高中數(shù)學中的“數(shù)形結(jié)合”

信艾佳

山東省無棣縣第一高級中學

高中數(shù)學中的“數(shù)形結(jié)合”

信艾佳

山東省無棣縣第一高級中學

縱觀近年的高考數(shù)學試卷不難發(fā)現(xiàn)，圍繞“數(shù)形結(jié)合”思想設(shè)置的題目不勝枚舉。因此，為了讓我們更好地掌握這種思想，提高應試解題能力，本文以“數(shù)形結(jié)合”的部分案例為主要研究對象，望能夠為當前處在高三復習階段的廣大同學提供一定的借鑒和啟示。

高中數(shù)學；數(shù)學思想；數(shù)形結(jié)合

一、數(shù)形結(jié)合思想對于學好高中數(shù)學的意義所在

數(shù)形結(jié)合思想不僅對教師設(shè)計課堂教學有重要的引導作用，對于高中生的數(shù)學學習而言，也具有非常重要的指導意義。

首先，數(shù)形結(jié)合思想有助于我們更好地掌握數(shù)學知識，形成系統(tǒng)的模塊。事實上在小學和初中階段，我們就接觸過較為簡單的“數(shù)形結(jié)合”案例，比如植樹問題、簡單的函數(shù)問題等。但是進入高中以后，我們所面對的問題由簡單變得復雜，由單一變得寬泛，需要我們有更為強大的駕馭和統(tǒng)籌能力，將不同模塊的知識囊括在統(tǒng)一的系統(tǒng)當中，將抽象問題具象化、將直觀問題概念化，在不斷參與和體驗問題的過程中加深對數(shù)形結(jié)合思想的理解。

其次，數(shù)形結(jié)合思想能培養(yǎng)我們的抽象思維和形象思維。隨著高中數(shù)學學習的不斷深入，我們的認知結(jié)構(gòu)亦在不斷完善，思維方式也日漸成熟。比如當我們接觸了高中階段的函數(shù)知識之后，只要提到不同的函數(shù)類型，隨即便會聯(lián)想到各種不同類型的解析式及相應的圖像；再比如學習到橢圓、雙曲線時，我們亦會聯(lián)想到相應的圖形、解析式和概念，以及圖形上的焦點和漸進線等。換言之，我們可以通過具體的數(shù)聯(lián)想到相應的圖像、通過形能夠提煉出它的代數(shù)式，實現(xiàn)動與靜的結(jié)合，全面、辯證地看待問題，不斷培養(yǎng)自身的抽象和形象思維。

最后，數(shù)形結(jié)合思想能有效培養(yǎng)我們發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的能力。在日常學習過程中，我們習慣于通過觀察表面現(xiàn)象進而發(fā)掘現(xiàn)象之下的內(nèi)部變化規(guī)律、探究其本質(zhì)的方法；但是“數(shù)”與“形”的結(jié)合，卻能夠有效引導我們發(fā)現(xiàn)數(shù)、圖像以及二者之間關(guān)聯(lián)性等各種規(guī)律，會幫助我們多角度、多層次地考慮問題，用不同的方法解決問題。

二、高中數(shù)學學習中數(shù)形結(jié)合思想的滲透

(一)函數(shù)部分

數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)問題上有廣泛應用，比如函數(shù)的值域和定義域問題，函數(shù)極值問題、零點問題等，其具體的解決方式主要是以形輔數(shù)或以數(shù)輔形。

以這樣一道題目為例：求函數(shù)f(x)=x2-2x-3在區(qū)間[t，t+3]的最大和最小值。

通過分析可知，該函數(shù)圖像的對稱軸為x=1(直線)，而x本身的取值范圍是[t，t+3]，由于函數(shù)取值范圍本身充滿了不確定性，就意味著我們在解題時，要考慮[t，t+3]與x=1之間的關(guān)系，那么這道題目就自然而然會出現(xiàn)三種可能性：

(1)[t，t+3]在x=1的左則，即意味著t+3≤1時，最大值為f(t)，最小值為f(t+3)；

(2)[t，t+3]在x=1的右則，即意味著t≥1時，最大值為f(t+3)，最小值為f(t)；

(3)x=1在[t，t+3]內(nèi)，t≤1≤t+3時，最小值為f(1)，但此時最大值卻被細化為兩種可能：

由此可見，在解決這道題目時，我們將函數(shù)的圖像置于思維當中，隨時考慮可移動區(qū)間與對稱軸之間的關(guān)系，那么解決這道題目過程中產(chǎn)生的障礙自然降低，我們的思路也會更加清晰。

(二)集合部分

在高中數(shù)學教材中，集合是開篇。我們在高中數(shù)學的開始階段，掌握了集合的定義、性質(zhì)和表示方法，懂得了與集合相關(guān)的重要概念，如交集、并集、子集和補集等。而在綜合性的集合題目中，利用數(shù)形結(jié)合思想來解決問題無疑是難點和重點。

綜合兩種可能性，a的取值范圍為1≤a≤3，且a≠2。

(三)綜合應用

數(shù)形結(jié)合思想除了在上述函數(shù)和集合學習中有著廣泛應用外，在“數(shù)與形”交叉領(lǐng)域也有著廣泛滲透。具體來講，在進行數(shù)學知識學習和數(shù)學問題解決時，當遇到相對復雜的知識和問題時，數(shù)形結(jié)合思想的有效運用，能夠快速找到突破口，提高問題解決效率。例如，當遇到“如果未知數(shù)x和y都是正數(shù)，并滿足x2-y2=1的條件，那么請問y/x-2具體取值范圍是多少？”此時，如實學會幾何意義和代數(shù)意義的交叉應用，就能夠迅速和高效地解決問題。我們在遇到上述問題時，許多同學會想到不同的解決方法，但“單刀直入”地進行解題會造成解題步驟的復雜化，帶來許多不必要的麻煩，不僅降低了解題效率，而且降低了解題精準度。因此，在遇到這類綜合性數(shù)學問題時，我們應該更多地思考如何利用數(shù)學結(jié)合方法進行解決，將代數(shù)知識轉(zhuǎn)化為幾何知識找到突破口，然后在具體運算中再次將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)計算，這樣就能夠快速和精準地找到最終答案。

三、結(jié)論

總而言之，數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學學習階段有著十分重要的意義，同時其也是近年來高考數(shù)學試卷當中對學生數(shù)學知識考查最為常見的內(nèi)容之一。為了不斷培養(yǎng)和加強我們對于數(shù)形結(jié)合思想的認知，能夠在面對一道具體的題目時快速切入、找到重點，我們不僅要加強練習、懂得積累，更重要的是要學會收集數(shù)學模型，提高自己對于數(shù)學問題解構(gòu)、分析的能力。

[1]孔令偉.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學教學與解題中的應用[D].遼寧師范大學，2012：12-20.

[2]張艷.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學教學中的應用研究[J].中國校外教育，2016(31)：55+57.

[3]劉桂玲.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學教學中的應用分析[J].中國校外教育，2015(13)：106.