馬爾科夫切換隨機區(qū)間線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定分析

趙婷婷， 尤蘇蓉

(東華大學(xué) 理學(xué)院，上海 201620)

馬爾科夫切換隨機區(qū)間線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定分析

趙婷婷， 尤蘇蓉

(東華大學(xué) 理學(xué)院，上海 201620)

研究了具有馬爾科夫切換的隨機區(qū)間線性系統(tǒng)的穩(wěn)定化問題.為得到離散時間反饋控制器，首先設(shè)計了連續(xù)反饋控制器.通過比較連續(xù)時間控制系統(tǒng)和離散時間控制系統(tǒng)的差，得到了離散時間反饋控制器滿足的條件.在此條件基礎(chǔ)上，設(shè)計了基于離散時間觀測的反饋控制器.最后給出了一個算例以說明控制方法.

馬爾科夫切換； 區(qū)間線性系統(tǒng)； 指數(shù)穩(wěn)定； Lyapunov函數(shù)

帶有馬爾科夫切換的隨機微分方程已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)會發(fā)生突變時的隨機系統(tǒng)建模．關(guān)于馬爾科夫切換影響下的隨機系統(tǒng)，文獻[1]建立了其解的存在唯一性及穩(wěn)定性的完善理論，同時其也是帶有馬爾科夫切換系統(tǒng)領(lǐng)域的第一本專著．在文獻[1]中，諸如Lyapunov函數(shù)或者泛函、M -矩陣以及線性矩陣不等式等方法被用于帶有馬爾科夫切換的隨機微分方程或者隨機時滯微分方程的穩(wěn)定性分析．

在實際應(yīng)用中，為了得到具體的系統(tǒng)描述，需要估計系統(tǒng)所涉及的參數(shù)，如線性隨機系統(tǒng)需要估計其中出現(xiàn)的系數(shù)矩陣，由于估計會產(chǎn)生誤差，系統(tǒng)參數(shù)帶有多種形式的不確定性，這導(dǎo)致了不確定隨機系統(tǒng)．關(guān)于不確定隨機系統(tǒng)的研究，流行的方法有Lyapunov函數(shù)法、M矩陣、線性矩陣不等式等．文獻[2-5]先后研究了3種典型的不確定系統(tǒng)：時變結(jié)構(gòu)不確定系統(tǒng)[2-3]、凸多面體不確定系統(tǒng)[4]以及區(qū)間系統(tǒng)[5]．文獻[1]的第3章對帶有馬爾科夫切換的區(qū)間線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了詳盡的分析．

近年來，隨機系統(tǒng)穩(wěn)定化問題得到了廣泛的關(guān)注，利用不同的控制思想設(shè)計了一些有效的控制器與控制方法．文獻[5]利用離散時間反饋控制方法對帶有馬爾科夫切換的隨機系統(tǒng)進行分析，文獻[6]對于不確定線性隨機系統(tǒng)設(shè)計了魯棒反饋穩(wěn)定控制器，文獻[7]設(shè)計了不確定隨機系統(tǒng)幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制器，文獻[8]考慮了時變時滯和非線性擾動影響下的不確定隨機系統(tǒng)的魯棒隨機穩(wěn)定化和H問題．

對于不確定隨機系統(tǒng)的穩(wěn)定化問題，時變結(jié)構(gòu)不確定系統(tǒng)和凸多面體系統(tǒng)得到了較多的關(guān)注[2-4]，而對于區(qū)間系統(tǒng)的穩(wěn)定化問題涉及較少．本文將對區(qū)間線性系統(tǒng)的穩(wěn)定化問題進行分析．從控制器的設(shè)計上看，傳統(tǒng)的控制器設(shè)計方法是基于連續(xù)觀測[7-8]，在漂移項或者擴散項上添加控制使得系統(tǒng)均方指數(shù)穩(wěn)定．文獻[5， 9]先后提出了不同的分析方法，研究了基于離散觀測值的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計方法．本文旨在將基于離散觀測的控制設(shè)計方法應(yīng)用于不穩(wěn)定的區(qū)間線性系統(tǒng)的穩(wěn)定化分析．

1 符號和穩(wěn)定化問題

P(r(t+Δ)=j|r(t)=i)=

考慮帶有馬爾科夫切換的線性區(qū)間系統(tǒng)

dx(t)= [A0(r(t))+ΔA(r(t))]x(t)dt+

[D0(r(t))+ΔD(r(t))]x(t)dB(t)，t≥0

(1)

定義1 稱線性區(qū)間系統(tǒng)(1)為均方指數(shù)穩(wěn)定的，如果存在正數(shù)M>0，γ>0，均有E|x(t)|2≤Me-γt．

定義2 若A是一個矩陣，令‖A‖=max{|Ax|:|x|=1}為向量范數(shù)．

對于區(qū)間系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性判定，文獻[1]提出了一些有效的判斷方法．而對于一個非指數(shù)穩(wěn)定的線性區(qū)間系統(tǒng)，期望在漂移項上添加Rn值的狀態(tài)反饋控制器u(x(t)，r(t)，t)使得控制系統(tǒng)(2)指數(shù)穩(wěn)定.

(2)

上述控制器的設(shè)計基于連續(xù)時間狀態(tài)反饋，需要對狀態(tài)x(t)進行連續(xù)觀察．如果僅對于離散時間0，τ， 2τ， ... 進行觀察會更實用、更經(jīng)濟，其中，τ>0是連續(xù)兩次觀測的時間間隔．本文將討論基于系統(tǒng)離散時間觀測值的控制器設(shè)計，也就是說控制器u具有的形式為u(x[t/τ]τ，r(t)，t)，這里[t/τ]表示t/τ的整數(shù)部分．從而將穩(wěn)定化問題轉(zhuǎn)化為在漂移項添加一個離散時間反饋控制器u(x[t/τ]τ，r(t)，t)，使得控制系統(tǒng)(3)指數(shù)穩(wěn)定．

(3)

這里有兩個問題需要解決：一是如何選擇一個適當(dāng)?shù)摩樱侨绾卧O(shè)計控制器u．為了解決上述問題，本文主要分兩部分進行分析：

(i) 討論不穩(wěn)定輔助系統(tǒng)

ΔDr)y(t)dB(t)

y(0)=x0，r(0)=r0

(4)

的連續(xù)反饋控制器的設(shè)計，即尋找u(y(t)，r(t)，t)使得控制系統(tǒng)均方指數(shù)穩(wěn)定．

(ii) 選取足夠小的τ，使利用上述連續(xù)控制器u產(chǎn)生的離散狀態(tài)反饋控制器u(x[t/τ]τ，r(t)，t)可以使控制系統(tǒng)(3)指數(shù)穩(wěn)定．

本文主要任務(wù)：尋找并證明使得輔助系統(tǒng)(4)均方指數(shù)穩(wěn)定的控制函數(shù)u滿足的條件；尋找τ滿足的條件使得控制系統(tǒng)(3)穩(wěn)定．

2 主要結(jié)論

這里Im是單位矩陣．

假設(shè)給定一個不穩(wěn)定n維線性系統(tǒng)(4)，設(shè)計一個線性反饋控制函數(shù)

u(x(t)，r(t)，t)=E(r(t))x(t)=

F(r(t))G(r(t))x(t)

添加在漂移項上使得控制的系統(tǒng)

(5)

均方指數(shù)穩(wěn)定．為了方便，記E(i)=Ei，E(i)=F(i)G(i)=FiGi．在實際應(yīng)用中F和G有一個是已知的，只需要設(shè)計另外一個．本文僅給出當(dāng)G(r(t))已知時，設(shè)計F(r(t))的情形，這種設(shè)計被稱為狀態(tài)反饋控制器．

定理2．1 假設(shè)對某個常數(shù)γ>0和一系列的Qi∈Rn×nQi=QiT>0，Yi∈Rn×l(i∈S)及正數(shù)σ>0使得‖Qi‖≤σ滿足線性矩陣不等式

(6)

證明：定義函數(shù)

V:Rn×S×R+→R+V(y(t)，r(t)，t)=y(t)TQ(r(t))y(t)

顯然滿足

利用引理2．2和2．3可得

Fi=Qi-1Yi則由條件(6)

-γV(y(t)，i，t)

定理2．1給出了基于連續(xù)觀測的區(qū)間系統(tǒng)穩(wěn)定化控制器的設(shè)計方法．以此線性控制器為基礎(chǔ)，為得到基于離散觀測的控制器設(shè)計，即τ的設(shè)計，需要比較以下兩系統(tǒng)

之間的差異，分別記兩個系統(tǒng)的解為y(t)與x(t)．關(guān)于兩系統(tǒng)的差異,文獻[5]證明了類似結(jié)論，歸為引理2．4．

引理2．4 假設(shè)存在常數(shù)K1，K2，K3對所有的(x，y，i，t)∈Rn×Rn×S×R+滿足

|f(x，i，t)-f(y，i，t)|≤K1|x-y|，

|u(x，i，t)-u(y，i，t)|≤K2|x-y|，

|g(x，i，t)-g(y，i，t)|≤K3|x-y|，

其中

f(0，i，t)=0，u(0，i，t)=0，g(0，i，t)=0，

則兩隨機系統(tǒng)

dx(t)= [f(x(t)，r(t)，t)+u(x([t/τ]τ)，

r(t)，t)]dt+g(x(t)，r(t)，t)dB(t)

dy(t)= [f(y(t)，r(t)，t)+u(y(t)，

r(t)，t)]dt+g(y(t)，r(t)，t)dB(t)

的解

x(t)=x(t；x0，r0， 0)，y(t)=y(t；x0，r0， 0)，

滿足

E|x(t)-y(t)|2≤K(τ)E|x0|2e(2K1+3K2+K32)t，

其中

定理2．2 分別記兩個系統(tǒng)

(7)

(8)

的解為y(t)與x(t)，則E|x(t)-y(t)|2≤K(τ)·E|x0|2e(2a+3b+c2)t．

其中

(9)

證明：對于(x，y，i，t)∈Rn×Rn×S×R+令

u(x，i，t)=Erx(t)，

滿足

|f(x，i，t)-f(y，i，t)|≤a|x-y|，

|u(x，i，t)-u(y，i，t)|≤b|x-y|，

|g(x，i，t)-g(y，i，t)|≤c|x-y|．

由引理2．4可知

E|x(t)-y(t)|2≤K(τ)E|x0|2e(2a+3b+c2)t.

定理2．3 假設(shè)τ*>0是方程

(10)

的唯一根，其中

(11)

任意固定初始數(shù)據(jù)x0，r0， 令tk=kτ，xk=x(kτ)，rk=r(kτ)，k=0， 1， 2， ...

x(t)=x(t；xk，rk，tk)， ?t≥tk，

(12)

(13)

由式(13)可得

(14)

以下證明系統(tǒng)(7)和(8)兩解在某一時刻的差異，從而得到某一時刻系統(tǒng)(8)的解所滿足的性質(zhì)．

E|y(t)|2≤ME|x0|2e-γt，

由式(14)可得

(15)

(16)

而由式(13)可得

e(2a+3b+c2)τ(4M)(2a+3b+c2)/γ

(17)

用式(17)替代式(16)中的相關(guān)部分，并利用式(11)則有

(18)

由式(15)和(18)得到

(19)

存在λ>0使得

進而

這證明

(20)

|e+f+g|2≤3|e|2+3|f|2+3|g|2

得到

再利用式(9)得到

由Gronwall不等式得到

再利用式(20)可得

下面給出一個有用的結(jié)論，利用定理2．3可以找到如下關(guān)于離散觀測控制器的設(shè)計方法．

3 算 例

考慮線性不確定系統(tǒng)

(21)

(a) r(t)

(b) x1(t)

(c) x2(t)

這里設(shè)計一個離散時間狀態(tài)反饋控制器使系統(tǒng)(21)穩(wěn)定．假設(shè)控制系統(tǒng)具有如下形式

(22)

[1]MAOXR，CHENGY．StochasticdifferentialequationswithMarkovianswitching[M]． 2ndEdition．London:ImperialCollegePress， 2006：271-349．

[2]LUCY．AnLMI-basedapproachforrobuststabilizationofuncertainstochasticsystemswithtime-varyingdelays[J]．IEEETransAutomControl， 2003，48(2)：291-296．

[3]WANGC，SHENY．RobustHcontrol for stochastic systems with nonlinearity， uncertain and time-varying delay[J]． Comput Math Appl， 2012，63(5)：985-998．

[4] LI H Y， CHEN B， ZHOU Q， et al． Delay-dependent robust stability for stochastic time-delay systems with polytopic uncertainties[J]． International Journal of Robust and Nonlinear Control， 2008，18(15):1482-1492．

[5] MAO X R． Stabilization of continuous-time hybrid stochastic differential equations by discrete-time feedback control[J]． Automatica， 2013，49(12)：3677-3681．

[6] KHARGONEKAR P P， PETERSEN I R, ZHOU K M． Robust stabilization of uncertain linear systems: Quadratic stabilizability andHcontrol theory[J]． Automatic Control IEEE Transactions on， 1990，35(3):356-361．

[7] UDOM A U． Exponential stabilization of stochastic interval system with time dependent parameters[J]． European Journal of Operational Research， 2012，222(3)：523-528．

[8] XU S Y， LAM J， CHEN T W． RobustH∞control for uncertain discrete stochastic time-delay system[J]． Systems & Control Letters， 2004，51(3/4)：203-215．

[9] MAO X R， LIU W, HU L J． Stabilization of hybrid stochastic differential equations by feedback control on discrete-time state observations[J]． System & Control Letters， 2013，73:88-95．

[10] MAO X R． Stochastic Differential equations and applications[M]． 2nd Edition． UK: Horwood Publishing， 2007：001-190．

[11] 劉金山，吳付科．隨機微分方程導(dǎo)論及應(yīng)用[M]．6版．北京：科學(xué)出版社，2012：17-108．

[12] 龔光魯．隨機微分方程及其應(yīng)用概要[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2008：50-98．

(責(zé)任編輯：徐惠華)

收稿日期：2015-12-09

作者簡介：陳益松(1964—)，男，湖南寧遠人，教授，博士，研究方向為服裝舒適性及光學(xué)三維測量等. E-mail：cys@dhu.edu.cn

文章編號：1671-0444(2017)01-0150-05

Stabilization of Stochastic Interval Linear System with Markovian Switching

ZHAOTingting，YOUSurong

(College of Science， Donghua University， Shanghai 201620， China)

Stabilization of stochastic interval linear system with markovian switching is studied． In order to get a discrete-time feedback controller， firstly， a continuous feedback controller is designed． And then the condition for a discrete-time feedback controller is derived from the difference of continuous and discrete-time feedback controlled system． Based on such condition，the feedback controller based on discrete-time observations can be designed． At last a numerical example is given to vertify our techniques．

Markovain switching； interval linear system； exponential stability； Lyapunov function

2015-11-16

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助項目(16D110906)

趙婷婷(1989—)，女，山東濱州人，碩士研究生，研究方向為隨機微分方程．E-mail：1058216003@qq．com 尤蘇蓉(聯(lián)系人)，男，副教授，E-mail：sryou@dhu．edu．cn

1671-0444(2017)01-0144-06

O 211．63

A