評價問題。周忠寶等學(xué)者[27-29]采用DEA模型對考慮交易成本的單階段和多階段投資組合進(jìn)行了評價。楊宏林等學(xué)者[30]探索了基于DEA方法的價值與動量混合策略股票資產(chǎn)組合選擇及效率評價問題。LiuWenbin等學(xué)者[3]系統(tǒng)地研究了DEA應(yīng)用于投資組合效率評價的理論基礎(chǔ)，以及考慮交易成本和交易量等市場摩擦和多種風(fēng)險測度下的投資組合評價問題。用DEA方法逼近投資組合前沿面適用于連續(xù)凹函數(shù)的情形，然而考慮基數(shù)約束的投資組合前沿面可能是非凹且不連續(xù)的，因而不能直接運(yùn)用DEA方法評價投資組合的效率。

本文基于存在基數(shù)約束的投資組合優(yōu)化模型，根據(jù)其有效前沿面定義了投資組合效率。由于考慮基數(shù)約束的投資組合真實前沿面解析解難以獲得，難以直接應(yīng)用效率的定義對投資組合進(jìn)行評價，因而本文研究了基于分段DEA模型的評價方法。首先，本文提出了一種樣本分段點(diǎn)搜索算法，以逼近真實分段點(diǎn)；其次，基于樣本分段點(diǎn)對投資組合進(jìn)行分組，由于每個分段的有效前沿面是連續(xù)凹函數(shù)，據(jù)此提出了分段DEA前沿面來逼近真實前沿面，進(jìn)而用DEA效率逼近真實的投資組合效率。仿真結(jié)果表明，本文提出的方法可以有效地評價考慮基數(shù)約束的投資組合效率。

2 考慮基數(shù)約束的投資組合效率定義

2.1 考慮基數(shù)約束的投資組合優(yōu)化模型

如果限制投資組合中證券的數(shù)量不超過K，則可構(gòu)建如下收益導(dǎo)向的考慮基數(shù)約束的均值-方差投資組合優(yōu)化模型：

(1)

對應(yīng)的風(fēng)險導(dǎo)向投資優(yōu)化模型可表示為：

(2)

其中，sign()為符號函數(shù)，當(dāng)xi≠0時|sign(xi)|=1，當(dāng)xi=0時sign(xi)=0。

2.2 考慮基數(shù)約束的投資組合效率定義

圖1 投資組合效率

上述定義適用于投資組合有效前沿面為連續(xù)凹函數(shù)的情形，當(dāng)考慮基數(shù)約束的限制時，投資組合真實前沿面函數(shù)可能出現(xiàn)不連續(xù)的情況(如圖2所示)，此時如果采用風(fēng)險導(dǎo)向，可能出現(xiàn)投資組合在前沿面上無法投影的情況，進(jìn)而無法計算投資組合效率。

圖2 考慮基數(shù)約束的投資組合效率

在上述情況下，盡管分段點(diǎn)或者突變點(diǎn)處期望收益出現(xiàn)較大變動，風(fēng)險的取值仍然是連續(xù)的，這意味著對于任一投資組合，在收益導(dǎo)向下，始終能夠得到前沿面上的投影點(diǎn)，因此總可以定義收益導(dǎo)向的投資組合效率：

在考慮基數(shù)約束的限制時，由于投資組合前沿面可能出現(xiàn)不連續(xù)的情形，因而在評價時需要注意導(dǎo)向的選取。考慮到風(fēng)險的取值始終是連續(xù)的，采用收益導(dǎo)向的投資組合效率評價總是可行的，因而本文研究中均采用收益導(dǎo)向。

3 考慮基數(shù)約束的投資組合效率評價方法

LiuWenbin等學(xué)者[3]的研究表明，當(dāng)投資組合前沿面是連續(xù)凹函數(shù)時，可以采用基于數(shù)據(jù)的DEA模型來評價投資組合效率，當(dāng)投資組合數(shù)量趨于無窮時，DEA前沿面依概率收斂于真實前沿面。然而，考慮基數(shù)約束的投資組合有效前沿面可能是不連續(xù)的非凹函數(shù)，因而依據(jù)上述研究直接運(yùn)用DEA模型進(jìn)行評價是不可行的。

盡管考慮基數(shù)約束的投資組合有效前沿面可能不是連續(xù)的凹函數(shù)，但顯而易見該有效前沿面是由多個連續(xù)凹函數(shù)分段構(gòu)成的，這為運(yùn)用DEA模型評價考慮基數(shù)約束的投資組合提供了一個思路：首先找出分段點(diǎn)，然后在每一段內(nèi)采用DEA模型進(jìn)行評價。然而，由于考慮基數(shù)約束的投資組合優(yōu)化模型非常復(fù)雜，找到真實分段點(diǎn)仍然非常困難，因此本文提出了一種分段點(diǎn)搜索算法，根據(jù)樣本分段點(diǎn)來逼近真實分段點(diǎn)。

樣本分段點(diǎn)搜索算法：

1)對所有樣本點(diǎn)依據(jù)風(fēng)險大小進(jìn)行排序，得到樣本序列(σi,ri)(i=1,2,…,n)，其中σi為非降序列(σi≤σi+1,i=1,2,…,n-1)；

如圖3所示，若kAO

圖3 樣本分段點(diǎn)判定方法

Liu等學(xué)者[3]的研究表明，當(dāng)前沿面為連續(xù)凹函數(shù)時，隨著投資組合數(shù)量趨于無窮，前沿面上任一點(diǎn)的任意鄰域內(nèi)總存在投資組合樣本點(diǎn)[3]。由于考慮基數(shù)約束的投資組合有效前沿面在每一段內(nèi)滿足連續(xù)凹函數(shù)的條件，因而對于分段前沿面上任一點(diǎn)，當(dāng)樣本量足夠大時，其任意鄰域內(nèi)總存在投資組合樣本點(diǎn)。相應(yīng)地，容易證明，當(dāng)樣本量足夠大時，在任一真實分段點(diǎn)的任意鄰域內(nèi)總存在樣本分段點(diǎn)，從而樣本分段點(diǎn)逼近于真實分段點(diǎn)。

在確定了樣本分段點(diǎn)之后，就可以將所有的樣本按照樣本分段點(diǎn)劃分組別，在每一組內(nèi)采用DEA模型進(jìn)行評價。需要注意的是，本文假設(shè)不存在無風(fēng)險資產(chǎn)，因而在組內(nèi)進(jìn)行評價時采用BCC模型，當(dāng)存在無風(fēng)險資產(chǎn)時可以用FG-DEA模型[26]或CCR模型[17]進(jìn)行評估。

maxφ

λj≥0,j=1,…,m

(3)

需要特別指出的是，雖然基數(shù)約束下不同分段內(nèi)的DEA模型在形式上跟其他DEA模型相同，但是投資組合樣本數(shù)據(jù)中已經(jīng)包含了基數(shù)約束等限制條件，而且其對應(yīng)的投資組合優(yōu)化模型和有效前沿面并不相同。

4 仿真分析

選取了2012年1月至2015年8月的中國A股市場5只股票的月收益率數(shù)據(jù)，由于個股的月收益率數(shù)值較小，本文以股票收益率的百分?jǐn)?shù)為基準(zhǔn)計算得到的期望收益率分別為6.0851、2.3036、2.0161、2.6819、0.8631，協(xié)方差矩陣如表1所示。

表1 協(xié)方差矩陣

為便于比較不同樣本量下本文所提出的方法的實際效果，樣本量m為100、500和1000。基數(shù)限制K=3和K=4時不同樣本量對應(yīng)的DEA前沿面和真實有效前沿面的比較如圖4和圖5所示。從圖中可以看出，隨著樣本量的增加，樣本分段點(diǎn)逼近于真實分段點(diǎn)，相應(yīng)的分段DEA前沿面逐漸逼近于真實前沿面。

圖4 分段前沿面比較(K=3)

圖5 分段前沿面比較(K=4)

需要特別指出的是，從圖中可以看出，當(dāng)樣本量比較大時，通過搜索算法得到的樣本分段點(diǎn)的數(shù)量可能多于真實分段點(diǎn)，然而這并不影響投資組合效率的評價結(jié)果，原因在于，對于某一分段有效前沿面，因為其為連續(xù)凹函數(shù)，可以將其看作多個分段連續(xù)凹函數(shù)，采用收益導(dǎo)向的投資組合效率評價模型并不會影響最終結(jié)果。

基于真實前沿面和基于DEA模型計算的投資組合效率及其排名的相關(guān)系數(shù)如表2所示。由表2可知，隨著投資組合樣本量的增加，相關(guān)系數(shù)也逐漸增大，表明采用本文提出的方法評價投資組合績效是切實可行的。

表2 相關(guān)性分析

5 結(jié)語

本文基于考慮基數(shù)約束的投資組合優(yōu)化模型，定義了投資組合效率和真實分段點(diǎn)，提出了根據(jù)真實分段點(diǎn)對投資組合進(jìn)行分段評價的思想。由于真實分段點(diǎn)難以計算，本文給出了一種樣本分段點(diǎn)搜索算法，該算法能有效地逼近真實分段點(diǎn)。在確定樣本分段點(diǎn)后，構(gòu)建了DEA模型對每個分段內(nèi)的投資組合進(jìn)行效率評價。本文提出的方法是一種基于樣本數(shù)據(jù)的效率評價方法，實用性很強(qiáng)，計算方便。仿真實例表明，隨著樣本量的增加，本文提出的搜索算法得到的樣本分段點(diǎn)逐漸逼近真實分段點(diǎn)，分段DEA前沿面逼近于真實前沿面，且計算得到的DEA效率與基數(shù)約束下投資組合效率相關(guān)性越來越大，從而表明本文提出的方法切實有效。

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Performance Evaluation of Portfolios with Cardinality Constraints

ZHOU Zhong-bao1， JIN Qian-ying1， ZENG Xi-mei1， WU Qian1， LIU Wen-bin1,2

(1.School of Business Administration, Hunan University, Changsha 410082, China;2. Business School, University of Kent, Kent, CT2 7PE, England)

Using Data Envelopment Analysis (DEA) to evaluate the performance of portfolios requires that the portfolio efficient frontier is continuous and concave. However, the efficient frontier on considering cardinality constraints may not be continuous or concave. Obviously, the direct use of DEA to evaluate the performance of portfolios with cardinality constraints is not reasonable. In this case, the definition of portfolio efficiency is provided. Since the efficient frontier with cardinality constraints is a piecewise concave function, a numerical searching algorithm is put forward to obtain the sample segment points, which are used to group portfolios under cardinality constraints. The DEA model is then used to evaluate the performance of portfolios in each group. The simulation example indicates that, with the increase of sample size, the sample segment points converge to the real segment points, the DEA frontiers converge to the efficient frontier with cardinality constraints, the correlations between DEA efficiencies and portfolio efficiencies are becoming larger, which all indicate the feasibility and effectiveness of the proposed approach.

portfolio efficiency; cardinality constraints; efficient frontier; segment points search method; data envelopment analysis

1003-207(2017)02-0174-06

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.02.019

2015-10-05；

2016-06-07

國家自然科學(xué)基金面上項目(71371067)；國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項目(71431008)

金倩穎(1993-)，女(漢族)，浙江義烏人，湖南大學(xué)工商管理學(xué)院，在讀博士，研究方向：金融工程與風(fēng)險管理、系統(tǒng)優(yōu)化與決策，E-mail：qianyingjin@hnu.edu.cn.

C931;F830

A