“隱形圓”問題帶來的思考
——從高三一輪復(fù)習(xí)“直線與圓的綜合問題”教學(xué)案例說起

張翼飛

（江蘇省南京市第九中學(xué)，江蘇南京 210018）

引 言

解析幾何是一種借助于解析式進(jìn)行圖形研究的幾何學(xué)分支，各地高考對平面解析幾何也是青睞有加。受到傳統(tǒng)試題的影響，學(xué)生常常認(rèn)為平面解析幾何就是幾何問題代數(shù)化，更多地將“形”單向變成“數(shù)”，一味依靠函數(shù)方程運(yùn)算。江蘇省2013年高考第17題和2016年第18題兩次“變數(shù)于形”，引領(lǐng)教師們在教學(xué)中也逐漸關(guān)注這一個(gè)方面，尋找“數(shù)”背后的“隱形”圖形。

一、課前小練

一輪復(fù)習(xí)中，筆者以“直線與圓的綜合問題”為題，帶領(lǐng)學(xué)生對此類問題進(jìn)行了深入的研究。

（投影）課前小練：

(3)如果圓(x-a)2＋(y-a+2)2＝1上恰有兩個(gè)點(diǎn)在圓x2+(y-1)2＝4上，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

學(xué)生利用課前五分鐘先行完成，并反饋答案。

師：我們順便回顧一下：直線和圓有哪些位置關(guān)系呢？圓與圓呢？

生：直線和圓有相離、相切、相交；圓與圓有外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含。

師：如何判斷它們的位置關(guān)系呢？

生：可以用幾何法，直線與圓比較d和r，圓與圓比較圓心距和兩個(gè)半徑的關(guān)系；也可以用解析法聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式判斷解的個(gè)數(shù)。

【點(diǎn)睛】三道小題難度都不大，設(shè)計(jì)上關(guān)注到直線與圓和圓與圓兩類問題，目的是讓學(xué)生易于上手，快速進(jìn)入狀態(tài)。除此以外更為重要的是這三道題為后面的例題與變式的設(shè)計(jì)埋下了伏筆。

師：說得很好，那么下面這一道變式又如何解決呢？

變式：如果圓(x-a)2+(y-a+2)2＝1上恰有兩個(gè)點(diǎn)到（0，1）的距離為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

師：什么叫“恰有兩個(gè)點(diǎn)到（0，1）的距離為2”呢？

生：到（0，1）的距離為2的點(diǎn)都在圓x2+（y-1）2＝4上，所以就是說前一個(gè)圓有兩個(gè)點(diǎn)在后一個(gè)圓上。

師：什么是“前一個(gè)圓有兩個(gè)點(diǎn)在后一個(gè)圓上”？

生：就是兩圓相交。

隨即學(xué)生發(fā)現(xiàn)這就是剛才的第三題。

【點(diǎn)睛】這個(gè)問題設(shè)計(jì)得很簡單，“隱藏”圓的手法也很低級，即借助了圓的定義。這個(gè)問題的設(shè)置承上啟下，為本堂課主要的教學(xué)意圖拉開了大幕。

二、投影題

我們接觸的大部分問題都不會(huì)像課前小練一樣那么“直白”。下面我們一起看投影。

師：那么你看到了什么？

生：我看到了一個(gè)圓，阿波羅尼斯圓。

師：（故作不明白地問）什么是阿波羅尼斯圓？這里的哪個(gè)圓是阿波羅尼斯圓呢？

生：到平面上兩點(diǎn)A、B距離之比為定值k的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，稱為阿波羅尼斯圓，其中k>0且k≠1，x2＋y2＝4就是求出來的阿波羅尼斯圓。

師：很準(zhǔn)確！那么什么叫直線上存在點(diǎn)符合圓呢？

生：就是直線和圓有交點(diǎn)！

【點(diǎn)睛】從數(shù)中探尋形的存在，并且借助形的性質(zhì)進(jìn)行解題是本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。筆者選擇其作為例1是因?yàn)榘⒉_尼斯圓是學(xué)生相對熟悉的內(nèi)容，學(xué)生易于想到它的背后“隱藏”著圓，比較自然地“從數(shù)至形”，打開思維的突破口。

師：下面請大家完成兩個(gè)變式。

變式1 已知點(diǎn)A(2，3)，點(diǎn)B(6，-3)，點(diǎn)P在直線3x-4y+3＝0上，若滿足等式的點(diǎn)P有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是______.

變式2 已知圓C：(x-a)2+(y-a+2)2=1，點(diǎn)A(0，2)，若圓C上存在點(diǎn)M，滿足MA2+MO2=10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

（五分鐘后）

師：談一談變式1你是如何思考的？

師：它一定是個(gè)圓嗎？

生：（片刻思考）如果不是圓，上面就不可能有兩個(gè)點(diǎn)滿足條件了。所以13-2λ>0，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)，所以圓和圓相交，借助圓心距和半徑的關(guān)系就可以了。我算出來λ<2.

師：考慮得很周全，而且發(fā)現(xiàn)了關(guān)系式背后的“形”——是個(gè)圓。那變式2呢，你看到了什么？

生：我也看到了一個(gè)圓。設(shè) M（x，y），由MA2+MO2=10，可得x2+y2-2y-3=0，它就是一個(gè)圓，即x2+(y-1)2=4，M存在于兩個(gè)圓上，就是說兩個(gè)圓有公共點(diǎn)，下面就類似課前小練的第三題了。

【點(diǎn)睛】兩道題的設(shè)計(jì)涵蓋了直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系，在例1的影響下，學(xué)生能夠自然地進(jìn)行數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，在實(shí)踐中提升了學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力。另外兩題均借助了課前小練后兩道題的數(shù)據(jù)，把學(xué)生從繁雜的計(jì)算中解脫出來，重點(diǎn)突出思維能力的培養(yǎng)，提升了課堂效率。

師：解析幾何的解決過程就是將幾何代數(shù)化的過程，但在這過程中所衍生出的關(guān)系式背后也都有一個(gè)“形”的存在，有些“形”我們很熟悉，比如剛才三道題中都不約而同地指向“圓”，那么我們借助圖形性質(zhì)就很易于解決問題，這些圓隱藏在關(guān)系中，我們就是要去發(fā)現(xiàn)它、運(yùn)用好它[1]！下面請看例2。

（約十分鐘后）

師：前面的例題中存在一個(gè)點(diǎn)，我們對一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行題設(shè)；本題存在兩個(gè)點(diǎn)P和Q，我們來看看這位同學(xué)是怎么處理的？（投影一位同學(xué)的步驟）

生：我 設(shè) P(x1，y1)，Q(x2，y2),因 為 A(2，4),T（t，0），，所以

結(jié) 語

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是研究對象與對象間的關(guān)系，有時(shí)候?qū)ο蠛苊黠@，但更多的時(shí)候研究對象是被各類關(guān)系“隱藏”起來的。這節(jié)課是讓學(xué)生感受解析幾何的本質(zhì)——“形”與“數(shù)”之間的雙向轉(zhuǎn)化，從而促進(jìn)學(xué)生對解析幾何更深入的理解。作為一節(jié)高三一輪復(fù)習(xí)的常態(tài)課，我們不可能在課堂上帶領(lǐng)學(xué)生閱遍所有類型的問題。然而只要抓住教學(xué)目標(biāo)的本質(zhì)，讓學(xué)生充分體驗(yàn)和感受，課堂的有效性便已“潤物細(xì)無聲”了。

[1]張亞東.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)案例點(diǎn)睛[M].上海:上海教育出版社,2017:256.