回到概念，讓解題念頭“自然生成”
——從一道幾何難題的思路突破說起

☉江蘇如皋初級中學 秦 怡

回到概念，讓解題念頭“自然生成”
——從一道幾何難題的思路突破說起

☉江蘇如皋初級中學 秦 怡

平面幾何的教學是初中的難點，也是教研熱點和經典教研話題.特別是有不少幾何難題，雖然平常訓練很多，但是仍然有不少學生面對一個稍顯陌生的幾何題，難以獨立獲取證明思路，甚至難以找到解題念頭.本文從一道武漢地區(qū)九年級月考考試題說起，研討幾何難題的思路應該怎樣更加自然生成.

一、從一道幾何難題的思路突破說起

考題1：（2016年12月武漢第六中學月考卷）如圖1，菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分別為線段AB、BC上兩點，且BM=CN，AN、CM所在直線相交于E.

圖1

圖2

（1）填空：∠AEC=________，AE、CE、DE之間的數(shù)量關系_________________；

（2）若M、N分別為線段AB、BC的延長線上兩點，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？試畫圖并證明之.

（3）若菱形邊長為3，M、N分別為線段AB、BC上兩點，連接BE，Q是BE的中點，求AQ的取值范圍.

思路簡述：（1）如圖2，連接AC，可以發(fā)現(xiàn)△ABC、△ACD都是等邊三角形.則問題可轉化為經典的以等邊三角形為背景的全等問題，容易證出∠AEM=60°，于是∠AEC=120°，即∠AEC=∠BAD.

接下來重點處理“AE+CE=DE”.有兩個關鍵點，一是ED平分∠AEC；二是構造輔助線將DE分成兩段，分別對應著AE、CE.

這里我們可從“四點共圓”的角度確認A、D、C、E四點共圓（對角互補的四邊形四個頂點共圓），如圖3.

這樣，弦AD、CD相等，弧AD與弧CD相等，于是所對的圓周角∠AED=∠CED，從而確認∠AED=∠CED=60°.接著如圖4所示分析，構造等邊△AEG，可證△AGD≌△AEC，可得EC=GD，問題獲得突破.

圖3

圖4

另解思考：可以發(fā)現(xiàn)，ED是∠AEC的平分線，我們還可構造圖5這樣的圖形來發(fā)現(xiàn)思路，作DG⊥MC，DH⊥AN，垂足分別為G、H.需要用到∠DAE+∠DCM=180°（四邊形ADCE的對角互補），可證出△ADH≌△CDG，從而有DG=DH，于是可證出ED平分∠AEC.

圖5

圖6

第（2）問，構造圖形之后（如圖6），發(fā)現(xiàn)結論不再成立，但是怎樣的新關系呢？

由△ACN≌△CBM，得∠M=∠N，所以∠MBC=∠CEN，所以∠ABC=∠AEC.又∠ABC+∠BAD=180°，所以∠AEC+∠BAD=180°，在EA上截取EG=CE，則△CEG為等邊三角形，再證△AGC≌△DEC，所以AG=DE，即AE=EG+AG=CE+DE.

現(xiàn)在進入第（3）問的探究，這是一個難題.成功突破需要以下一些關鍵步驟.

關鍵步驟之一：想清楚點E的軌跡是△ACD的外接圓上一段圓?。ㄔ谇皟蓡柕难芯恐校覀冎懒它cA、B、C、E共圓，理由是四邊形ABCE的對角互補）.

關鍵步驟之二：想清楚點Q的軌跡是△ABC的內切圓上一段圓?。ㄈ鐖D7）.

圖7

二、同類題鏈接

考題2：（2014年浙江金華中考題）如圖8，等邊三角形ABC的邊長為6，在AC、BC邊上各取一點E、F，連接AF、BE相交于點P.

（1）若AE=CF，

①求證：AF=BE，并求∠APB的度數(shù)；

②若AE=2，試求AP·AF的值.

（2）若AF=BE，當點E從點A運動到點C時，試求點P經過的路徑長.

思路簡述：第（1）問比較簡單，這里略去思路；第（2）問需要分兩種情況討論，

若AF=BE，有AE=BF或AE=CF兩種情況.

圖8

圖9

圖10

三、解題教學思考

1.“軌跡考題”很流行，值得教師關注.

當前在不少地區(qū)命題的試卷中，都會在把關題的位置設計一道動點軌跡問題，稍簡單軌跡以線段為主，而有些較難的則是圓弧，甚至還有函數(shù)圖像的引入.這類考題一旦“上卷”，“殺傷力”極大，多數(shù)學生只得放棄，少數(shù)學生挑戰(zhàn)失敗的原因往往也是因為對于軌跡圖形的形狀沒有認準，或有些猜想到可能的軌跡形狀，但是因為認識還不深刻，所以求解軌跡圖形的相應長度、最值時出現(xiàn)錯漏.這類問題且不論是否值得、應該出現(xiàn)在考卷中，至少在當下較為流行的現(xiàn)實下，作為教師，應該對這一流行潮保持關注，畢竟這類考題關乎一些優(yōu)秀學生的眼前利益.我們針對這類考題的研究不能止于猜想出答案，或簡單的答案式展示，而應深入開展軌跡考題的思考，洞察問題結構，想清問題的關鍵與可能的拓展與變式.

2.幾何難題重在思路啟發(fā)，引導“回到概念”獲得解題念頭.

幾何難題教學時，首先教師要深刻理解問題結構和可能變式，講評試題時才可能開展必要的思路啟發(fā)，以便能在思路啟發(fā)下，引導學生“回到概念”獲得解題念頭，自主貫通思路，而不是教師把答案或證明語句告知.比如，考題1的難點就是發(fā)現(xiàn)兩個圓，而這兩個圓的念頭源于九年級教材中圓的重要概念，經過不在同一直線上的三個點確定一個圓.而一個特殊三角形（如等邊三角形、直角三角形）的外接圓都是學生應該掌握的，本題出現(xiàn)了等邊三角形，學生可以敏銳地捕捉這個有效信息，發(fā)現(xiàn)“四點共圓”.以下給出我們預設“考題1”第（3）問的PPT截圖（如圖11），意圖是把兩個難點以教師點撥的方式展示，但又要促進學生自主確認，而不是簡單告知，學生自主確認這兩個圓的過程就是對問題本質的深刻理解和解題策略的內化.

圖11

3.重視同類問題的鏈接，促進學生感悟問題結構.

在一較難問題講評之后，如果不能引導學生跟進必要的反思，常常會“入寶山而空返”.這也是上面我們在呈現(xiàn)這道幾何難題的解法之后，又鏈接一道同類考題的原因.正如不少經驗豐富的教師在解題教學時總會自覺定位教學目標：“解一題，會一類，通一片”，讓學生由此及彼，并感悟出同類問題的深層結構，使得學生下次再碰到類似問題時能快速找到切入點，順利貫通思路，提升解題能力的同時，發(fā)展數(shù)學洞察力.

1.陳蓓蓓.例說幾何定理教學的層次——由傅種孫先生數(shù)學教育思想說起［J］.中學數(shù)學（下），2016（12）.

2.朱金祥，劉東升.數(shù)學教學中例題變式的策略——基于教學追問的視角［J］.教育研究與評論（中學教育教學版），2016（9）.

3.王友峰.專業(yè)自主增設內容，回看陳題洞察結構——九年級“探究四點共圓”教學設計與解讀［J］.中學數(shù)學（下），2016（12）.