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    源于教材高于教材,辨識特征眺望遠方
    ——對一份七上期末卷的賞析與思考

    2017-03-11 05:50:08江蘇海安縣城東鎮(zhèn)開發(fā)區(qū)實驗學校劉才云
    中學數(shù)學雜志 2017年4期
    關(guān)鍵詞:考題數(shù)軸虧損

    ☉江蘇海安縣城東鎮(zhèn)開發(fā)區(qū)實驗學校 劉才云

    源于教材高于教材,辨識特征眺望遠方
    ——對一份七上期末卷的賞析與思考

    ☉江蘇海安縣城東鎮(zhèn)開發(fā)區(qū)實驗學校 劉才云

    第一學期期末考試結(jié)束后,我們從各個學科網(wǎng)站、QQ群等自媒體平臺上看到大量的各地期末考試試卷,還有不少大QQ群開展很多研討,這種“民間研討”“草根研討”的自發(fā)研究精神讓人感動,我們看到很多一線教師對命題研究、解題研究的興趣和熱情,確實值得各級教研部門、命題專家深思.本文擬對本地區(qū)(南通市海安縣)七年級期末卷展開賞析,并跟進教學思考,供研討.

    一、考題摘選與賞析

    考題1:(全卷第10題)如圖1所示,由一些點組成形如三角形的圖形,每條“邊”(包括兩個頂點)有n(n>1)個點.

    圖1

    記第1個圖形中總的點數(shù)為S2=3,第2個圖形中總的點數(shù)為S3=6,依次為S4=9,S5=12.

    以下說法錯誤的是().

    A.S7=18B.S11=30

    C.若Sn=60,則n=21D.若Sn+Sn+1=57,則n=11

    思路解析:每條“邊”(包括兩個頂點)有n(n>1)個點,每個圖形總的點數(shù)S=3(n-1).當n=5、7、11時,S=12、18、30.對于前三個選項,如果用死算的方法也可以鑒別它們正確,從而直接選D;但如果從方程角度處理,可以直接解出D中的n=10.

    命題賞析:解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)“S=3(n-1)”,可以對比選項B、D,發(fā)現(xiàn)矛盾.另外,這道題源于教材原型,但增設(shè)了參數(shù)與符號表示,體現(xiàn)數(shù)學的“兩大特征之一”(日本數(shù)學家米山國藏曾指出,數(shù)學的兩大特征就是一步一步向上走、大量具有學科特征的符號表示,可以追求數(shù)學概念或解法表述的簡潔性).這種符號表示方法將會在八年級、九年級有更多運用,特別是高中階段、大學階段的數(shù)學學習還能更加體現(xiàn)出這種符號表示特征.

    考題2:(全卷第17題)某制藥廠制造一批藥品,如用舊工藝,則廢水排量要比環(huán)保限制的最大量還多200噸;如用新工藝,則廢水排量比環(huán)保限制的最大量少100噸.若新、舊工藝的廢水排量之比為2∶5.則新工藝的廢水排量是____噸.

    思路解析:這是由教材例題簡單改編而來,利用一元一次方程可獲解,注意這里只要求填寫新工藝的廢水排量.

    命題賞析:一元一次方程的應(yīng)用在七年級教學中占有相當?shù)谋壤?,但是不少含繁雜信息量的一元一次方程在限時100分鐘的考試中并不是很合適,本地區(qū)在填空題倒數(shù)第二題的位置直接選用一道教材例題,并簡單改編,用心良苦,既引導師生重視教材例題教學,又體現(xiàn)了應(yīng)用題命題背景的一種簡潔追求.

    考題3:(全卷第18題)有一列數(shù),按一定規(guī)律排列成1,-3,9,-27,81,-243,….若其中某三個相鄰數(shù)的和是-1701,則這三個數(shù)中最大的數(shù)是_____.

    思路解析:這是由教材上一道例題改編而來,從符號和絕對值兩方面觀察,可發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的排列規(guī)律:后面的數(shù)是它前面的數(shù)與-3的乘積.如果三個相鄰數(shù)中的第1個記為x,則后兩個數(shù)分別是-3x、9x.可列方程x-3x+ 9x=-1701.解出這三個數(shù)是-243、729、-2187.這三個數(shù)中最大的數(shù)是729.

    命題賞析:考慮到是學期結(jié)束時的考試,這道題只是將教材例題簡單改編了,增設(shè)了判斷三個數(shù)中最大的數(shù),考生需要看清指令解答,而不能只是匆忙落筆算出三個數(shù).源于課本、高于課本,這道填空題給了我們啟示.特別是所選的應(yīng)用題的背景非常適合七年級考生,因為七年級所學內(nèi)容為有理數(shù)與方程,這道改編題較好地關(guān)聯(lián)了這兩章的內(nèi)容.

    考題4:(全卷第24題)關(guān)于x的方程(m-1)xn-3=0是一元一次方程.

    (1)則m、n應(yīng)滿足的條件為:m_____,n_____;

    (2)若該方程的根為整數(shù),求整數(shù)m的值.

    命題賞析:這道題雖是一道陳題改編(只是簡單改編了數(shù)據(jù)),但命題立意很好,一方面,兼顧了一元一次方程的概念、一般式;另一方面,也是照應(yīng)七下的二元一次方程整數(shù)解、有序數(shù)對等數(shù)學概念,同時對八年級學習變量與函數(shù)也會有一定的幫助.

    考題5:(全卷第25題)一商店在某一時間以每件a元(a>0)的價格賣出兩件衣服,其中一件盈利25%,另一件虧損25%.

    (1)當a=60時,分析賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損,或是不盈不虧;

    (2)小安發(fā)現(xiàn):不論a為何值,這樣賣兩件衣服總的都是虧損,請判斷“小安發(fā)現(xiàn)”是否正確,并說明理由.

    思路解析:對于第(1)問,如果用小學階段的算術(shù)解法,也可得出虧損這一結(jié)論,但是我們建議用方程的思路,可設(shè)盈利25%的那件衣服的進價是x元,則x+0.25x= 60,解得x=48.設(shè)虧損25%的那件衣服的進價是y元,則y-0.25y=60,解得y=80.(60+60)-(48+80)=-8.即虧損,總共虧損8元.

    處理第(2)問時,可以延續(xù)“方程思路”.設(shè)盈利25%的那件衣服的進價是x元,則x+0.25x=a,解得x=a;設(shè)虧損25%的那件衣服的進價是y元,則y-0.25y=a,解得y=列式(a+a)所以,“小安發(fā)現(xiàn)”正確.

    命題賞析:這道試題的第(1)問是教材例題(一元一次方程一章最后的“探究“),但第(2)問將問題引向一般,讓學生演算了在一般情形下,這樣做仍然是虧損的.這樣的拓展設(shè)問體現(xiàn)了中學數(shù)學的學段特征:從特殊走向一般.

    考題6:(全卷第26題)如圖2,數(shù)軸上點A、B分別對應(yīng)數(shù)a、b.其中a<0,b>0,且|b|>|a|.

    圖2

    (1)當a=-1、b=5時,線段AB的中點對應(yīng)的數(shù)是____.(直接填結(jié)果)

    (2)若點M對應(yīng)著數(shù)m:

    ①當AM=BM,且m=2時,求2a+2b+18的值;

    ②當AM=2BM時,用含a、b的式子表示m.

    思路解析:第(1)問是送分題,也是安排學生從特例上路.

    對于第(2)①問,AM=2-a,BM=b-2,所以2-a=b-2.所以a+b=4.則2a+2b+18=26.

    第(2)②問有兩種可能情形,情形1:點M在線段AB上時,AM=m-a,BM=b-m,所以,m-a=2(b-m),變形,得m=(a+2b);情形2:點M在射線AB上時,AM=m-a,BM= m-b,所以,m-a=2(m-b),變形,得m=2b-a.

    命題賞析:七上最后一道大題以數(shù)軸為背景的考題不在少數(shù),多數(shù)是以數(shù)軸上兩個甚至更多的動點開展研究,設(shè)計一些運動型問題,本質(zhì)上是相遇問題或追及問題,學生如果在小學時訓練過這類問題,則可視為小學考題,與初中學段關(guān)系不大,特別是與七年級教學內(nèi)容的關(guān)聯(lián)不是很強.而這道把關(guān)題卻較好地綜合了數(shù)軸、數(shù)與形、字母表示數(shù)、點在直線上的位置關(guān)系、含參數(shù)的方程等七上數(shù)學概念.更值得品味的是,這道試題第(2)問研究了“當AM=BM,且m=2時,求a+b的值”這樣一類重要性質(zhì).而熟悉初中循環(huán)教學的同行應(yīng)該知道,我們很容易在八、九年級找到歸屬于這一性質(zhì)的很多所謂較難試題.這里順便鏈接一道九年級二次函數(shù)習題:

    眺望九年級習題:已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),若+bx1=a+bx2,且x1≠x2.求證:x1+x2=2.

    解析:首先解讀出條件帶來的是當自變量分別取x1、x2時二次函數(shù)的值相等,即a+bx1+c=+bx2+c,這樣就可根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性構(gòu)造如下:

    如圖3,直線AB∥x軸,交拋物線y= ax2+bx+c(a≠0)于A、B兩點,交拋物線的對稱軸于M點,根據(jù)對稱性,易知AM= BM,也就是它們的橫坐標之間具有了xA+xB=2xM的關(guān)系.這樣來看,就能快速看清上面的求證題的結(jié)構(gòu),實現(xiàn)證明了.

    圖3

    二、教學導向之思

    1.回歸課本,研究教材,提升解題教學效益.

    從上面摘引的試題可見,這份試卷中的幾處把關(guān)題均源于教材、高于教材,并且呈現(xiàn)豐富多樣的改編策略,有直接引用、改編數(shù)據(jù);有引用背景、拓展追問;有例題選用、探究活動,又有習題與概念的考查.這些都啟發(fā)和引導我們平時的教學要回歸課本,而且示范了教師研究教材上例、習題的視角,為平時教學時改編例、習題帶來了啟發(fā).

    2.站到高處,眺望遠方,給學生打開一扇窗.

    從上面的考題1、考題4、考題5來看,分別呼應(yīng)著學生在“未來”要學習的等比數(shù)列、從特殊到一般的數(shù)學學段特征、平面直角坐標系“中點公式”等后續(xù)數(shù)學知識.這就啟示我們,在起始年級的數(shù)學教學時,不能只是帶領(lǐng)學生在原地“空轉(zhuǎn)”,要通過恰當?shù)牧曨}改編或拓展變式使得優(yōu)秀學生能及時眺望遠方.事實上,這樣“為學生打開一扇窗”的命題導向,對教學上的導向也是積極的,這正啟發(fā)著我們的課堂教學追求:“開放,讓課堂向四面八方打開”(楊九俊語).

    1.周紅娟.開放與放開:概念生成與例題變式的教學追求——從“三角形內(nèi)角和”教學說起[J].中學數(shù)學(下),2016(8).

    2.鄭毓信.善于提問[J].人民教育,2008(19).

    3.鄭毓信.“開放的數(shù)學教學”新探[J].中學數(shù)學月刊,2007(7).

    4.楊九俊.學科育德不只在說教中[J].中國德育,2011(11).

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