離散線性卷積的理解和計(jì)算綜述

王吉華　劉秀清　李瑞先

【摘 要】總結(jié)離散線性卷積的兩種理解方法，分析了基于系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系角度理解的卷積計(jì)算方法，并以算例的形式，和按公式本身進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證了其正確性。對(duì)離散線性卷積進(jìn)行不同角度的理解和計(jì)算，有利于學(xué)生更深入地掌握該知識(shí)點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】信號(hào)；卷積；輸入輸出關(guān)系；濾波

0 引言

在交通運(yùn)輸和車輛工程等專業(yè)開設(shè)有《汽車測(cè)試技術(shù)》、《汽車拖拉機(jī)試驗(yàn)學(xué)》和《發(fā)動(dòng)機(jī)測(cè)試技術(shù)》等課程，其中均含有信號(hào)調(diào)幅和濾波等相關(guān)知識(shí)[1-2]。調(diào)幅是在時(shí)域上將調(diào)制信號(hào)與載波相乘，在頻域是二者頻譜的卷積；濾波是在頻域上將原始信號(hào)頻譜與濾波器頻譜函數(shù)相乘，而在時(shí)域上將二者進(jìn)行卷積。而目前這些教材專門針對(duì)卷積的討論較少，而要深刻掌握這些卷積的實(shí)際應(yīng)用知識(shí)，就必須對(duì)卷積概念及其計(jì)算方法作較深的理解。卷積有連續(xù)信號(hào)卷積和離散信號(hào)卷積，二者的原理相同，區(qū)別是前者為連續(xù)信號(hào)積分，而后者是離散序列的求和。為了使學(xué)生能夠理解和掌握卷積概念、計(jì)算及其應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)，從離散線性卷積角度，總結(jié)和分析了系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系和濾波兩種不同角度的理解；目前大部分教材討論卷積的計(jì)算時(shí)，均是依據(jù)卷積計(jì)算公式本身[3]，本文再從系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的角度，對(duì)文獻(xiàn)[3]中算例進(jìn)行卷積計(jì)算，并和文獻(xiàn)[3]中的按卷積公式本身得出的結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證此方法的正確性。

1 系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系角度的理解

一個(gè)序列x（n）可以表示為單位抽樣信號(hào)δ（n）及其所有位移的線性組合，即x（n）在各個(gè)時(shí)刻k處的 “抽取值”之和，如式（1）[3]。

若一個(gè)離散線性系統(tǒng)對(duì)單位抽樣信號(hào)δ（n）的響應(yīng)是h（n），由于離散系統(tǒng)為線性，滿足齊次性，則其對(duì)輸入x（k）δ（n）的響應(yīng)為x（k）h（n）；由式（1）可知，輸入x（n）是所有k時(shí)刻的x（k）δ（n-k）之和，可得到該離散系統(tǒng)對(duì)輸入序列x（n）的響應(yīng)為式（2），即輸出y（n）是輸入序列x（n）在各個(gè)k時(shí)刻的 “抽取值”x（k）與相應(yīng)的單位抽樣響應(yīng)h（n-k）的乘積之和[3]。式（2）即為x（n）與h（n）的離散線性卷積x（n）*h（n），這樣就從系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系角度解釋了離散線性卷積。

2 濾波角度的理解

對(duì)于時(shí)域離散信號(hào)x（t），其頻率為f；設(shè)采樣時(shí)間為Ts，得到時(shí)域離散信號(hào)x（n），頻率為fs?？疾鞎r(shí)域離散信號(hào)x（n）的濾波，濾波時(shí)間函數(shù)（濾波因子）為h（n），濾波輸出為y（n），x（n）、h（n）和y（n）的頻譜分別為XTs （f）、HTs（f）和YTs（f）。對(duì)信號(hào)x（n）的濾波就是在頻域?qū)Ts（f）和HTs（f）相乘，得到Y(jié)Ts（f），然后對(duì)YTs（f）進(jìn)行傅里葉逆變換就可以得到濾波后輸出y（n）。則離散線性系統(tǒng)的濾波過程可以描述為[4]：

由于離散線性卷積的可交換性，即y（n）=h（n）*x（n）=x（n）*h（n），所以式（3）與式（2）相等，均表示x（n）與h（n）的卷積。從以上分析可知，濾波是信號(hào)與濾波因子在時(shí)域的乘積，而在頻域是對(duì)二者頻譜進(jìn)行卷積，這就從濾波角度對(duì)卷積進(jìn)行了理解。

3 卷積的計(jì)算方法

對(duì)于離散線性卷積，大部分教材均按照式（2）和式（3）中的一個(gè)來進(jìn)行計(jì)算，二者計(jì)算方法完全相同，以式（2）為例，其計(jì)算步驟是先將h（k）翻轉(zhuǎn)得到h（-k），再進(jìn)行移位，將每次移位后的h（-k）與x（n）重合的采樣點(diǎn)分別相乘再求和，得到y(tǒng)（n）的一個(gè)采樣點(diǎn)的值，然后不斷移位和重復(fù)上述的相乘與求和過程，最終得到y(tǒng)（n）的所有采樣點(diǎn)的值[3]。這是從式（2）和式（3）的數(shù)學(xué)公式的角度來進(jìn)行計(jì)算，為了從不同的角度來理解卷積的計(jì)算方法，下面將從系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系角度理解上來分析卷積的另外一種計(jì)算方法。

從式（1）推導(dǎo)出式（2）的過程中利用了線性系統(tǒng)的齊次性，所以，在式（2）中，對(duì)于每一個(gè)確定的k時(shí)刻，x（k）為定常數(shù)，δ（n-k）是δ（n）移位k個(gè)采樣時(shí)間單位得到的序列，將x（k）與δ（n-k）的乘積x（k）δ（n-k）作為輸入，最后將各個(gè)k時(shí)刻得到的輸出x（k）h（n-k）求和，即得到y(tǒng)（n）。按照系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的理解，將各個(gè)采樣時(shí)刻k的定常數(shù)x（k）乘以h（n）的移位序列h（n-k），得到k時(shí)刻的輸出序列x（k）h（n-k），然后將各個(gè)k時(shí)刻得到的輸出序列在各個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行疊加求和，則實(shí)現(xiàn)卷積計(jì)算y（n） =x（n）*h（n）。

在文獻(xiàn)[3]中的例1.6.1中，按照式（2）的數(shù)學(xué)公式本身進(jìn)行了直接計(jì)算，原始題目為：令h（n）={h（0），h（1）}={1，1}，x（n）={x（0），x（1），…，x（3）}={1，2，3，4}，試求x（n）與h（n）的卷積[3]。這里利用系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的理解方法進(jìn)行計(jì)算，由于序列x（n）的采樣點(diǎn)范圍是n=0～3，所以分別令k=0，1，2，3，可得各個(gè)k時(shí)刻的輸出序列x（k）h（n-k），如圖1各圖中的粗實(shí)線實(shí)心圓頭所示。

在圖1中得到各k時(shí)刻的x（k）h（n-k）各序列中，將相同采樣點(diǎn)的值加起來，作為卷積輸出y（n）的在這個(gè)采樣點(diǎn)上的值，可得到y(tǒng)（n）={y（0），y（1），y（2），y（3），y（4）}={y0（0），y0（1）+y1（1），y1（2）+y2（2），y2（3）+y3（3），y3（4）}={1，3，5，7，4}，對(duì)比文獻(xiàn)[1]中的計(jì)算結(jié)果，二者完全相同，從而驗(yàn)證了該計(jì)算方法的正確性。

4 結(jié)束語

總結(jié)和分析了離散線性卷積在輸入輸出關(guān)系和濾波兩個(gè)角度上的理解，并從系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的理解方法上計(jì)算卷積。從不同角度去理解和計(jì)算卷積，將會(huì)幫助學(xué)生對(duì)卷積及其應(yīng)用知識(shí)的牢固掌握。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]唐嵐，李涵武.汽車測(cè)試技術(shù)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006.

[3]胡廣書.數(shù)字信號(hào)處理-理論、算法與實(shí)現(xiàn)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2003.

[4]程乾生.數(shù)字信號(hào)處理[M].北京：北京大學(xué)出版社，2003.

[責(zé)任編輯：朱麗娜]