圓錐曲線(xiàn)（軌跡）方程的求法

劉堅(jiān)++吳自強(qiáng)

直接法

例1 已知三點(diǎn)[O（0，0），A（-2，1），B（2，1），]曲線(xiàn)[C]上任意一點(diǎn)[M（x，y）]滿(mǎn)足[|MA+MB|=OM?（OA+OB）+2]. 求曲線(xiàn)[C]的方程.

解析 由題意得，[MA=（-2-x，1-y），][MB=（2-x，1-y）].

所以[|MA+MB|=（-2x）2+（2-2y）2，]

[OM?（OA+OB）=（x，y）?（0，2）=2y].

由題意得，[（-2x）2+（2-2y）2=2y+2].

化簡(jiǎn)得，曲線(xiàn)[C]的方程為[x2=4y].

解讀 本題以平面向量為載體，通過(guò)向量的代數(shù)運(yùn)算，求出動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的方程（或等式），化簡(jiǎn)之后即可得到軌跡方程，此法稱(chēng)為直接法. 注意：化簡(jiǎn)時(shí)，一定要具有等價(jià)性.

定義法

例2 已知圓[M]：[（x+1）2+y2=1]，圓[N]：[（x-1）2+y2=9]，動(dòng)圓[P]與[M]外切并且與圓[N]內(nèi)切，圓心[P]的軌跡為曲線(xiàn)[C]. 求曲線(xiàn)[C]的方程.

解析 由題意得，圓[M]的圓心為[M]（-1，0），半徑[r1=1]；圓[N]的圓心為[N]（1，0），半徑[r2]=3. 設(shè)動(dòng)圓[P]的圓心為[P（x，y）]，半徑為[R].

∵圓[P]與圓[M]外切，且與圓[N]內(nèi)切，

∴[PM+PN=（R+r1）+（r2-R）=r1+r2=4].

由橢圓的定義可知，曲線(xiàn)[C]是以[M，N]為左右焦點(diǎn)，實(shí)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為[3]的橢圓（左頂點(diǎn)除外），其方程為[x24+y23=1（x≠-2）].

解讀 通過(guò)圖形的幾何性質(zhì)判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡是何種圖形，再求其軌跡方程，這種方法叫作定義法. 運(yùn)用定義法，求其軌跡，做到以下兩點(diǎn)：一要熟練掌握常用軌跡的定義，如線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)、圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)等；二要熟練掌握平面幾何中的一些性質(zhì)定理. 此種方法在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，如2016年全國(guó)卷I的第20題，就是這種類(lèi)型.

相關(guān)點(diǎn)法

例 3 設(shè)點(diǎn)[A]是單位圓：[x2+y2=1]上的任意一點(diǎn)，[l]是過(guò)點(diǎn)[A]與[x]軸垂直的直線(xiàn)，點(diǎn)[D]是直線(xiàn)[l]與[x]軸的交點(diǎn)，點(diǎn)[M]在直線(xiàn)[l]上，且滿(mǎn)足[DM=mDA][（m>0，][且m≠1）.] 當(dāng)點(diǎn)[A]在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)[M]的軌跡為曲線(xiàn)[C].求曲線(xiàn)[C]的方程，判斷曲線(xiàn)[C]為何種圓錐曲線(xiàn)，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo).

解析 如圖，設(shè)[M（x，y）]，[A（x0，y0）]，

由[DM=mDA（m>0，且m≠1）]得，

[x=x0，y=my0].

所以[x=x0，y0=1my].①

因?yàn)辄c(diǎn)[A]在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以[x02+y02=1].②

將①式代入②式得，所求曲線(xiàn)[C]的方程為[x2+y2m2=1（m>0，且m≠1）.]

因?yàn)閇m∈（0，1）?（1，+∞）]，

所以當(dāng)[01]時(shí)，曲線(xiàn)[C]是焦點(diǎn)在[y]軸上的橢圓， 兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為[（0，-m2-1），（0，m2-1）.]

解讀 用相關(guān)點(diǎn)法求曲線(xiàn)方程時(shí)一般有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)是主動(dòng)點(diǎn)，另一個(gè)是被動(dòng)點(diǎn). 例如本題中的點(diǎn)[A]是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)[M]是被動(dòng)點(diǎn). 當(dāng)題目中的條件同時(shí)具有以下特征時(shí)，一般可用相關(guān)點(diǎn)法求其軌跡方程：（1）某個(gè)動(dòng)點(diǎn)[A]在已知方程的曲線(xiàn)上移動(dòng)；（2）另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)[M]隨點(diǎn)[A]的變化而變化；（3）在變化過(guò)程中點(diǎn)[A]和點(diǎn)[M]滿(mǎn)足一定的規(guī)律.

參數(shù)法

例4 過(guò)拋物線(xiàn)[y2=2px（p>0）]的頂點(diǎn)[O]作兩條互相垂直的弦[OA]，[OB]，再以[OA]，[OB]為鄰邊作矩形[AOBM]，如圖，求點(diǎn)[M]的軌跡方程.

解析 設(shè)[M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）]，

[OA]的斜率為[k]（顯然[k≠0]），則[OB]的斜率為[-1k].

[OA]所在直線(xiàn)方程為[y=kx].

代入[y2=2px]得，[x1=2pk2，y1=2pk]，即[A（2pk2，2pk）].

[OB]所在直線(xiàn)方程為[y=-1kx]，代入[y2=2px]得，[x2=2pk2，y2=-2pk，]即[B（2pk2，-2pk）].

[∴OB=（2pk2，-2pk），OA=（2pk2，2pk）].

[OM=OA+OB=（2pk2+2pk2，2pk-2pk）].

所以[x=2p（1k-k）2+4p，y=2p（1k-k）.]

消去[（1k-k）]得，[y2=2p（x-4p）（p>0），]即為點(diǎn)[M]的軌跡方程.

解讀 在利用參數(shù)法求解時(shí)，要選擇合適的參數(shù)，并注意參數(shù)的取值范圍. 同時(shí)，求軌跡方程的關(guān)鍵是消參.

例5 如圖，橢圓方程為[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，[O]為坐標(biāo)原點(diǎn)，[A]，[B]兩點(diǎn)均在橢圓上，且[OA⊥OB，OH⊥AB]于點(diǎn)[H]，求點(diǎn)[H]的軌跡方程.

解析 設(shè)[OA=r1，OB=r2]，[∠AOx=θ，]設(shè)[H（x，y），]

[則A（r1cosθ，r1sinθ），][B（r2cos（π2+θ），r2sin（π2+θ））].

[∵A，B]均在橢圓上，

[∴r21cos2θa2+r21sin2θb2=1，r22sin2θa2+r22cos2θb2=1.]

[∴1r21=cos2θa2+sin2θb2，1r22=sin2θa2+cos2θb2.]

相加得，[1r21+1r22=1a2+1b2.]

又在[Rt△AOB]中，利用面積相等得，

[12r1r2=12OH?AB].

[∴OH2=r21r22r21+r22=a2b2a2+b2].

[∴][x2+y2=a2b2a2+b2].

[∴]點(diǎn)[H]的軌跡方程為[x2+y2=a2b2a2+b2].

解讀 此題利用三角函數(shù)的定義，巧妙設(shè)置參數(shù)，大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算量，這種技巧要多積累.

交軌法

例6 如圖，橢圓[C0：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，[a，b]為常數(shù)，動(dòng)圓[C1：x2+y2=t12]，[b

解析 設(shè)[A（x1，y1），]由對(duì)稱(chēng)性可知，[B（x1，-y1）.]

又[A1（-a，0），A2（a，0），]

則直線(xiàn)[A1A]的方程為[y=y1x1+a（x+a）]，①

直線(xiàn)[A2B]的方程為[y=-y1x1-a（x-a）].②

由①②得，[y2=-y21x21-a2（x2-a2）].③

又點(diǎn)[A（x1，y1）]在橢圓[C0]上，故[x21a2+y21b2=1].

從而[y21=b2a2（a2-x12）].

代入③得，[x2a2-y2b2=1][（x<-a，y<0）]，即為所求軌跡方程.

解讀 交軌法求軌跡方程，一般用于求兩動(dòng)曲線(xiàn)交點(diǎn)的軌跡方程，其過(guò)程是選出一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)，求出兩動(dòng)曲線(xiàn)的方程或動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)適合的含參數(shù)的等式，再消去參數(shù)，即得所求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程.

待定系數(shù)法

例7 設(shè)橢圓[E]的方程為[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，點(diǎn)[O]為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為[（a，0）]，點(diǎn)[B]的坐標(biāo)為[（0，b）]，點(diǎn)[M]在線(xiàn)段[AB]上，滿(mǎn)足[BM=2MA]，直線(xiàn)[OM]的斜率為[510].

（1）求橢圓[E]的離心率[e]；

（2）設(shè)點(diǎn)[C]的坐標(biāo)為[（0，-b）]，點(diǎn)[N]為線(xiàn)段[AC]的中點(diǎn)，點(diǎn)[N]關(guān)于直線(xiàn)[AB]的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為[72]，求橢圓[E]的方程.

解析 本題主要考查橢圓、平面幾何的性質(zhì)，第（1）小題用待定系數(shù)法求橢圓的方程，第（2）小題可將已知條件轉(zhuǎn)化為方程組求解.

（1）如圖，由題意得，點(diǎn)[M]的坐標(biāo)為[（2a3，b3）]，

又[kOM=510]，

即[b2a=510]，即[a=5b]，所以[c=a2-b2=2b]，

故[e=ca=255.]

（2）由題意和（1）的計(jì)算結(jié)果可得，直線(xiàn)[AB]的方程為[x5b+yb=1]，點(diǎn)[N]的坐標(biāo)為[（52b，-b2）].

設(shè)點(diǎn)[N]關(guān)于直線(xiàn)[AB]的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)[S]的坐標(biāo)為[（x1，72）]，

則線(xiàn)段[NS]的中點(diǎn)[T]的坐標(biāo)為[（54b+x12，-b4+74）].

又點(diǎn)[T]在直線(xiàn)[AB]上，且[kNS?kAB=-1]，

從而有[54b+x125b+-b4+74b=1，72+b2x1-5b2=5.]

解得，[b=3]，所以[a=35].

故橢圓[E]的方程為[x245+y29=1].

解讀 本題以橢圓的性質(zhì)和平面幾何的知識(shí)為依托，將方程中的系數(shù)與直線(xiàn)的斜率和對(duì)稱(chēng)問(wèn)題聯(lián)系在一起，充分考查了平面幾何的知識(shí)和數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想.