局域共振型瓣狀聲學(xué)超材料帶隙特性研究

陳 琳，吳衛(wèi)國，周 榕

(江蘇大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

局域共振型瓣狀聲學(xué)超材料帶隙特性研究

陳 琳，吳衛(wèi)國，周 榕

(江蘇大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

針對現(xiàn)有研究中聲學(xué)超材料完全帶隙和相對帶隙較窄的問題，設(shè)計了一種局域共振機(jī)理的瓣型聲學(xué)超材料，運(yùn)用有限元計算和仿真方法研究了該薄膜型聲學(xué)超材料的能帶特性及其振型特性，研究表明瓣型聲學(xué)超材料的帶隙寬度是無瓣型聲學(xué)超材料帶隙寬度的16倍，其相對帶隙可達(dá)60%。

聲學(xué)超材料；局域共振；完全帶隙

聲學(xué)超材料是由尺寸遠(yuǎn)小于作用波長的結(jié)構(gòu)單元構(gòu)成、并且有著奇異的反常規(guī)效應(yīng)的人工結(jié)構(gòu)[1]。2000年，劉正猷等人首次提出了局域共振機(jī)理[2]，實(shí)現(xiàn)了毫米級結(jié)構(gòu)對大波長低頻聲波的有效控制。2004年王剛等人[3]設(shè)計的二維二組元聲學(xué)超材料，首次提出了二維二組元聲學(xué)超材料可以產(chǎn)生帶隙的觀點(diǎn)。沈平和楊志宇[4]研究了一種暗聲學(xué)超材料實(shí)現(xiàn)了比布拉格散射機(jī)制頻率低兩個數(shù)量級的帶隙。王剛[5]等人發(fā)明的局域共振型超材料可以達(dá)到帶隙頻率可調(diào)諧的目的。吳九匯[6]課題組研究了一種輕質(zhì)二組元軟性薄層局域共振聲學(xué)超材料，這種超材料不僅能在500 Hz以下的低頻打開完全帶隙，而且能在頻率低于100 Hz的超低頻段打開垂向帶隙。M. Badreddine和Mourad Oudich設(shè)計的超材料結(jié)構(gòu)[7]約在3 kHz的頻段產(chǎn)生了完全帶隙。Osama R. 和Mahmoud 研究的一種類似跳板的聲學(xué)超材料模型[8]可以產(chǎn)生較寬的亞波長帶隙，并且其相對帶隙也達(dá)到了55%。張思文和吳九匯等人提出的一種螺旋形結(jié)構(gòu)能夠在200 Hz以下的低頻段打開方向帶隙[9]。侯志林、馬嘉宏和Badreddine M[10]等人研究的三維四組元結(jié)構(gòu)能在76～311 Hz的頻率范圍內(nèi)打開方向帶隙，并且在頻率120 Hz附近出現(xiàn)平帶。

以上結(jié)構(gòu)在一定頻率范圍內(nèi)都可以產(chǎn)生禁帶，但是有些完全帶隙較窄[11-12]，有些帶隙處于1 kHz中高頻段[11,13]，有些禁帶的產(chǎn)生并不是由單一元胞組成的單層結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)的，而是通過多層結(jié)構(gòu)堆疊或是改變胞元組成元素從而形成復(fù)合胞元達(dá)到較寬帶隙的。本文設(shè)計了一種瓣型超材料微結(jié)構(gòu)，并對其帶隙特性進(jìn)行了詳細(xì)研究。

1 模型的建立

研究模型如圖1所示，圖1(a)是單瓣超材料元胞的模型，由半球圖1(c)、“瓣”圖1(d)、薄膜圖1(e)、柵格支架圖1(f)4部分組成。元胞為隔聲裝置中阻隔低頻噪聲的最小單元，圖1(b)是不含瓣形結(jié)構(gòu)的元胞；圖1(g)是元胞陣列后的結(jié)構(gòu)；圖1(h)是陣列后的背面結(jié)構(gòu)圖。其中，柵格支架由正方形格子沿x方向和y方向周期性延拓而成，起著固定支撐的作用。中間的彈性薄膜相當(dāng)于“彈簧-質(zhì)量”系統(tǒng)中的彈簧，半球和“瓣”相當(dāng)于質(zhì)量塊。

圖1 瓣型聲學(xué)超材料模型

2 數(shù)值計算及分析

由于該聲學(xué)超材料是周期性的，本文首先計算了一個元胞的特征頻率及帶隙特性。所研究元胞結(jié)構(gòu)中粘貼于彈性薄膜上的半球是金屬鎢，彈性薄膜是硅橡膠，剛性支架是硬質(zhì)塑料。材料參數(shù)：硅膠密度ρ=1 300 kg/m3；彈性模量E=0.117 5 MPa；泊松比ν=0.469；塑料密度ρ=119 0 kg/m3；彈性模量E=2.2 GPa；泊松比ν=0.375；鎢密度ρ=17 800 kg/m3；彈性模量E=360 GPa；泊松比ν=0.27。

2.1 能帶結(jié)構(gòu)計算

網(wǎng)格劃分中采用系統(tǒng)默認(rèn)的自由剖分四面體網(wǎng)格，而在硅橡膠所在域內(nèi)自定義較細(xì)網(wǎng)格，在其他域內(nèi)設(shè)置標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)格。如圖2所示為本文研究的單瓣元胞的網(wǎng)格劃分示意圖，端點(diǎn)單元數(shù)為43，邊單元數(shù)為401，邊界單元數(shù)為5 021，單元數(shù)為9 957，自由網(wǎng)絡(luò)時間為0.26 s。

圖2 單瓣元胞網(wǎng)格劃分示意圖

計算中單瓣結(jié)構(gòu)的元胞尺寸為b= 0.06a，R= 0.34a，h=0.1a，t=0.075a，e=0.025a，其中a=10 mm。無瓣結(jié)構(gòu)幾何尺寸與單瓣結(jié)構(gòu)一樣。元胞四周的邊界均設(shè)置為Bloch-Floquet周期性邊界條件，其他邊界為自由邊界，邊界條件以兩個同方向的面為一組進(jìn)行施加，沒有先后順序之分。為了實(shí)現(xiàn)參數(shù)化建模，計算時可以掃略整個不可約布里淵區(qū)的高代表性邊界Γ-X-M-Γ，通過COMSOL MULTIPHYSICS 4.3求解特征值后將特征值數(shù)據(jù)導(dǎo)入到Matlab中，計算可得到能帶結(jié)構(gòu)。此方法可以根據(jù)計算結(jié)果要求方便調(diào)整模型的尺寸，得到不同尺寸下超材料的能帶結(jié)構(gòu)。研究中計算了有“瓣”模型和無“瓣”模型[6]的能帶結(jié)構(gòu)，分別如圖3(a) 和圖3(b)所示，圖3(a)中區(qū)域(1)是包括彎曲波[12]帶隙在內(nèi)的第一條帶隙；第二條完全帶隙用以(2)標(biāo)注的區(qū)域表示，第二完全帶隙的上邊界是“平帶”[11]；第三完全帶隙是最寬的帶隙，用區(qū)域 (3)標(biāo)注，它的下邊界是第二完全帶隙的上邊界。從能帶圖中可看出在相同尺寸相同材料下有“瓣”和無“瓣”元胞帶隙特性相差很大，對比圖3(a)和圖3(b)可知有“瓣”模型產(chǎn)生的完全帶隙個數(shù)和帶寬都比無“瓣”模型要優(yōu)越，有“瓣”模型可以產(chǎn)生3條完全帶隙，而無“瓣”模型只產(chǎn)生很窄的一條完全帶隙。由能帶圖可計算出瓣型結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的帶隙寬度是無“瓣”模型的16倍([(305-140)+(92-76)]/(57-46)=16.4)，并且在400 Hz以下有3條完全帶隙，帶隙寬度達(dá)254 Hz，占作用總頻率的65%，相對帶隙(Δf/fc)達(dá)到60%。

圖3 有“瓣”和無“瓣”元胞的能帶圖

2.2 結(jié)構(gòu)模態(tài)分析

為了深入了解聲學(xué)超材料帶隙的產(chǎn)生機(jī)理，對結(jié)構(gòu)元胞進(jìn)行模態(tài)分析。圖4所示7張圖分別為圖3(a)所示能帶圖中七條譜線A,B,C,D,E,F,G對應(yīng)固有頻率在M點(diǎn)的振動模態(tài)圖。從圖4(a)可以看出，元胞的第1種振動是在z方向的平動，能量主要集中在半球、瓣、彈性薄膜上。結(jié)構(gòu)的第2、第3種振動形式都是在x-y平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動，能量主要集中在轉(zhuǎn)動軸的兩側(cè)。第4種振動是元胞沿x軸和y軸的對角線轉(zhuǎn)動。這種結(jié)構(gòu)的第4和第5種振動形式基本一樣，都是沿y軸和沿x軸的平動，勢能主要儲存于瓣形結(jié)構(gòu)和彈性薄膜里。第6種振動形式是在x-y平面內(nèi)以z軸為轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動形式，這種形式的振動決定了能帶結(jié)構(gòu)中第6條譜線的形狀是平直的“平帶”[11]。第7種振動只有瓣的輕微振動，半球和彈性薄膜都保持靜止，能量主要集中于瓣形結(jié)構(gòu)中。

圖4 單瓣元胞的模態(tài)

2.3 微結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對帶隙特性的影響

影響聲學(xué)超材料帶隙特性的幾何參數(shù)有多種，本文主要研究半球半徑、彈性薄膜厚度、晶格常數(shù)、瓣的數(shù)量對3個帶隙上下邊界的影響規(guī)律。

(1)質(zhì)量塊半徑對帶隙特性的影響。

元胞中半球的振動是局域共振形成的重要因素，所以半球的質(zhì)量對局域共振有較大影響。在保證其他幾何參數(shù)a=10 mm，b= 0.6 mm，h=1 mm，t=0. 75 mm，e=0. 25 mm不變的前提下改變半球半徑R的大小來研究半球半徑對超材料帶隙特性的影響。圖5所示為半球半徑為2.8 mm，3.2 mm時的能帶結(jié)構(gòu)圖。

圖5 半球半徑為2.8 mm和3.2 mm時的能帶圖

從圖5中不同半球半徑下元胞能帶結(jié)構(gòu)的帶隙邊界可以看出，半球半徑的大小對第一完全帶隙的位置和寬度幾基本有影響。但是第三完全帶隙對半球半徑的變化比較敏感，隨著半球半徑的增大第三完全帶隙的寬度和中心頻率均增大。圖中藍(lán)色區(qū)域所表示的第二完全帶隙隨著半球半徑的變化而變化緩慢。元胞帶隙特性隨半球半徑大小的變化具體規(guī)律如圖6所示。

圖6 帶隙邊界隨半球半徑變化的規(guī)律圖

(2)薄膜厚度對帶隙特性的影響。

在元胞局域共振中起到彈簧作用的就是硅橡膠彈性薄膜，半球在彈性薄膜的作用下發(fā)生局域共振。彈性薄膜的厚度影響了彈性薄膜的彈性性能，所以彈性薄膜的厚度對帶隙特性有很大的影響。研究中當(dāng)a=10 mm，R=3.0 mm，h=1 mm，t=0. 75 mm，e= 0. 25 mm，保持不變，彈性薄膜厚度b取0.4 mm，0.5 mm，0.6 mm，0.7 mm時計算元胞的能帶結(jié)構(gòu)，從帶隙上下邊界值得到如圖7所示的規(guī)律圖。

圖7 帶隙邊界隨薄膜厚度變化的規(guī)律圖

從圖7中可以看出隨著彈性薄膜厚度的增大，第二、三完全帶隙的寬度基本保持不變，但其中心頻率逐漸向高頻移動。當(dāng)薄膜厚度b=0.4 mm時，元胞第三完全帶隙寬度為43 Hz，當(dāng)b增大到0.7 mm時，第三完全帶隙的寬度達(dá)到98 Hz。所以，改變彈性薄膜厚度能提高元胞總的帶隙寬度，因為元胞第三完全帶隙的寬度占總的帶隙寬度比例最大。

(3)晶格常數(shù)對帶隙特性的影響。

聲學(xué)超材料中影響帶隙特性的影響因素中晶格常數(shù)的影響是比較重要的影響因素。當(dāng)R=3.4 mm，h=1 mm，t= 0. 75 mm，e= 0. 25 mm，b=0.6 mm，晶格常數(shù)a取9 mm，10 mm，11 mm，12 mm，13 mm，14 mm時得出晶格常數(shù)對帶隙特性的影響規(guī)律如圖8所示。

圖8 帶隙邊界隨晶格常數(shù)變化的規(guī)律圖

從圖8中看到晶格常數(shù)對帶隙特性具有較大的影響，晶格常數(shù)的大小不僅能影響帶隙的寬度和位置，還可以影響帶隙的數(shù)量。出當(dāng)晶格常數(shù)a=9 mm時，第三完全帶隙寬度達(dá)到最大值340 Hz，能帶結(jié)構(gòu)中不存在第二完全帶隙。當(dāng)晶格常數(shù)a=10 mm時，第二帶隙出現(xiàn)，但比較窄，第三完全帶隙的寬度迅速降低為191 Hz。晶格常數(shù)的增大使得第一完全帶隙的中心頻率逐漸向低頻靠近，但是寬度基本不隨晶格常數(shù)的改變而改變。當(dāng)晶格常數(shù)>12 mm時，第二、三完全帶隙消失，只有第一完全帶隙。

(4)瓣的數(shù)量對帶隙特性的影響。

瓣型聲學(xué)超材料的帶隙之所以比其他研究模型具有優(yōu)越性主要是因為模型中的“瓣”，瓣的數(shù)量勢必會影響模型的帶隙特性。如圖9所示，研究中將一個瓣形結(jié)構(gòu)劃分為多個瓣狀結(jié)構(gòu)。為了研究瓣的數(shù)量對帶隙的影響規(guī)律，取晶格常數(shù)a=10 mm，R=3.2 mm，h=1 mm，t=0. 75 mm，e= 0. 25 mm，b=0.6 mm，瓣的數(shù)量分別為1、4、6、8、10、12，對這些模型進(jìn)行能帶結(jié)構(gòu)計算和模態(tài)分析。

圖9 含瓣數(shù)量為1/4/6/8/10/12的元胞結(jié)構(gòu)示意圖

圖10 瓣的數(shù)量變化對帶隙特性的影響

從瓣的數(shù)量對各個完全帶隙上下邊界的影響規(guī)律圖10所示，隨著瓣數(shù)量的增多，第一、二完全帶隙的寬度和中心頻率的位置幾乎不變，第三完全帶隙的上邊界隨著瓣數(shù)量的增多而向低頻偏移，最終使得第三完全帶隙的寬度減小。當(dāng)瓣的數(shù)量為1時(一個瓣就相當(dāng)于一個圈形結(jié)構(gòu))，第三完全帶隙寬度為113 Hz，第三完全帶隙的寬度變得越小，當(dāng)瓣數(shù)為12時，第三完全帶隙寬度減小到瓣數(shù)為1時的1/2。

考慮到瓣形結(jié)構(gòu)數(shù)量越多，模型的設(shè)計和加工難度也會加大，還有一個重要原因就是瓣形結(jié)構(gòu)的數(shù)量越多越不利于寬帶隙的形成，所以在今后的模型設(shè)計中不需要考慮多瓣結(jié)構(gòu)，僅需要簡單設(shè)計一個圈形結(jié)構(gòu)就可以滿足帶隙要求了。其次，含一個瓣形結(jié)構(gòu)的模型在研究模型幾何參數(shù)變化時具有便于改變參數(shù)，計算收斂快等特點(diǎn)。

3 結(jié)束語

本文設(shè)計了一種基于局域共振(LR)機(jī)理的瓣型結(jié)構(gòu)的聲學(xué)超材料，研究表明該薄膜型聲學(xué)超材料比無瓣型聲學(xué)超材料帶隙更寬，并且僅用單層結(jié)構(gòu)同種元胞組合就可以在一定頻率下形成較寬的多個完全帶隙，而不需要通過不同種元胞組合或是多層結(jié)構(gòu)的復(fù)合而達(dá)到一定帶隙特性。從結(jié)構(gòu)振動和能量聚集的角度解釋了局域共振機(jī)理。各種為振動形式都是框架保持不動，其他部件不同程度的振動，從而實(shí)現(xiàn)了局域共振。結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)中晶格常數(shù)，半球半徑，薄膜厚度對帶隙影響最明顯。晶格常數(shù)越大，總的完全帶隙寬度越小，彈性薄膜厚度在一定范圍內(nèi)與完全帶隙寬度正相關(guān)，半球半徑越大，第三完全帶隙越大，總的帶隙寬度也越大，但是半球半徑必須要滿足晶格常數(shù)的限定而不能隨意變大。

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Study of Band Structure for Petal-shaped Acoustic Metamaterials

CHEN Lin, WU Weiguo, ZHOU Rong

(School of Civil Engineering and Mechanics, Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China)

This paper proposes a petal-shaped acoustic metamaterial structure to solve the relatively narrow complete band gaps and relative band gaps of previous studies. This metamaterial is based on local resonance. The band structures and vibration characteristics of the unit are calculated and analyzed by numerical simulations based on the finite element method. It is suggested that whole width of complete band gaps for the petal-shaped unit is more than 16 times that of the unit without petals, and the relative band gap is up to 60%.

acoustic metamaterial; local resonance; complete band gap

2016- 04- 12

鎮(zhèn)江市科技支撐基金資助項目(GY2013032)

陳琳(1988-)，女，碩士研究生。研究方向：聲學(xué)超材料在低頻噪聲控制中的應(yīng)用。吳衛(wèi)國(1970-)，男，副教授。研究方向：噪聲控制及復(fù)合材料力學(xué)。周榕(1991-)，女，碩士研究生。研究方向：聲學(xué)超材料在噪聲控制中的應(yīng)用。

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2017.02.042

TB53

A

1007-7820(2017)02-161-05