相位法輪廓測(cè)量中光柵近心投射的非線性誤差校正算法

陳益松， 翟麗娜， 鮑秋赟

(東華大學(xué) a． 服裝與藝術(shù)設(shè)計(jì)學(xué)院； b． 現(xiàn)代服裝設(shè)計(jì)與技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200051)

相位法輪廓測(cè)量中光柵近心投射的非線性誤差校正算法

陳益松a， b， 翟麗娜a， 鮑秋赟a

(東華大學(xué) a． 服裝與藝術(shù)設(shè)計(jì)學(xué)院； b． 現(xiàn)代服裝設(shè)計(jì)與技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200051)

針對(duì)相位法光學(xué)測(cè)量交叉光軸系統(tǒng)中普遍存在的投影光柵在參考平面非線性變化引起的非線性誤差的問(wèn)題，提出了將非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)換為線性問(wèn)題的基本邏輯．通過(guò)光路的幾何關(guān)系分別在3種交叉光軸系統(tǒng)條件下推導(dǎo)出光柵相位分布表達(dá)式，消除了非線性誤差項(xiàng)對(duì)解算物點(diǎn)空間坐標(biāo)的影響，從而使該類問(wèn)題在理論上得到根本的解決.這對(duì)于提高系統(tǒng)測(cè)量精度、簡(jiǎn)化系統(tǒng)標(biāo)定和后期處理具有重要的意義，使得條紋投影法測(cè)量三維物體輪廓更加簡(jiǎn)便和有效．

三維測(cè)量； 輪廓術(shù)； 交叉光軸系統(tǒng)； 光柵投影； 非線性相位

在光學(xué)非接觸三維測(cè)量中，有直接三角法[1]和間接三角法兩種基本形式．相位測(cè)量輪廓術(shù)(PMP, phase measuring profilometry)屬于間接三角法，其包括傅里葉變換輪廓術(shù)[2](FTP， Fourier transform profilometry)和相移法[3-4](PSM, phase shifting method )，兩者都可使用正弦光柵進(jìn)行投射，利用光柵在物體表面相對(duì)于參考平面上的相位變化來(lái)解算物體表面的三維數(shù)據(jù)．在相位測(cè)量法中，光柵投射有兩種基本形式：一種是平行光軸投射方式，該投射方式不存在光柵節(jié)距在參考平面變化的問(wèn)題，但測(cè)量區(qū)域范圍小，需要配合移軸等技術(shù)來(lái)擴(kuò)大有效測(cè)量區(qū)域[5-6]；另一種是交叉光軸投射，該方式利用投影鏡頭和攝像鏡頭的視角在測(cè)量區(qū)域的交叉重疊來(lái)取得較大的有效測(cè)量區(qū)域，但光柵傾斜投射(或攝像機(jī)傾斜拍攝)會(huì)造成攝像機(jī)所拍參考平面上的光柵節(jié)距發(fā)生非線性變化，給測(cè)量帶來(lái)系統(tǒng)誤差．針對(duì)這一問(wèn)題，文獻(xiàn)[4]在提出相移法之初便指出需要建立相位與高度的映射關(guān)系表，以查表的方式對(duì)該誤差進(jìn)行修正．文獻(xiàn)[7]提出了一種誤差外部補(bǔ)償算法，此方法需要測(cè)量多個(gè)角度，計(jì)算繁瑣并會(huì)引入新的誤差．文獻(xiàn)[8]根據(jù)幾何關(guān)系求得投影光柵條紋周期和參考平面光柵條紋周期間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并對(duì)其積分表示出相位，再通過(guò)最小二乘法確定出相位冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的未知系數(shù)，來(lái)估算參考平面上的非線性相位．文獻(xiàn)[9]在兩個(gè)坐標(biāo)系下求出物體高度和相位之間的關(guān)系，并通過(guò)定標(biāo)試驗(yàn)計(jì)算出測(cè)量系統(tǒng)的誤差．文獻(xiàn)[10]提出編寫(xiě)一幅特殊的周期不均勻的校正光柵，使得傾斜投影時(shí)投射到參考平面上的條紋恰好周期均勻，但實(shí)質(zhì)上其周期校正功能是基于編寫(xiě)的校正光柵實(shí)現(xiàn)的．文獻(xiàn)[11]也是采用上述方法編寫(xiě)了校正光柵，以此避免參考平面上周期展寬引起的非線性誤差．上述方法各異，總體而言屬于外部補(bǔ)償或?qū)崪y(cè)校正，未從理論上直接解決問(wèn)題，更有許多研究對(duì)這種非線性問(wèn)題予以忽視，直接按遠(yuǎn)心平行光路以線性方法來(lái)解算，這必然會(huì)使測(cè)量結(jié)果不準(zhǔn)確[12-13]．因此，尋求消除這種非線性誤差的根本解決方法，是該領(lǐng)域?qū)W者一直關(guān)注的問(wèn)題．

本文系統(tǒng)闡述了在典型的傾斜投影垂直拍攝或垂直投影傾斜拍攝以及更具一般性的交叉光軸系統(tǒng)條件下，針對(duì)光柵非線性變化所引起的測(cè)量非線性誤差問(wèn)題，依據(jù)非線性相位分布的線性解邏輯，推導(dǎo)出3種系統(tǒng)條件下的參考平面坐標(biāo)值與攝像機(jī)共軛像面非線性相位的映射關(guān)系，并根據(jù)測(cè)量系統(tǒng)參數(shù)和攝像機(jī)像面的相位變化來(lái)求接觸物點(diǎn)的坐標(biāo)，具有普遍適用性．

1 交叉光軸下的條紋周期變化

圖1為典型的傾斜投影交叉光軸系統(tǒng)，投影光軸SO和攝像機(jī)光軸EO相交于參考平面R于點(diǎn)O，SO相對(duì)于參考平面R的傾斜角為α，投影儀到參考平面的垂直距離為l，兩光心連線SE與參考平面平行且長(zhǎng)度為d，R1為投影儀的共軛像面．

當(dāng)投影儀傾斜投影時(shí)，因?yàn)橥队皟x光軸垂直于共軛像面R1，所以，當(dāng)采用周期均勻的朗奇(Ronchi)或正弦光柵近心投射時(shí)，R1上的光柵圖案也是等節(jié)距分布的，而參考平面R(x)上的條紋是非均勻分布的，即參考平面上的光柵條紋周期發(fā)生改變，頻率也發(fā)生改變，且越遠(yuǎn)離投影儀則條紋周期越大.傾斜投影下變周期的朗奇光柵如圖2所示．

圖2 傾斜投影下變周期光柵Fig．2 The grating with non-uniform period in tilt grating projection

由相位法解算物體輪廓的基本原理可知，物體輪廓點(diǎn)(簡(jiǎn)稱“物點(diǎn)”)相對(duì)于參考平面R(x)的高度值,依賴于其存在時(shí)攝像機(jī)所拍攝到的相位相對(duì)于參考平面R(x)上無(wú)物體時(shí)的光柵條紋的相位變化來(lái)解算的[2-4]．因此在相位解調(diào)時(shí)，若忽略參考平面上光柵條紋本身的周期變化，測(cè)量結(jié)果必將產(chǎn)生誤差．本文通過(guò)幾何解算出各種交叉光軸下的非線性誤差項(xiàng)，并直接給出了光柵在參考平面上相位分布的數(shù)學(xué)表達(dá)式，從理論上根本解決交叉光軸條件下的非線性測(cè)量誤差問(wèn)題．

2 非線性相位差的線性解

以相位法輪廓測(cè)量的基本坐標(biāo)系為基礎(chǔ)(參見(jiàn)圖1)，當(dāng)正弦光柵條紋投射在被測(cè)物體表面時(shí)，物體的高度對(duì)光柵條紋進(jìn)行了調(diào)制，光柵發(fā)生變形，相位發(fā)生變化．

設(shè)投影光柵在R1平面上的光柵周期為P．若采用遠(yuǎn)心投影，那么平行光束投射在參考平面R(x)上的光柵空間周期為P0=P/sinα，空間頻率為f0=sinα/P，則參考平面上任意點(diǎn)的相位為

φ0(x)=2πf0x

(1)

若采用近心投射發(fā)散光束時(shí)，參考平面R(x)上光柵周期P1逐漸變大，即頻率f1逐漸變小，則R(x)上任意點(diǎn)的相位隨著光柵頻率的改變而改變，如式(2)所示.

φ1(x)=2πf1x

(2)

直角坐標(biāo)系中參考平面上平行光束與發(fā)散光束的相位偏差示意圖如圖3所示．

圖3 參考平面上平行光束與發(fā)散光束的相位偏差Fig．3 Phase deviation between parallel and divergent beam

兩曲線的值域之差即為由于投影條紋在參考平面上改變而產(chǎn)生的相位偏差，對(duì)于參考平面上的一點(diǎn)C，其相位偏差項(xiàng)為

Δφ(xc)=φ0(xc)-φ1(xc)

(3)

由圖3可知，φ1在x=C產(chǎn)生的相位可用φ0在x=B的相位值代替，則

Δφ(xc)=φ0(xc)-φ0(xb)=

(4)

由式(4)可知，非線性相位偏差項(xiàng)Δφ(xc)是由點(diǎn)C與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)差值決定的．

3 測(cè)量系統(tǒng)的非線性相位分布

3．1 傾斜投影垂直攝像的交叉光軸系統(tǒng)

在圖1中，投影儀相對(duì)于參考平面的傾斜角為α，入射光線SCA與R1相交于點(diǎn)A．在平行光束下，過(guò)R1上點(diǎn)A的入射光線投影在參考平面的B點(diǎn)上，因此，OB相當(dāng)于OA在R(x)上的線性投影，而B(niǎo)C則為光柵節(jié)距的非線性變化部分，該部分在文獻(xiàn)[14]中被稱為初始相位，即本文所稱非線性相位偏差．根據(jù)三角幾何關(guān)系可以推導(dǎo)出該非線性偏差項(xiàng)．

測(cè)量系統(tǒng)的參考平面R(x)也是攝像機(jī)的共軛像面，像面(X，Y) 坐標(biāo)與參考平面(x，y)坐標(biāo)系重合．由幾何關(guān)系易得△ABC∽△SOC，則

(5)

(6)

R1光柵頻率f0平行映射到R(x)上的光柵頻率為f01= -f0sinα，則R(x)上的光柵非線性相位偏差為

(7)

根據(jù)式(3)，傾斜光柵在參考平面R(x)上實(shí)際相位分布為

φ1(x，y)=φ01(x，y)-Δφ01(x，y)=

(8)

在此，攝像機(jī)圖像相位分布中φ1(X,Y)即為φ1(x,y)，根據(jù)式(8)，依據(jù)像素點(diǎn)的相位信息就可求解出測(cè)量坐標(biāo)系R(x)的x坐標(biāo)值．

3．2 垂直投影傾斜攝像的交叉光軸系統(tǒng)

垂直投影傾斜攝像的交叉光軸系統(tǒng)如圖4所示，SO和EO分別是投影光軸和攝像機(jī)光軸，SO垂直于參考平面R(x)，則投影儀投射在參考平面R(x)的光柵是均勻的．然而攝像機(jī)光軸EO相對(duì)于參考平面的傾斜角為β，攝像機(jī)的共軛像面是R2，不與R(x)重合，即R(x)上的均勻光柵映射到攝像機(jī)像面的共軛平面R2上的光柵條紋周期是非線性變化的．

圖4 傾斜攝影交叉光軸系統(tǒng)的幾何解析圖Fig．4 Geometric analysis of the crossed optical axes system with oblique-angle photography

以R(x)上的D點(diǎn)為例，K2為D在攝像機(jī)共軛像面R2上的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)D做垂直于R2的線交于點(diǎn)B2，OB2相當(dāng)于OD在R2上的線性投影，B2K2則是非線性變化部分．

由幾何關(guān)系易知△B2DK2∽△OEK2則

(9)

(10)

考慮R(x)的光柵頻率f0平行映射到R2上的光柵頻率為f02=f0/sinβ，攝像機(jī)共軛像面R2上非線性相位偏差為

(11)

根據(jù)式(3)，平面R2上光柵像的實(shí)際相位分布為

(12)

由式(12)可根據(jù)圖像的相位φ2解出R2對(duì)應(yīng)的X坐標(biāo)值，R2上坐標(biāo)X映射到R(x)的x為

(13)

3．3 一般性交叉光軸系統(tǒng)

圖5 一般性交叉光軸系統(tǒng)的幾何解析圖Fig．5 Geometric analysis of the general crossed optical axes system

在一般性交叉光軸系統(tǒng)中，投影儀光軸和攝像機(jī)光軸均傾斜如圖5所示，此時(shí)的非線性誤差則來(lái)自投影儀傾斜和攝像機(jī)傾斜兩個(gè)方面．OB1為投影儀在R1平面均勻條紋在攝像機(jī)共軛像面R2上的投影，B1B2為投影儀傾斜在平面R2上產(chǎn)生的非線性投影，B2K2為攝像機(jī)傾斜在R2上產(chǎn)生的非線性投影，因此，總的非線性投影B1K2=B1B2+B2K2．

(14)

(15)

考慮R1-R(x)-R2的映射關(guān)系，R1光柵頻率f0平行轉(zhuǎn)折映射到R2光柵頻率為f03=-f0sinα/sinβ， 平面R2上光柵像的相位誤差為

(16)

根據(jù)式(3)，平面R2上光柵像實(shí)際相位分布為

(17)

由式(17)可根據(jù)圖像的相位φ3解出平面R2上對(duì)應(yīng)的X坐標(biāo)值，可根據(jù)式(13)求出R(x)的x相應(yīng)值．

4 物點(diǎn)坐標(biāo)的解算

當(dāng)計(jì)算機(jī)生成的正弦光柵條紋投射在被測(cè)物體表面時(shí)，物體的高度對(duì)光柵條紋進(jìn)行了調(diào)制，光柵發(fā)生變形，在像面坐標(biāo)系(X，Y)下由攝像機(jī)所拍到的光強(qiáng)信息可表示為

I(X，Y)=A(X，Y)+B(X，Y)cos[φ(X，Y)]

(18)

式中：A(X，Y)為背景光強(qiáng)度；B(X，Y)為光柵條紋的振幅；相位函數(shù)φ(X，Y)表示被測(cè)物體表面形態(tài)而引起的相位變化，其由相移法[3-6，15]或傅里葉法[2，16]求得．

在圖1、圖4和圖5中，圖像XD點(diǎn)接受參考平面R(x)上D的反射光，而測(cè)量物體時(shí)，XD點(diǎn)接受W點(diǎn)經(jīng)D點(diǎn)的反射光，該光線的相位相當(dāng)于參考平面R(x)上C點(diǎn)即圖像坐標(biāo)XC的入射光相位，D點(diǎn)與C點(diǎn)的距離決定了物體W點(diǎn)在Z軸上的高度．

由φD(XD，Y) 和φC(XC，Y)可根據(jù)式(8)、(12)或(17)解算出攝像機(jī)共軛像面的XD和XC，再由式(13)轉(zhuǎn)為參考平面R(x)的xD和xC坐標(biāo)(3．1節(jié)中，xD=XD，xC=XC)．

以圖4為例，設(shè)點(diǎn)W的O-XZ坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(xW，zW)，由幾何關(guān)系△DCW∽△ESW，則

(19)

計(jì)算可得

(20)

當(dāng)W點(diǎn)在參考平面R(x)上方時(shí)，zW為正；當(dāng)W點(diǎn)在參考平面R(x)下方時(shí)，zW為負(fù)．

雖然W點(diǎn)坐標(biāo)與xD有唯一的關(guān)聯(lián)性，但xW≠xD，需要根據(jù)不同情況進(jìn)行解算．同以圖4為例，△DWF∽△DEG，則

(21)

(22)

說(shuō)明xW不僅與zW有關(guān)，還與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)及圖像坐標(biāo)X有關(guān)．

5 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)一般交叉光軸光學(xué)測(cè)量系統(tǒng)的光柵非線性變化引起測(cè)量誤差的問(wèn)題，給出了將非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題的基本邏輯．通過(guò)分析光路圖的幾何關(guān)系，推導(dǎo)出非線性誤差表示項(xiàng)，并給出了不同情況下攝像機(jī)共軛像面的光柵相位分布表達(dá)式．依據(jù)不同系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，建立參考平面x坐標(biāo)與共軛像面的光柵相位的映射關(guān)系，由物體外輪廓引起的光柵相位變化最終轉(zhuǎn)換參考平面上投影光柵x坐標(biāo)值的變化問(wèn)題，并最終根據(jù)幾何關(guān)系解算出物點(diǎn)的空間坐標(biāo)．本文從最基本的原理出發(fā)，推演出的數(shù)學(xué)模型從根本上解決了一般交叉光軸測(cè)量系統(tǒng)因投影光柵非線性變化引起的測(cè)量誤差問(wèn)題，也可簡(jiǎn)化實(shí)際測(cè)量系統(tǒng)的標(biāo)定和后期校正問(wèn)題，使利用光柵條紋投影測(cè)量三維物體輪廓的方法更加簡(jiǎn)便和有效．

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(責(zé)任編輯：劉園園)

For the wide existing nonlinear error caused by nonlinear variation of projected grating on reference plane in crossed optical axes geometry of phase measuring profilometry， a basic logic of the nonlinear problem into a linear problem was proposed． The formula of grating phase distribution were deduced through the geometric relationships to eliminate the nonlinear error in three crossed axes systems respectively． This formula can calibrate the phase modulation item in calculating the coordinates of objects， so as to solve this kind of problems fundamentally in theory． It has important meaning for improving accuracy of measurement, simplifing system calibration and post processing. Therefore， it makes fringe projection profilometry flexible and universal in measuring three-dimensional objects．

3D measurement； profilometry； crossed optical axes system； grating projection； nonlinear phase

TB 96

A

Nonlinear Error Correction Method for Entocentric Projection in Phase Measuring Profilometry

CHENYisonga， b，ZHAILinaa，BAOQiuyuna

(a． Fashion & Art Design Institute； b． Key Laboratory of Clothing Design & Technology，
Ministry of Education， Donghua University， Shanghai 200051， China)