基于聲輻射模態(tài)的聲場(chǎng)重建中的測(cè)點(diǎn)優(yōu)化方法

蘇俊博, 朱海潮, 毛榮富, 郭 亮, 蘇常偉

(海軍工程大學(xué) 船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢 430033)

基于聲輻射模態(tài)的聲場(chǎng)重建中的測(cè)點(diǎn)優(yōu)化方法

蘇俊博, 朱海潮, 毛榮富, 郭 亮, 蘇常偉

(海軍工程大學(xué) 船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢 430033)

少測(cè)點(diǎn)條件下，利用聲輻射模態(tài)理論重建聲場(chǎng)時(shí)，測(cè)點(diǎn)布置方式是決定聲場(chǎng)重建精度的一個(gè)關(guān)鍵因素。為求得最佳測(cè)點(diǎn)布置方式，提出了一種基于聲輻射模態(tài)的最優(yōu)測(cè)點(diǎn)選擇方法，即基于聲輻射模態(tài)矩陣的奇異值分解，采用循環(huán)迭代的方式，逐次去除對(duì)其最小奇異值最敏感的測(cè)點(diǎn)，從而得到了一組使重建方程條件數(shù)最小的測(cè)點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，利用文中提出的最優(yōu)測(cè)點(diǎn)選擇方法布置測(cè)點(diǎn)，能夠?qū)β晥?chǎng)進(jìn)行有效的重建，重建效果優(yōu)于均勻布置方式，顯著提高了聲場(chǎng)重建精度。

聲輻射模態(tài);聲場(chǎng)重建;測(cè)點(diǎn)優(yōu)化

近場(chǎng)聲全息技術(shù)自20世紀(jì)80年代由MAYNARD等[1]提出后，許多學(xué)者進(jìn)行了研究，目前已經(jīng)在噪聲源識(shí)別與定位、聲場(chǎng)可視化等方面取得了良好的效果。但近場(chǎng)聲全息技術(shù)要求在全息面上布置大量測(cè)點(diǎn)，特別是應(yīng)用于大型結(jié)構(gòu)時(shí)，這限制了近場(chǎng)聲全息技術(shù)在工程實(shí)際中的應(yīng)用。因此如何減少測(cè)點(diǎn)數(shù)目是一個(gè)需要解決的重要問題。HELS(Helmholtz Equation-Least Squares)方法[2-4]是一種所需測(cè)點(diǎn)數(shù)目遠(yuǎn)少于近場(chǎng)聲全息技術(shù)的聲場(chǎng)重建方法，其原理是是將輻射聲場(chǎng)表示為Helmholtz方程一組特解的線性組合，利用聲場(chǎng)測(cè)量數(shù)據(jù)基于最小二乘法求解組合系數(shù)，然后再求解聲場(chǎng)中的場(chǎng)點(diǎn)聲壓。HELS方法對(duì)類似球形聲源的聲場(chǎng)能夠?qū)崿F(xiàn)較為精確的重建，但對(duì)長(zhǎng)寬比較大的結(jié)構(gòu)聲源聲場(chǎng)難以進(jìn)行有效的重建。聲輻射模態(tài)理論的提出為解決少測(cè)點(diǎn)條件下任意結(jié)構(gòu)聲源的聲場(chǎng)重建問題提供了新的途徑[5-6]。

聲輻射模態(tài)理論是BORGIOTTI等[7-8]學(xué)者在九十年代初提出，目前已在結(jié)構(gòu)聲輻射主動(dòng)控制以及輻射聲功率的計(jì)算方面取得了許多成果[9-13]。聲輻射模態(tài)就是輻射體表面一種可能的輻射形式，任何表面法向速度或聲壓都可通過這些聲輻射模態(tài)的線性組合來表示，利用聲輻射模態(tài)進(jìn)行聲場(chǎng)重建的整個(gè)過程可分為求解模態(tài)展開系數(shù)，聲場(chǎng)聲壓求解兩個(gè)步驟。由此可見，聲輻射模態(tài)理論與HELS方法具有相似性，但是由于聲輻射模態(tài)中包含了結(jié)構(gòu)表面的幾何形狀信息，因此聲輻射模態(tài)理論適用于任意結(jié)構(gòu)輻射聲場(chǎng)的重建。而在少測(cè)點(diǎn)條件下利用聲輻射模態(tài)進(jìn)行聲場(chǎng)重建時(shí)，測(cè)點(diǎn)布置方式是一個(gè)決定聲場(chǎng)重建精度的關(guān)鍵問題，如果測(cè)點(diǎn)的位置分布不當(dāng)會(huì)使各測(cè)點(diǎn)之間有較強(qiáng)的相關(guān)性，在測(cè)點(diǎn)較少的情況下就無法采集到足夠的有效數(shù)據(jù)，從而使求解精度降低。此外，在已知測(cè)點(diǎn)布置方式的情況下，聲輻射模態(tài)階數(shù)的選擇也對(duì)求解精度具有重要影響，這是由于利用已知測(cè)點(diǎn)求解模態(tài)展開系數(shù)是一個(gè)數(shù)學(xué)上的逆問題，模態(tài)階數(shù)過少不足以表示，模態(tài)階數(shù)過多又會(huì)使受到噪聲污染的高階模態(tài)參與到求解過程中，從而使求解精度降低。

宋艷華等[14]研究了利用聲輻射模態(tài)進(jìn)行聲源識(shí)別時(shí)測(cè)點(diǎn)位置對(duì)識(shí)別效果的影響，并得出結(jié)論：測(cè)點(diǎn)位置分布不均勻時(shí)，識(shí)別效果較好。但沒有對(duì)測(cè)點(diǎn)分布方式作進(jìn)一步研究。KAMMER[15]提出了一種有效獨(dú)立方法(Effective Independence Method, EFI)。KIM[16]將該方法用于基于邊界元方法的聲場(chǎng)重建中，在聲場(chǎng)中選取了一組線性獨(dú)立的測(cè)點(diǎn)，但該方法的局限性在于選取的測(cè)點(diǎn)數(shù)量不能少于結(jié)構(gòu)表面離散的單元數(shù)。針對(duì)EFI方法的這一局限性，ZHANG[17]提出了一種基于奇異值分解的循環(huán)迭代方法。為解決利用聲輻射模態(tài)重建聲場(chǎng)時(shí)所面臨的測(cè)點(diǎn)布置問題，本文提出了一種基于聲輻射模態(tài)的最優(yōu)測(cè)點(diǎn)選擇方法。針對(duì)聲輻射模態(tài)階數(shù)選取問題，將一種基于測(cè)量的迭代方法[18]引入到重建過程中，確定了重建過程中所需選取的聲輻射模態(tài)階數(shù)。文章最后開展了雙層圓柱殼體實(shí)驗(yàn)研究，通過與測(cè)點(diǎn)均勻布置方式下聲場(chǎng)重建效果的比較，驗(yàn)證了本文提出的基于聲輻射模態(tài)的最優(yōu)測(cè)點(diǎn)選擇方法的有效性。

1 基于聲輻射模態(tài)的聲場(chǎng)重建理論

將輻射體表面離散成一系列等面積的輻射單元，由文獻(xiàn)[7]可知，輻射聲功率可表示為

(1)

R=ΦΛΦH

(2)

式中：Φ為N×N維矩陣，Φ的列向量φi(i=1,2,…,N)即為輻射體的聲輻射模態(tài)向量。

在得到了輻射體的聲輻射模態(tài)以后，輻射體表面的速度向量可表示成如下形式

v=Φc

(3)

式中:c為輻射模態(tài)展開系數(shù)。假設(shè)將輻射體表面離散成N個(gè)輻射單元，并計(jì)算得到了N階聲輻射模態(tài)，由于式(3)具有良好的收斂性[14]，表面速度可用截?cái)嗟穆曒椛淠B(tài)表示為

v≈Φ(N×N1)c(N1×1)

(4)

式中:矩陣Φ(N×N1)表示只取了前N1階聲輻射模態(tài)，當(dāng)輻射體表面速度向量中有N2個(gè)元素是已知的，可以得到由這N2個(gè)元素組成的方程組

v′=Φ′(N2×N1)c(N1×1)

(5)

由式(4)和式(5)可以求得表面速度向量

(6)

利用聲輻射模態(tài)由少量測(cè)點(diǎn)聲壓值重建輻射體表面聲壓具有相同的過程。在得到了輻射體表面的聲壓或振速值后，就可利用邊界元等方法方便地計(jì)算出整個(gè)聲場(chǎng)分布。

2 最優(yōu)測(cè)點(diǎn)選擇方法

針對(duì)測(cè)點(diǎn)選擇問題，文獻(xiàn)[17]用一種基于奇異值分解的循環(huán)迭代方法，基于使輻射體表面離散點(diǎn)與聲場(chǎng)中測(cè)點(diǎn)之間的傳遞函數(shù)矩陣條件數(shù)最小的準(zhǔn)則，求得了聲場(chǎng)中的一組測(cè)點(diǎn)。本文將其思想應(yīng)用于基于聲輻射模態(tài)的聲場(chǎng)重建中，提出一種基于聲輻射模態(tài)的最優(yōu)測(cè)點(diǎn)選擇方法。假定輻射體表面候選測(cè)點(diǎn)數(shù)量為N，從這N個(gè)候選測(cè)點(diǎn)中選取N2個(gè)作為實(shí)際布置傳感器的位置。

假設(shè)輻射體表面聲壓向量為p0(N×1)，可用聲輻射模態(tài)表示為

p0(N×1)=Φ(N×N)c(N×1)

(7)

對(duì)Φ(N×N)進(jìn)行奇異值分解

Φ(N×N)=USVH

(8)

式中：S為奇異值矩陣，S對(duì)角線元素為聲輻射模態(tài)矩陣Φ(N×N)的奇異值。利用式(7)、式(8)求得的模態(tài)展開系數(shù)重建輻射體表面聲壓pr(N×1)

pr(N×1)=Φ(N×N)c(N×1)=ΦΦ+p0=

USVHVS+UHp0(N×1)=USS+UHp0(N×1)

(9)

將找到的對(duì)最小奇異值最敏感的測(cè)點(diǎn)從p0(N×1)中去除，并將模態(tài)矩陣Φ(N×N)中與該測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的行去除，并此時(shí)式(7)變?yōu)?/p>

p0[(N-1)×1)]=Φ[(N-1)×N)c(N×1)

(10)

利用式(10)求解模態(tài)展開系數(shù)時(shí)，式(10)為一欠定方程，為使方程有解，去除模態(tài)矩陣Φ[(N-1)×N]中的最高階模態(tài)向量，也即模態(tài)矩陣的最后一列，得到新的模態(tài)矩陣Φ1[(N-1)×(N-1)]，則式(10)變?yōu)?/p>

p01[(N-1)×1]=Φ1[(N-1)×(N-1)]c1[(N-1)×1]

(11)

然后以式(11)代替式(7)。至此，由式(7)得到式(11)并以式(11)代替式(7)的過程完成了一次循環(huán)迭代，以相同過程迭代N-N2+1次，得到如下方程

p0(N-N2)(N2×1)=Φ(N-N2)(N2×N2)c(N-N2)(N2×1)

(12)

則p0(N-N2)(N2×1)就是我們需要的N2個(gè)測(cè)點(diǎn)，式(12)即為由此N2個(gè)測(cè)點(diǎn)組成的重建方程。

由以上推導(dǎo)過程可知，該方法是基于模態(tài)矩陣的奇異值分解，采用了一種循環(huán)迭代的方式，逐次去除對(duì)最小奇異值最敏感的測(cè)點(diǎn)，直至達(dá)到要求的測(cè)點(diǎn)數(shù)目。經(jīng)過此循環(huán)迭代過程直接得到了求解模態(tài)展開系數(shù)的方程，確保了重建方程系數(shù)矩陣的條件數(shù)最小。整個(gè)測(cè)點(diǎn)選擇流程如圖1所示。

上述介紹的最優(yōu)測(cè)點(diǎn)選擇方法同樣適用于對(duì)某一頻段范圍內(nèi)的噪聲進(jìn)行分析，僅需要在每一次的循環(huán)迭代過程中增加一個(gè)對(duì)角線元素求和的步驟，具體方法如下：根據(jù)式(9)可知，在每一次的循環(huán)迭代過程中，均有下式出現(xiàn)：

pr=Φc=ΦΦ+p0=

USVHVS+UHp0=USS+UHp0

(13)

式(13)是由表面聲壓重建表面聲壓，因此矩陣T=USS+UH為單位矩陣，T的對(duì)角線元素與輻射體表面離散測(cè)點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。為得到對(duì)最小奇異值最為敏感的測(cè)點(diǎn)，只需將最小奇異值置零。假設(shè)分析的對(duì)象為某個(gè)頻段范圍內(nèi)的噪聲，則在此頻段內(nèi)均勻選取一組離散的頻率點(diǎn)f1,f2, …fn，根據(jù)本文的最優(yōu)測(cè)點(diǎn)選擇方法得到一組矩陣T1,T2, …Tn，將每個(gè)矩陣的對(duì)應(yīng)的S和S+中的最小奇異值置零，并將對(duì)應(yīng)位置的對(duì)角線元素相加，得到一組新的對(duì)角線元素，則將這組新的對(duì)角線元素的最小值所對(duì)應(yīng)的測(cè)點(diǎn)確定為此次迭代過程所要去除的測(cè)點(diǎn)。

圖1 最優(yōu)測(cè)點(diǎn)選擇流程圖Fig.1 The process ofdetermining the optimum measurement points

3 實(shí)驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證本文提出的最優(yōu)測(cè)點(diǎn)選擇方法的有效性，在消聲水池中進(jìn)行了雙層圓柱殼體實(shí)驗(yàn)。雙層圓柱殼體高度為2 m，半徑0.5 m，內(nèi)殼厚度0.008 m，外殼厚度0.002 m，近場(chǎng)水聽器陣列布置固定于旋轉(zhuǎn)裝置上，通過旋轉(zhuǎn)近場(chǎng)水聽器陣列達(dá)到測(cè)量四周近場(chǎng)水聲的目的，近場(chǎng)水聽器線陣由11個(gè)水聽器組成，水聽器間距0.22 m，線陣貼近外殼表面，距離外殼表面0.14 m，圓柱殼體內(nèi)部裝有激振器，采用頻率為168 Hz的單頻信號(hào)對(duì)圓柱殼體進(jìn)行激勵(lì)。圖2為實(shí)驗(yàn)裝置簡(jiǎn)圖，圖3為實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)圖。

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig.2 The sketch of experimental device

圖3 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)Fig.3 The scene of experiment

當(dāng)近場(chǎng)水聽器陣列以20°為步進(jìn)角度旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，在圓柱全息面測(cè)得198個(gè)測(cè)點(diǎn)聲壓值，取其中66個(gè)點(diǎn)對(duì)這198測(cè)點(diǎn)進(jìn)行重建，用本文提出的最優(yōu)測(cè)點(diǎn)選擇方法求得這66個(gè)測(cè)點(diǎn)的最優(yōu)分布方式，為便于觀察測(cè)點(diǎn)的分布情況，將圓柱面沿圓周方向展開成平面形式，如圖4所示。

選取168 Hz為分析頻率，當(dāng)激振器工作時(shí)測(cè)得圓柱全息面聲壓幅值如圖5所示。根據(jù)本文采用的最佳聲輻射模態(tài)階數(shù)選取方法，另外增加一組測(cè)點(diǎn)，根據(jù)圓柱的形狀特點(diǎn)，另外增加的測(cè)點(diǎn)可選中間的一行和一列，其示意圖如圖6所示。正則化方法對(duì)于逆問題的求解具有非常重要的作用，本文在對(duì)圓柱全息面聲壓值進(jìn)行重建時(shí)均采用了Tikhonov正則化方法。

圖4 最優(yōu)測(cè)點(diǎn)分布圖Fig.4 The optimum distribution of measurement points

圖5 圓柱全息面聲壓測(cè)量值Fig.5 Measurement value of the pressure on cylindrical holographic surface

圖6 增加測(cè)點(diǎn)示意圖Fig.6 The sketch of the increased measurement points

重建中選取的聲輻射模態(tài)階數(shù)與增加測(cè)點(diǎn)的重建誤差之間的關(guān)系如圖7(a)所示，選取階數(shù)與所有測(cè)點(diǎn)的重建誤差之間的關(guān)系如圖7(b)所示。從圖7(a)與圖7(b)可觀察到二者具有相同的變化趨勢(shì)，重建誤差隨著選取的輻射模態(tài)階數(shù)的增加先減小后增大，圖7(a)在28階處重建誤差取得最小值14.57%，圖7(b)在29階處重建誤差取得最小值13.01%，這說明將這種基于測(cè)量的迭代方法引入到基于聲輻射模態(tài)的聲場(chǎng)重建中來確定聲輻射模態(tài)階數(shù)是有效的。此處確定的重建階數(shù)為28，其重建誤差為13.2%，重建效果如圖8所示。

(a) 增加測(cè)點(diǎn) (b)所有測(cè)點(diǎn)圖7 階數(shù)選取與重建誤差關(guān)系Fig.7 Relationship between number of modes and reconstruction error

圖8 圓柱全息面聲壓重建值Fig.8 Reconstruction value of the pressure on cylindrical holographic surface

為驗(yàn)證本文中最優(yōu)測(cè)點(diǎn)選擇方法的有效性，在其他條件不變的情況下，采取下面兩種均勻布置的方式來重建圓柱全息面聲壓值，布置測(cè)點(diǎn)數(shù)目仍為66，其布置方式如圖9、圖10所示。

圖9 均勻布置方式1Fig.9 The firsteven arrangement

圖10 均勻布置方式2Fig.10 The second even arrangement

兩種布置方式條件下選取的階數(shù)與所有測(cè)點(diǎn)的重建誤差之間的關(guān)系如圖11所示，從圖11中可知，均勻布置方式1條件下，重建誤差在46階處取得最小值64.32%，均勻布置方式2條件下，重建誤差在34階處取得最小值23.22%，重建效果如圖12所示。三種布置方式下圓柱全息面聲壓值重建誤差如表1所示。由圖11、12及表1可以看出，測(cè)點(diǎn)分布方式對(duì)最終的重建結(jié)果具有非常重要的影響，當(dāng)測(cè)點(diǎn)按均勻布置方式1布置時(shí)，重建誤差達(dá)到64.32%，重建已經(jīng)失效；當(dāng)測(cè)點(diǎn)按本文提出的方法進(jìn)行布置時(shí)，重建誤差僅為13.20%，優(yōu)于另外兩種均勻布置方式。對(duì)比結(jié)果表明，利用本文提出的最優(yōu)測(cè)點(diǎn)選擇方法布置測(cè)點(diǎn)，能夠?qū)?fù)雜結(jié)構(gòu)聲場(chǎng)進(jìn)行有效的重建，提高了聲場(chǎng)重建精度。

(a) 均勻布置方式1 (b) 均勻布置方式2圖11 階數(shù)選取與重建誤差關(guān)系Fig.11 Relationship between number of modes and reconstruction error

(a) 均勻布置方式1 (b) 均勻布置方式2圖12 圓柱全息面聲壓重建值Fig.12 Reconstruction value of the pressure on cylindrical holographic surface

最優(yōu)布置方式均勻布置方式1均勻布置方式213．20%64．32%23．22%

上述過程利用全息測(cè)量面部分測(cè)點(diǎn)聲壓值重建了圓柱全息面所有測(cè)點(diǎn)的聲壓值，重建誤差在工程實(shí)際可接受范圍內(nèi)，取得了較為理想的效果。求得圓柱全息面聲壓值后進(jìn)而可以求解出聲場(chǎng)中任意一點(diǎn)的聲壓值，此計(jì)算過程本文不再敘述。

4 結(jié) 論

研究結(jié)果表明，利用聲輻射模態(tài)理論由輻射體表面少量測(cè)點(diǎn)重建聲場(chǎng)時(shí)，測(cè)點(diǎn)布置方式是決定聲場(chǎng)重建精度的一個(gè)關(guān)鍵因素?；谥亟ǚ匠虠l件數(shù)最小準(zhǔn)則，本文提出了一種基于聲輻射模態(tài)的最優(yōu)測(cè)點(diǎn)選擇方法，利用該方法布置測(cè)點(diǎn)，能夠?qū)β晥?chǎng)進(jìn)行有效的重建，重建效果優(yōu)于均勻布置方式，聲場(chǎng)重建精度明顯提高，并為實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

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Optimization of measurement points in reconstruction of acoustic fieldbased on acoustic radiation modes

SU Junbo, ZHU Haihao, MAO Rongfu, GUO Liang, SU Changwei

(National Key Laboratory on Ship Vibration & Noise, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

For an acoustic field reconstruction using the acoustic radiation mode theory, the distribution of measurement points is a key factor, especially, when the number of measurement points is small. In order to determine the optimal arrangement of measurement points, a method based on acoustic radiation modes was proposed. A loop iteration process was adopted in this proposed method. Singular value decomposition (SVD) of the matrix of acoustic radiation modes was employed in each loop iteration, and the measurement point that was the most sensitive to the minimum singular value was removed. Finally, those points that minimize the condition number of reconstruction equations were obtained. Furthermore, compared with the situation when measurement points distribute evenly, the test results showed that the acoustic field of sound sources can be reconstructed effectively and the precision of reconstruction is much better when measurement points distribute according to their optimal arrangement obtained with the proposed method.

acoustic radiation modes; acoustic field reconstruction; optimal arrangement of measurement points

國(guó)家自然科學(xué)基金(51305452)

2015-09-28 修改稿收到日期：2016-01-14

蘇俊博 男，博士生，1985年生

朱海潮 男，教授，博士生導(dǎo)師，1963年生

O423;O429

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.03.023