基于奇異值分解的摩擦振動(dòng)吸引子特征參數(shù)提取方法

柳 霆， 李國(guó)賓， 魏海軍， 穆 雪， 邢鵬飛

(1.大連海事大學(xué) 輪機(jī)工程學(xué)院，大連 116026； 2.上海海事大學(xué) 商船學(xué)院，上海 200135；3.大連中遠(yuǎn)國(guó)際貨運(yùn)有限公司，大連 116001)

基于奇異值分解的摩擦振動(dòng)吸引子特征參數(shù)提取方法

柳 霆1， 李國(guó)賓1， 魏海軍2， 穆 雪3， 邢鵬飛1

(1.大連海事大學(xué) 輪機(jī)工程學(xué)院，大連 116026； 2.上海海事大學(xué) 商船學(xué)院，上海 200135；3.大連中遠(yuǎn)國(guó)際貨運(yùn)有限公司，大連 116001)

為定量研究摩擦副磨損過(guò)程中摩擦振動(dòng)吸引子的變化，根據(jù)相空間重構(gòu)理論，應(yīng)用C-C法重構(gòu)摩擦振動(dòng)吸引子相空間矩陣，對(duì)相空間矩陣進(jìn)行奇異值分解，通過(guò)奇異值構(gòu)建矩陣奇異值特征向量，定義其特征參數(shù)為摩擦振動(dòng)吸引子特征參數(shù)K，并分析特征參數(shù)K在摩擦副磨合磨損過(guò)程中的變化規(guī)律。結(jié)果表明：磨合開(kāi)始，摩擦振動(dòng)能量較低，吸引子體積較小，K值亦較小，為9.36；隨磨合進(jìn)行，摩擦振動(dòng)能量逐漸增加，吸引子體積逐漸增大，K值亦逐漸增大；43 min后，摩擦振動(dòng)能量保持平穩(wěn)，吸引子體積趨于穩(wěn)定，K值在24.72附近平穩(wěn)波動(dòng)。因此，摩擦振動(dòng)吸引子參數(shù)K可用于定量分析磨合過(guò)程中摩擦振動(dòng)能量的變化；K與摩擦因數(shù)對(duì)磨損階段的判斷一致，進(jìn)而可用于磨損狀態(tài)的識(shí)別。

摩擦振動(dòng)；奇異值分解；吸引子；特征參數(shù)

摩擦振動(dòng)是摩擦學(xué)系統(tǒng)重要的輸出特征信息之一，摩擦振動(dòng)的非線性行為可反映摩擦副的磨損狀態(tài)。為此，許多學(xué)者應(yīng)用非線性理論對(duì)摩擦振動(dòng)進(jìn)行了大量研究。朱華等[1-3]提取了摩擦振動(dòng)信號(hào)Kolmogorov熵、Lyapunov指數(shù)、分形維數(shù)等非線性特征參數(shù)并分析其在摩擦副磨損過(guò)程中的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)上述非線性特征參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)摩擦副摩擦磨損過(guò)程中不同磨損階段的識(shí)別。LI等[4]通過(guò)分形理論提取了磨合過(guò)程中摩擦振動(dòng)信號(hào)的多重分形特征參數(shù)，發(fā)現(xiàn)摩擦振動(dòng)信號(hào)的多重分形特征參數(shù)可識(shí)別摩擦副的磨合磨損和穩(wěn)定磨損階段?？梢?jiàn)，摩擦振動(dòng)的非線性特征能夠反映摩擦學(xué)系統(tǒng)的摩擦學(xué)行為，可用于識(shí)別摩擦副的磨損狀態(tài)。

摩擦學(xué)系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)[5]，從單一的摩擦學(xué)行為難以全面認(rèn)識(shí)摩擦學(xué)系統(tǒng)的性質(zhì)，還需多方法、多信息地對(duì)磨損過(guò)程進(jìn)行研究。近年來(lái)，一些學(xué)者在摩擦振動(dòng)吸引子的研究中發(fā)現(xiàn)[6-9]：吸引子相空間軌跡的體積變化反映了摩擦副摩擦磨損過(guò)程中磨損能量的變化，可通過(guò)能量變化識(shí)別摩擦副的磨損狀態(tài)，為摩擦副磨損狀態(tài)的識(shí)別提供了一條新途徑。然而，目前摩擦振動(dòng)吸引子相空間軌跡的研究還缺乏量化方法，在判斷吸引子體積變化時(shí)，存在主觀性強(qiáng)，細(xì)微差異難以區(qū)分等問(wèn)題。為解決定性分析存在的問(wèn)題，本文應(yīng)用奇異值分解方法從摩擦振動(dòng)吸引子相空間矩陣定量地提取摩擦振動(dòng)吸引子特征參數(shù)，研究磨合磨損過(guò)程中摩擦振動(dòng)吸引子特征參數(shù)的變化及其與磨損狀態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

1 摩擦振動(dòng)吸引子特征參數(shù)提取

1.1 相空間重構(gòu)

本文根據(jù)TAKENS定理[10]用 C-C 方法重構(gòu)摩擦振動(dòng)吸引子相空間。摩擦振動(dòng)信號(hào)時(shí)間序列通過(guò)嵌入維數(shù)m及時(shí)間延遲τ可構(gòu)造出多維摩擦振動(dòng)吸引子相空間矩陣X:

式中：N為時(shí)間序列長(zhǎng)度；Xi為相空間中的矢量。重構(gòu)摩擦振動(dòng)吸引子相空間矩陣的關(guān)鍵在于嵌入維數(shù)m和時(shí)間延遲τ的選取。本文運(yùn)用C-C方法確定m和τ。

(1)時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)積分C(m,N,r,t)的計(jì)算

C(m,N,r,t)=

(1)

(2)子列的統(tǒng)計(jì)量S(m,r,t)的定義

將摩擦振動(dòng)信號(hào)序列分成t個(gè)不相交子列，計(jì)算t取不大于200的正整數(shù)。

S(m,r,t)=

(2)

由于實(shí)際時(shí)間序列S(m,r,t)≠0，取呈近似均勻分布的S(m,r,t)零點(diǎn)或?qū)λ邪霃絩差別最小的時(shí)間點(diǎn)為局部最大時(shí)間間隔。

(3)差量ΔS(m,t)的定義

ΔS(m,t)=max{S(m,r,t)}-min{S(m,r,t)}

(3)

S(m,r,t)零點(diǎn)或者ΔS(m,t)最小值為局部最大時(shí)間t，τd對(duì)應(yīng)t中的第一個(gè)，同時(shí)由τd=ττs求取τ。

定義指標(biāo)函數(shù)Scor(t)為：

(4)

1.2 吸引子特征參數(shù)提取

為提取能定量表征摩擦振動(dòng)能量的特征參數(shù)，本文對(duì)吸引子相空間矩陣進(jìn)行矩陣奇異值分解并構(gòu)建奇異值特征向量，通過(guò)奇異值向量模定義摩擦振動(dòng)吸引子特征參數(shù)K，具體方法如下。

1.2.1 矩陣奇異值特征向量的構(gòu)建

奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)[11-12]是線性代數(shù)中一種重要的矩陣分解方法，利用奇異值可實(shí)現(xiàn)對(duì)矩陣奇異值特征向量的構(gòu)建。本文應(yīng)用SVD法構(gòu)建摩擦振動(dòng)吸引子相空間矩陣奇異值特征向量，具體方法如下。

根據(jù)SVD定義，對(duì)相空間重構(gòu)的摩擦振動(dòng)吸引子矩陣X進(jìn)行奇異值分解，可得到r個(gè)非零奇異值(λ1,λ2,…,λr)，r為矩陣X的秩，r=rank(X)。定義矩陣X的奇異值特征向量為Y，其表達(dá)式為:

Y=(λ1,λ2,…,λr)

(5)

從式(5)可以看出，奇異值特征向量Y是由矩陣X的非零奇異值構(gòu)成，奇異值唯一表征了矩陣X的特征，因此，由奇異值構(gòu)成奇異值特征向量Y亦是如此。

1.2.2 矩陣奇異值特征向量模的計(jì)算

根據(jù)向量的定義可知，向量的模，即向量的長(zhǎng)度，可反映向量的大小。向量的模的計(jì)算方法如下:

(6)

1.2.3 吸引子特征參數(shù)的定義

摩擦振動(dòng)吸引子的體積變化反映了摩擦副磨損過(guò)程中摩擦振動(dòng)的能量變化。摩擦振動(dòng)吸引子是吸引子相空間矩陣的幾何表征，奇異值特征向量是吸引子相空間矩陣的唯一表征，奇異值特征向量的模描述了奇異值特征向量大小的變化。因此，矩陣奇異值特征向量的模反映了摩擦振動(dòng)吸引子的體積大小，即摩擦振動(dòng)能量的高低，故本文定義摩擦振動(dòng)吸引子奇異值特征向量的模為摩擦振動(dòng)吸引子特征參數(shù)K，即：

(7)

由摩擦振動(dòng)吸引子特征參數(shù)K的定義可以看出，特征參數(shù)K可定量反映摩擦振動(dòng)吸引子體積的大小，即摩擦振動(dòng)的能量高低。

2 試驗(yàn)

2.1 試驗(yàn)方法

在CFT-Ⅰ型摩擦磨損試驗(yàn)機(jī)(蘭州中科凱華)上進(jìn)行球-盤(pán)磨合磨損試驗(yàn)，如圖1所示。該試驗(yàn)機(jī)可實(shí)時(shí)測(cè)量摩擦因數(shù)。球和盤(pán)試樣由專(zhuān)用夾具固定，盤(pán)試樣固定于臺(tái)架上，臺(tái)架由電機(jī)經(jīng)偏心輪帶動(dòng)以實(shí)現(xiàn)往復(fù)運(yùn)動(dòng)。356A16型ICP三軸加速度傳感器(PCB PIEZOTRONICS)固定于盤(pán)試樣下以測(cè)量切向和法向摩擦振動(dòng)信號(hào)，應(yīng)用PXIe-1071(National Instruments)信號(hào)采集系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)切向與法向摩擦振動(dòng)信號(hào)的采集，每間隔1 min采集一次振動(dòng)信號(hào)，采樣頻率25.6 kHz，采樣間隔6.25 Hz。

2.2 試驗(yàn)條件

選取GCr15和鑄鐵作為磨合磨損試驗(yàn)?zāi)Σ粮辈牧稀Cr15為球試樣，尺寸Φ3 mm，硬度HV830; 鑄鐵為下試樣，尺寸Φ30 mm×10 mm的盤(pán), 硬度HV300～400，材質(zhì)為合金鑄鐵，原始三維表面粗糙度Sa=0.842 μm。試驗(yàn)設(shè)定電機(jī)轉(zhuǎn)速為500 r/min，折合球-盤(pán)間的平均線速度為0.083 m/s。在專(zhuān)用儲(chǔ)油盤(pán)添加足量的常見(jiàn)船用潤(rùn)滑油CD40(密度0.895 7 g/cm3, 40℃運(yùn)動(dòng)黏度139.6 cSt, 100 ℃運(yùn)動(dòng)黏度12.5 cSt)實(shí)現(xiàn)浸油潤(rùn)滑。球-盤(pán)間由專(zhuān)業(yè)加工的彈簧施加70 N的試驗(yàn)載荷，即名義接觸載荷為12 MPa。為保證試驗(yàn)的可重復(fù)性，進(jìn)行5次磨合磨損試驗(yàn)，每次試驗(yàn)進(jìn)行60 min，取5次試驗(yàn)平均值作為試驗(yàn)結(jié)果。

圖1 CFT-Ⅰ型摩擦磨損試驗(yàn)機(jī)原理圖Fig.1 Schematic diagram of CFT-Ⅰwear tester

3 結(jié)果與討論

3.1 摩擦振動(dòng)吸引子分析

試驗(yàn)采集的摩擦振動(dòng)信號(hào)含有背景噪聲，為剔除噪聲的影響，根據(jù)文獻(xiàn)[13]，利用諧波小波包變換對(duì)磨合磨損試驗(yàn)中采集的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行降噪。首先對(duì)采集的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行7層分解，然后根據(jù)振動(dòng)信號(hào)頻率分布特征，選取38～47頻段3 700～4 700 Hz的信號(hào)重構(gòu)摩擦振動(dòng)信號(hào)。圖2為試驗(yàn)中某一時(shí)刻采集的振動(dòng)信號(hào)和經(jīng)過(guò)降噪后的摩擦振動(dòng)信號(hào)時(shí)域波形和頻譜圖。從圖2中可以看出，試驗(yàn)采集的振動(dòng)信號(hào)含有大量背景噪聲，而經(jīng)過(guò)諧波小波包變換進(jìn)行降噪后提取的摩擦振動(dòng)信號(hào)，有效地剔除了噪聲影響。相比于原始振動(dòng)信號(hào)，摩擦振動(dòng)信號(hào)主要分布在高頻區(qū)，且信號(hào)比較微弱。

根據(jù)混沌理論，對(duì)降噪后的摩擦振動(dòng)信號(hào)通過(guò)式(1)～式(4)重構(gòu)摩擦振動(dòng)吸引子相空間矩陣，并繪制摩擦振動(dòng)吸引子相空間軌跡圖，如圖3所示。從圖3中可以看出，摩擦副磨合磨損過(guò)程中摩擦振動(dòng)吸引子的體積呈現(xiàn)出由小到大并逐漸平穩(wěn)的變化過(guò)程。摩擦副磨合磨損是能量變化的過(guò)程，磨合開(kāi)始，摩擦副表面光滑且為浸油潤(rùn)滑，激發(fā)的摩擦振動(dòng)能量較低，摩擦振動(dòng)吸引子體積較小；隨著磨合進(jìn)行，摩擦副相互接觸激發(fā)的摩擦振動(dòng)能量逐漸增加，摩擦振動(dòng)吸引子體積逐漸增大；隨后，摩擦振動(dòng)能量逐漸平穩(wěn)，摩擦振動(dòng)吸引子體積趨于穩(wěn)定。圖3中深黑色區(qū)域?yàn)槟Σ琳駝?dòng)吸引子，從圖3(a)～圖3(b)可以看出從磨合開(kāi)始到磨合10 min，摩擦振動(dòng)吸引子體積有增大趨勢(shì)；然而從圖3(b)～(g)看出，磨合10 min至磨合結(jié)束，摩擦振動(dòng)吸引子體積變化差別不大，很難精確識(shí)別摩擦副從磨合磨損階段進(jìn)入穩(wěn)定磨損階段的時(shí)刻。

圖2 信號(hào)時(shí)域波形和頻譜Fig.2 Waveforms diagrams and spectrums of signals

3.2 摩擦振動(dòng)吸引子特征參數(shù)的變化規(guī)律

為了精確識(shí)別摩擦副磨合磨損過(guò)程中摩擦振動(dòng)吸引子的體積變化，對(duì)摩擦振動(dòng)吸引子相空間通過(guò)式(5)構(gòu)建奇異值特征向量并由式(6)和式(7)提取摩擦振動(dòng)吸引子特征參數(shù)K。圖4為磨合磨損過(guò)程中摩擦振動(dòng)吸引子特征參數(shù)的變化曲線。從圖4中可以看出，磨合開(kāi)始，吸引子特征參數(shù)K較小，為9.36；隨磨合進(jìn)行，吸引子特征參數(shù)K逐漸增大；43 min后，K值達(dá)到24.72，并在其附近平穩(wěn)地波動(dòng)。由上述分析可見(jiàn)，摩擦振動(dòng)吸引子特征參數(shù)K能夠定量地反映磨合過(guò)程中摩擦振動(dòng)吸引子的體積變化，即摩擦振動(dòng)能量的變化。摩擦副磨合磨損狀態(tài)的變化可通過(guò)摩擦因數(shù)進(jìn)行表征。圖5為摩擦副磨合磨損過(guò)程中摩擦因數(shù)隨磨合時(shí)間的變化曲線。從圖5可以看出，摩擦因數(shù)與圖4中的摩擦振動(dòng)吸引子特征參數(shù)K同樣具有從小逐漸增大并于43 min后處于平穩(wěn)波動(dòng)狀態(tài)。因此，摩擦振動(dòng)吸引子特征參數(shù)K與摩擦因數(shù)對(duì)磨損階段的判斷一致，可用于摩擦副的磨損狀態(tài)識(shí)別。

圖3 摩擦振動(dòng)吸引子隨磨合時(shí)間的變化Fig.3 Temporal variation of friction vibration chaotic attractors

圖4 摩擦振動(dòng)吸引子特征參數(shù)K隨磨合時(shí)間的變化曲線Fig.4 Temporal variation of the energy feature parameter K of friction vibration

圖5 摩擦因數(shù)隨磨合時(shí)間的變化曲線Fig.5 Temporal variation of the friction coefficient μ

4 結(jié) 論

本文通過(guò)提取摩擦振動(dòng)吸引子特征參數(shù)K并研究其在摩擦副磨合磨損過(guò)程中的變化規(guī)律研究摩擦振動(dòng)能量的變化，得出如下結(jié)論：

(1)通過(guò)摩擦振動(dòng)吸引子相空間矩陣進(jìn)行奇異值分解，利用奇異值構(gòu)建奇異值特征向量并提取其特征參數(shù)實(shí)現(xiàn)了摩擦振動(dòng)吸引子特征參數(shù)K的提取；

(2)摩擦振動(dòng)吸引子特征參數(shù)K能定量反映摩擦振動(dòng)吸引子的體積大小，即摩擦振動(dòng)能量的高低；

(3)摩擦振動(dòng)吸引子特征參數(shù)K與摩擦因數(shù)對(duì)磨損階段的判斷一致，摩擦振動(dòng)吸引子特征參數(shù)K可用于摩擦副的磨損狀態(tài)識(shí)別。

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Feature parameter extraction of a friction vibration attractor based on singular value decomposition

LIU Ting1, LI Guobin1, WEI Haijun2, MU Xue3, XING Pengfei1

(1. Marine Engineering College, Dalian Maritime University, Dalian 116026, China; 2. Merchant Marine College, Shanghai Maritime University, Shanghai 200135, China; 3. Cosco(Dalian) International Freight CO., Ltd., Dalian 116001, China)

An attractor feature parameterKwas defined to quantitatively study a friction vibration attractor, and its variation was investigated in the running-in wear process.Kwas the feature parameter of the eigenvectors built with the attractor phase-space-matrix singular values obtained using the C-C method and the phase-space reconstruction theory. Results showed that friction vibration energy is lower in the beginning stage, the attractor volume is smaller andKis 9.36; when the running-in continues, the friction vibration energy increases, the attractor volume gets larger andKalso increases gradually; friction vibration energy is stable after 43 min, attractor volumes are also stable andKfluctuates near 24.72; therefore,Kcan be used to quantitatively analyze the variation of friction vibration energy in the running-in process; the identification of wear state withKis consistent with that using friction coefficient, andKcan be used to monitor the wear state of tribological pairs.

friction vibration; singular value decomposition; attractor; feature parameter

國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(863) (2013AA040203)

2016-05-23 修改稿收到日期：2016-06-15

柳霆 男，博士生，1989年12月生

李國(guó)賓 男，博士，教授，1970年3月生

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.03.027