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    厘清概念 掌握運(yùn)算 透視考點(diǎn)

    2017-03-07 03:23:06
    初中生世界 2017年11期
    關(guān)鍵詞:公因式同類項(xiàng)平方根

    厘清概念 掌握運(yùn)算 透視考點(diǎn)

    何春華

    數(shù)與式是中考必考知識(shí)點(diǎn),一般分值占中考總分10%左右,主要考查同學(xué)們對(duì)基本概念的理解和基本運(yùn)算的掌握情況,現(xiàn)以2016年中考題為例,聚焦中考中的“數(shù)與式”,供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考.

    一、考查數(shù)與式的相關(guān)概念

    1.正、負(fù)數(shù)的識(shí)別.

    例1(2016·攀枝花)下列各數(shù)中,不是負(fù)數(shù)的是( ).

    D.-0.10

    【分析】利用負(fù)數(shù)的定義判斷即可得到結(jié)果.

    【點(diǎn)評(píng)】負(fù)數(shù)可以從以下兩個(gè)方面識(shí)別:①根據(jù)數(shù)前面的符號(hào):非零數(shù)前面只有一個(gè)“-”號(hào)是負(fù)數(shù),非零數(shù)前面只有一個(gè)“+”號(hào)是正數(shù);②根據(jù)與零的大小關(guān)系:大于零的數(shù)是正數(shù),小于零的數(shù)是負(fù)數(shù).

    2.相反數(shù)、倒數(shù).

    A.1 B.-1 C.2016 D.-2016

    【分析】本題應(yīng)先求相反數(shù),再求倒數(shù).

    【點(diǎn)評(píng)】求一個(gè)數(shù)的相反數(shù),相當(dāng)于改變這個(gè)數(shù)的符號(hào),即在這個(gè)數(shù)前面加上“-”號(hào);求一個(gè)數(shù)的倒數(shù),即求1除以這個(gè)數(shù)的商.

    3.數(shù)的開(kāi)方.

    例3(2016·常德)4的平方根是( ).

    D.±2

    【分析】一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,它們互為相反數(shù).

    解:∵(±2)2=4,∴4的平方根是±2.故選D.

    【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求一個(gè)正數(shù)的平方根,這類題一般比較簡(jiǎn)單,記住它們的概念是解題的前提.這類題有如下規(guī)律:非負(fù)數(shù)a的平方根是,算術(shù)平方根是,立方根是

    4.無(wú)理數(shù)的概念.

    D.0

    【分析】無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù),符合這個(gè)要求的就是無(wú)理數(shù),當(dāng)然需要化簡(jiǎn)或計(jì)算的要看化簡(jiǎn)以后的結(jié)果.

    【點(diǎn)評(píng)】常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有以下幾種形式:①開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù),如;②特定意義的數(shù),如圓周率π,tan30°;③特定結(jié)構(gòu)的數(shù),如0.1010010001….特別注意像,等含開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)或含π的數(shù)不是分?jǐn)?shù)而是無(wú)理數(shù).

    5.科學(xué)記數(shù)法.

    例5(2016·達(dá)州)在“十二五”期間,達(dá)州市經(jīng)濟(jì)保持穩(wěn)步增長(zhǎng),地區(qū)生產(chǎn)總值約由819億元增加到1351億元,年均增長(zhǎng)約10%,將1351億元用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為( ).

    A.1.351×1011B.13.51×1012

    C.1.351×1013D.0.1351×1012

    【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n,其中1≤ ||a<10,n為整數(shù).先數(shù)出這個(gè)數(shù)共有多少數(shù)位,再根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義確定答案.

    解:把1351億寫(xiě)成135100000000,它的整數(shù)位有12位,此時(shí)a=1.351,n=12-1=11.故選A.

    【點(diǎn)評(píng)】科學(xué)記數(shù)法的表示方法:a值的確定:1≤a<10;n值的確定:①當(dāng)原數(shù)大于或等于10時(shí),n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1;②當(dāng)原數(shù)小于1時(shí),n是負(fù)整數(shù),它的絕對(duì)值等于原數(shù)左起第一位非零數(shù)字前所有零的個(gè)數(shù)(含小數(shù)點(diǎn)前的零);③有數(shù)字單位的科學(xué)記數(shù)法,先把數(shù)字單位轉(zhuǎn)化為數(shù)字表示,再用科學(xué)記數(shù)法表示.

    6.實(shí)數(shù)與數(shù)軸.

    例6(2016·北京)有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示,則正確的結(jié)論是( ).

    A.a>-2 B.a<-3

    C.a>-b D.a<-b

    【分析】觀察數(shù)軸得到a,b的正負(fù)性及離原點(diǎn)的距離,從而解決問(wèn)題.

    解:由數(shù)軸可知,-3<a<-2,故A、B錯(cuò)誤;又知1<b<2,根據(jù)相反數(shù)的意義可知:-2<-b<-1,即-b在-2與-1之間,所以a<-b.故選D.

    【點(diǎn)評(píng)】觀察數(shù)軸上的數(shù)應(yīng)從兩方面入手:①數(shù)的正負(fù)性,數(shù)在原點(diǎn)左側(cè)則負(fù),數(shù)在原點(diǎn)右側(cè)則正;②數(shù)離原點(diǎn)的距離大小.另外利用數(shù)軸還可以比較有理數(shù)的大?。簲?shù)軸上右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù).由于引進(jìn)了數(shù)軸,我們把數(shù)和點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來(lái),也就是把“數(shù)”與“形”結(jié)合起來(lái),體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

    7.整式的有關(guān)概念.

    【分析】直接利用“單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)”解題.

    【點(diǎn)評(píng)】單項(xiàng)式的系數(shù)包括它前面的符號(hào),且只與數(shù)字因數(shù)有關(guān).另外單項(xiàng)式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí),通常寫(xiě)成假分?jǐn)?shù).

    8.同類項(xiàng).

    例8 (2016·常德)若-x3ya與xby是同類項(xiàng),則a+b的值為( ).

    A.2 B.3 C.4 D.5

    【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義,即相同字母的指數(shù)相同,可分別求出a、b的值.

    解:由同類項(xiàng)的定義,得a=1,b=3,a+b=4.故選C.

    【點(diǎn)評(píng)】所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也相等的項(xiàng)叫做同類項(xiàng),據(jù)此列出方程(組)即可解決這類問(wèn)題.

    9.分式的有關(guān)概念.

    【分析】分式有意義,必須使分母不為零,由此可得x的取值范圍.

    解:由分式的意義,知x-1≠0,解得x≠1.故答案為x≠1.

    【點(diǎn)評(píng)】分式是否有意義,只取決于分式的分母,與分式的分子無(wú)關(guān).

    A.-1 B.1 C.±1 D.0

    【分析】根據(jù)分式的值為0的條件“分子為0,分母不等于0”,列出方程和不等式求解.

    解:由題意可知:x-1=0,得x=1.由x+1≠0,得x≠-1,所以x=1.故選B.

    【點(diǎn)評(píng)】此類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是忽視分式的值為0的前提條件:分式有意義,即分母不等于0.

    10.二次根式的有關(guān)概念.

    例11(2016·白銀)下列根式中是最簡(jiǎn)二次根式的是( ).

    【分析】最簡(jiǎn)二次根式滿足下面的條件:①被開(kāi)方數(shù)不含分母;②被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.根據(jù)這兩個(gè)條件進(jìn)行辨別.

    【點(diǎn)評(píng)】判斷最簡(jiǎn)二次根式時(shí),特別要注意分母中不能含有根號(hào)哦!

    11.二次根式有意義的條件.

    【分析】二次根式有意義,必須滿足被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù),然后解不等式即可.

    【點(diǎn)評(píng)】解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是由被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)得出不等式,解這個(gè)不等式即可.對(duì)于分式形式的代數(shù)式,同學(xué)們還要注意所取的字母的值不能使分母為零.

    二、考查數(shù)與式的運(yùn)算能力

    1.冪的運(yùn)算.

    例13(2016·茂名)下列各式計(jì)算正確的是( ).

    A.a2·a3=a6B.(a2)3=a5

    C.a2+3a2=4a4D.a4÷a2=a2

    【分析】分別從“同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方法則、合并同類項(xiàng)的法則、同底數(shù)冪的除法法則”逐個(gè)驗(yàn)證各選項(xiàng)的正確性.

    解:a2·a3=a2+3=a5;(a2)3=a2×3=a6;a2+3a2=(1+3)a2=4a2;a4÷a2=a4-2=a2.故選擇D.

    【點(diǎn)評(píng)】?jī)绲倪\(yùn)算是整式運(yùn)算的基礎(chǔ),需要熟練掌握,注意不要混淆相關(guān)知識(shí),尤其是冪的乘方不要與同底數(shù)冪的乘法混淆,冪的乘方運(yùn)算是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘法運(yùn)算,而同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運(yùn)算.

    2.無(wú)理數(shù)的估算.

    A.2到3之間 B.3到4之間

    C.4到5之間 D.5到6之間

    3.因式分解.

    例15 因式分解:(1)(2016·襄陽(yáng))2a2-2=_________;

    (2)(2016·深圳)a2b+2ab2+b3=_________.

    【分析】(1)先提取公因式2,再利用平方差公式分解因式;(2)先提取公因式b,剩下(a2+2ab+b2)正好滿足完全平方公式.

    解:(1)2(a+1)(a-1);(2)b(a+b)2.

    【點(diǎn)評(píng)】因式分解問(wèn)題應(yīng)首先考慮是否能提公因式,找公因式應(yīng)從系數(shù)、字母和字母的指數(shù)三個(gè)方面分別考慮.沒(méi)有公因式或提公因式后,再根據(jù)項(xiàng)數(shù)考慮公式法,兩項(xiàng)則判定是否可用平方差公式,三項(xiàng)則判定是否可用完全平方公式,三項(xiàng)以上則應(yīng)考慮使用分組分解法.

    4.非負(fù)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.

    A.-2 B.0 C.1 D.2

    【點(diǎn)評(píng)】初中階段學(xué)習(xí)了三種非負(fù)數(shù):①|(zhì)a|≥0;②a2≥0;③.如果出現(xiàn)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零,則說(shuō)明這幾個(gè)非負(fù)數(shù)的值都等于0,此時(shí)可得一個(gè)方程組,解方程組即可求得未知數(shù)的值.

    5.實(shí)數(shù)的運(yùn)算.

    【分析】先計(jì)算有理數(shù)除法、算術(shù)平方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及有理數(shù)乘法,最后再加減.

    【點(diǎn)評(píng)】實(shí)數(shù)的計(jì)算題常常將零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、倒數(shù)、絕對(duì)值、算術(shù)平方根、特殊角的三角函數(shù)值、冪的運(yùn)算性質(zhì)等集于一題,綜合考查運(yùn)算能力,解題時(shí)需記住以下規(guī)律:①對(duì)于一個(gè)非零數(shù)a,有a0=1,需要注意a必須是一個(gè)非零數(shù),否則沒(méi)有意義;②對(duì)于一個(gè)數(shù)的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的求法公式:a-n=,應(yīng)注意a≠0,n為正整數(shù).

    6.整式的運(yùn)算.

    例18(2016·烏魯木齊)先化簡(jiǎn),再求值:(x+2)(x-2)+(2x-1)2-4x(x-1),其中x=

    【分析】先利用乘法公式和單項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則進(jìn)行化簡(jiǎn),再合并同類項(xiàng),最后代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算.

    解:原式=x2-4+(4x2-4x+1)-(4x2-4x)=x2-4+4x2-4x+1-4x2+4x=x2-3.當(dāng)x=時(shí),原式=

    【點(diǎn)評(píng)】整式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題是中考的必考內(nèi)容,主要涉及整式的乘除、乘法公式和整式的加減,同學(xué)們只要能熟練掌握有關(guān)法則及公式就可以解決此類問(wèn)題.

    7.分式與二次根式的運(yùn)算.

    【分析】先確定分式的運(yùn)算順序:先算小括號(hào)內(nèi)的,再進(jìn)行除法運(yùn)算,最后代入求值.

    【點(diǎn)評(píng)】分式的混合運(yùn)算,要注意運(yùn)算順序,式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序:先乘方,再乘除,然后加減,有括號(hào)的先算括號(hào)里面的.另外分式的混合運(yùn)算,一般按常規(guī)運(yùn)算順序,但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn),運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算.

    (作者單位:江蘇省海門市實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué))

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