例談一類排列組合問題建模

許年堤

排列組合問題解題方法獨(dú)特，結(jié)果不易驗(yàn)證，思維比較抽象靈活，在解題過程中，學(xué)生往往缺乏自信心，因此在課堂教學(xué)中如果我們能把一些常見的排列、組合問題歸納、類比到一組單一的學(xué)生能掌握且比較熟悉的模型上，無疑對(duì)解題是有益的。在此筆者談?wù)劙亚蚍湃牒凶訂栴}的幾種模型。

1 、把5個(gè)不同的小球放入5個(gè)不同的盒子（不限制盒子放球數(shù)，每盒最多可放5個(gè)）有幾種不同的放法？

分析：5個(gè)小球分5次放（5步），每一個(gè)小球有5種放法。

解：有分步計(jì)數(shù)原理得

評(píng)述：本題是利用分步原理求解，模型為n個(gè)不同的球放入m個(gè)不同的盒子中（每盒可以放n個(gè)）有mn

2、把5個(gè)不同的小球放入5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子只能放一個(gè)，有幾種不同的放法？

分析：本題就是5個(gè)不同的元素按一定順序排列的排列個(gè)數(shù)，是一個(gè)典型全排列問題。

解：

3、把3個(gè)不同的小球放入5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子只能放一個(gè)，有幾種不同的放法？

解： 或

評(píng)述：本題是球少盒子多（元素少，位置多），可以理解為從5個(gè)不同盒子中先取出3個(gè)盒子然后將3個(gè)小球一對(duì)一的放入每個(gè)盒子即為全排列

模型：把m個(gè)不同的元素放入n個(gè)不同的對(duì)象（ ）（每一個(gè)對(duì)象只能放一個(gè)元素）其排列數(shù)為 ，其實(shí)就是對(duì)排列概念的真正理解。

4、把7個(gè)不同的小球放入5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放一個(gè)，有幾種不同的放法？

分析：先把7個(gè)小球分成5組，再把5組（5個(gè)元素）進(jìn)行全排列，分組有兩類：1、1、1、1、3或1、1、1、2、2各組的組數(shù)分別為 ， 因此：N=

評(píng)述：本題是球多盒子少（元素多，位置少），且要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，因此要先分組（把這些元素分成與位置一樣的組）后排列；要注意寫出有幾類不同的分組，同時(shí)分組要注意平均分組和局部平均分組的計(jì)算方法。（這里就不展開了）。

5、若5個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)盒子，每個(gè)盒子放一個(gè)，且要求乙球放入的盒子編號(hào)要比甲小，丙球放入的盒子編號(hào)要比乙球小，有幾種不同的放法？

分析：先在5個(gè)盒子中選出兩個(gè)放入另外兩個(gè)球有 ，剩下的3個(gè)盒子中按號(hào)從大到小放甲、乙、丙，只有一種方法。因此，N=

評(píng)述：本題對(duì)3個(gè)不同小球限制了條件?？瓷先ビ许樞蛳拗疲聦?shí)上是變成了與順序無關(guān)的組合問題。

6、把紅、黃、藍(lán)、白、黑5個(gè)小球放入5個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子只能放一個(gè)：

若要求紅黃相鄰，有幾種不同的放法；

若紅、黃不相鄰，有幾種不同的放法；

紅球不在1號(hào)盒子，黃球不在5號(hào)盒子，有幾種不同的放法？

分析：（1）把紅黃兩個(gè)球看作一個(gè)整體與另外3個(gè)小球進(jìn)行全排列有 ，又紅黃兩個(gè)小球可以進(jìn)行全排列 ，故N=

（2）因?yàn)榱硗?個(gè)小球能制造4個(gè)空檔，所以先3個(gè)小球的全排列有 ，而紅、黃兩球的排法有 ，故N=

（3）本題可用間接法

評(píng)述：（1）（2）兩題是常見的相鄰與不相鄰問題，分別采用捆綁法和插空法，學(xué)生應(yīng)該比較熟悉。而（3）是常見的對(duì)元素（或位置）進(jìn)行限制的問題。分別對(duì)兩個(gè)元素限制不能排在某兩個(gè)位置上的排列模型為： 或

7、3個(gè)相同的小球放入到5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子只能放一個(gè)，有幾種不同的放法？

分析：先從5個(gè)盒子中任取3個(gè)盒子有 種，由于放入的是相同的元素，故是無序問題，所以N= 。

評(píng)述：本題突出了球相同，說的是把相同的元素放入到不同的位置，是組合問題，是對(duì)組合概念的具體化，不過其特點(diǎn)是球少盒子多。（元素少，位置多）

8、把7個(gè)相同的小球放入5個(gè)不同的盒子，要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)，有幾種不同的放法？

分析：法一：先把7個(gè)小球分成5組有以下幾類：1、1、1、1、3或1、1、1、2、2，∵元素是相同的，故第一種有 （或 ），第二種有 （或 ）∴N= + =15

法二：相同元素分配用擋板法，故有 =15種

評(píng)述：本題是相同小球m個(gè)放入n個(gè)不同的盒子（m>n），每個(gè)盒子中至少一個(gè)元素，用擋板法比較簡(jiǎn)練，類似的有名額分配問題。

引申：若把12個(gè)相同的小球放入5個(gè)不同的盒子，要求每個(gè)盒子至少放2個(gè)，有幾種不同的放法？

分析：先在每個(gè)盒子上先放上1個(gè)小球，再將剩下的7個(gè)小球用擋板法分別放入到5個(gè)盒子中，有 =15種

評(píng)述：本題是先為利用擋板法創(chuàng)造條件，因?yàn)槭褂脫醢宸ǖ那疤嵋话闶潜ＷC“至少一個(gè)”，且“各元素是相同的”，要注意與不同元素的分組問題的區(qū)別。

上述幾種類型基本涉及到了中學(xué)階段一些排列組合問題，學(xué)生在平時(shí)訓(xùn)練中若能有意識(shí)地對(duì)照這些類型尋找與之相同的題型，逐漸形成解題的模型。對(duì)提高學(xué)生的審題能力、思維的敏捷性和解題的自信心是有幫助的。