從極限教學(xué)到分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型中廣義積分的逼近法

瞿波

【摘要】極限理論描述了目標(biāo)函數(shù)在自變量無(wú)限變化過(guò)程中的變化趨勢(shì)，它是近代數(shù)學(xué)思想和方法的基礎(chǔ)。極限理論教學(xué)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，是微積分中幾乎所有理論的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)等大學(xué)數(shù)學(xué)科目的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)極限概念是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中遇到的第一個(gè)較難理解的概念，正確理解和掌握極限的概念和思想方法也是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。本文介紹了高等數(shù)學(xué)極限教學(xué)的幾個(gè)注意點(diǎn)以及計(jì)算極限的幾種主要方法，對(duì)學(xué)生理解極限理論提供一些思維上的引導(dǎo)。本文通過(guò)極限思想在分形中應(yīng)用的介紹，從感性認(rèn)識(shí)上提高學(xué)生學(xué)習(xí)極限理論的興趣。通過(guò)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型的建立和改進(jìn)，以帶有無(wú)窮限的廣義積分用分步離散的逼近方法，通過(guò)對(duì)核函數(shù)的轉(zhuǎn)換，分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型的模擬結(jié)果可以得到改善。最后對(duì)記憶長(zhǎng)度的確定和粒子數(shù)的確定也作了研究，研究表明：當(dāng)記憶是時(shí)間步長(zhǎng)的10倍，而粒子數(shù)不小于1000時(shí)，可以得到較理想的模擬。本文所用到的極限近似逼近方法，對(duì)極限的近似計(jì)算具有啟發(fā)性指導(dǎo)，創(chuàng)新數(shù)學(xué)極限理論的教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】極限數(shù)學(xué)教學(xué)分形分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)廣義積分

中圖分類號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

一、極限思想及其教學(xué)

1.極限學(xué)習(xí)意義的認(rèn)識(shí)

極限理論是高等數(shù)學(xué)的核心思想，也是這一課程的重點(diǎn)與難點(diǎn)。后續(xù)課程中的微分積分都是圍繞極限這一概念展開的，因此對(duì)極限思想的深刻理解是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的前提。

極限是數(shù)學(xué)由具體到抽象、從常量到變量、從有限到無(wú)限、從初等數(shù)學(xué)過(guò)渡到高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。微積分的思想之所以相當(dāng)嚴(yán)密，是因?yàn)榻柚藰O限的思想。而對(duì)于極限概念的理解，直接關(guān)系到高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)效果。凡是高等數(shù)學(xué)沒(méi)學(xué)好的學(xué)生，大多因?yàn)槭菍?duì)極限概念理解得不深、不透，從而難以理解后續(xù)知識(shí)中的一些重要概念。如同“只見樹木不見森林”，缺乏對(duì)微積分這一學(xué)科的宏觀、整體的認(rèn)識(shí)，從而對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)提不起興趣，甚至產(chǎn)生厭學(xué)情緒。

牛頓、萊布尼茲創(chuàng)建的微積分理論中，極限理論是其中最偉大的思想。因?yàn)闃O限思想的復(fù)雜程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于中學(xué)數(shù)學(xué)的范疇，因此對(duì)于初步接觸高等數(shù)學(xué)的大學(xué)生來(lái)說(shuō)，難免會(huì)有畏難情緒，這時(shí)需要教師循序漸進(jìn)地、由形象到抽象地把學(xué)生的思維引導(dǎo)到極限概念中來(lái)，任何的急于求成都會(huì)事倍功半。此前雖然有很多關(guān)于極限教學(xué)的研究文章（如[1]，[2]，[3]），但多數(shù)文章側(cè)重于介紹極限理論的發(fā)展史或者學(xué)習(xí)極限的重要性，而對(duì)極限教學(xué)的具體方法研究較少。本文基于作者多年的高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，梳理出極限教學(xué)中一些容易忽視的環(huán)節(jié)和需要重點(diǎn)關(guān)注的地方，以供參考。為進(jìn)一步理解極限理論，本文用分形中的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)作為極限應(yīng)用的實(shí)例，剖析無(wú)窮限廣義積分簡(jiǎn)化為分步和式的過(guò)程，從而加深對(duì)極限理論的理解。

2.極限思想的導(dǎo)入和闡釋

初步接觸極限概念，微積分的起源和歷史故事可以引起學(xué)生的興趣，尤其是歐拉的傳奇故事會(huì)給數(shù)學(xué)涂上傳奇的色彩。用通俗的語(yǔ)言指出高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的區(qū)別和聯(lián)系，簡(jiǎn)單介紹微積分的“分割、近似、求和、求極限”的思想，指出這種思想可以解決任何不規(guī)則、不均勻的實(shí)際問(wèn)題，以引起學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的興趣。

極限思想是一個(gè)全新的概念，學(xué)生在理解極限的ε--N定義時(shí)，需要不斷和實(shí)際例子相比較，以理解其真正含義。在介紹極限概念時(shí)，可以借鑒國(guó)外的極限理論引進(jìn)時(shí)所用的方法[5]，即用列表的形式感官?gòu)膬蛇呞吔鼧O限值的過(guò)程。[4]，繼而再過(guò)渡到抽象的ε--N （或 ）定義。另外，東漢劉徽的割圓術(shù)求圓面積以及莊子的截杖問(wèn)題都是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始的極限思想的應(yīng)用，通過(guò)這兩個(gè)例子來(lái)介紹極限思想，形象而具體，學(xué)生很容易理解。

極限概念引入時(shí)從個(gè)例的描述性定義到定量的轉(zhuǎn)化，是極限教學(xué)的關(guān)鍵。首先要舉出幾個(gè)無(wú)窮數(shù)列的例子，讓學(xué)生觀察數(shù)列隨n變化的規(guī)律。然后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出ε—N的定義。要指出，證明極限的過(guò)程，其實(shí)也是找一個(gè)正整數(shù)N的過(guò)程。使得當(dāng) 時(shí)， 。因此， 。

需要特別強(qiáng)調(diào)的是ε可以是任意小的一個(gè)正數(shù)，不管ε有多小，哪怕是一億分之一或更小，總會(huì)找到某個(gè)足夠大的自然數(shù)N， 滿足（3）。N是隨ε的變化而變化的。但N不是ε的函數(shù)，N不是唯一的。

在介紹函數(shù)極限時(shí)，需要先講無(wú)窮極限再講 。因?yàn)閺臄?shù)列極限過(guò)渡到無(wú)窮極限很好理解。在證明 時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)在放大不等式 時(shí)，保留 這一個(gè)因子。

二、極限求解的幾種基本方法

在學(xué)習(xí)了極限定義和證明方法后，就是如何求極限。高等數(shù)學(xué)中求極限的方法有好幾種。除了基本的連續(xù)函數(shù)的代入法（substitution）、因式分解并去零因子法（factoring）、共軛法去根號(hào)（conjugate）、抓大頭法（ ）等方法外，還有以下幾種重要的方法。

1.用極限收斂準(zhǔn)則求極限

單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則是針對(duì)一些較難求極限的數(shù)列而用的方法。有一般項(xiàng)的表達(dá)形式時(shí)，可用此遞推公式，兩邊求極限，找到極限值。在證明數(shù)列單調(diào)性時(shí)，可以用兩種基本的方法：一是數(shù)學(xué)歸納法，二是求導(dǎo)數(shù)方法（導(dǎo)數(shù)大于（小于）零的函數(shù)遞增（遞減））。當(dāng)然也可以用反證法。

2.用兩個(gè)重要極限求極限

對(duì)第一重要極限 ，一般可以看成是形式 （1）此極限的應(yīng)用主要是用在等價(jià)無(wú)窮小 ～u（x）， 從而可以在求極限的過(guò)程中，用 替換u（x）。但要注意前提： 。

對(duì)第二重要極限 ，或 ，其實(shí)這里的x只是符號(hào)，可以用一般的形式：

或 （2）要給學(xué)生強(qiáng)調(diào)的是：不論是哪種形式，首先要看整個(gè)函數(shù)是不是 形式，如果是，就要化為第二類重要極限的標(biāo)準(zhǔn)形式（6）。

比如： 看似像第二類重要極限的形式，但不是 形式，不可以用第二重要極限來(lái)做。這種題用連續(xù)函數(shù)求極限的方法 ，直接代入x=0即可。

而 就要用第二重要極限來(lái)求，因?yàn)樗?的形式：

（3）用兩個(gè)重要極限時(shí)，常夾帶著等價(jià)無(wú)窮小的應(yīng)用。上面這個(gè)題解中就用到了幾個(gè)等價(jià)無(wú)窮小的替換： ～x， -1～- 。等價(jià)無(wú)窮小替換是求極限的重要的方法之一，應(yīng)該非常熟練地運(yùn)用。在運(yùn)用時(shí)要強(qiáng)調(diào)，只有乘除因子可以用無(wú)窮小替換，加減式中的因子不能用無(wú)窮小替換。

3.用洛必達(dá)法則

書本上，洛必達(dá)法則是在學(xué)了求導(dǎo)法則以后才介紹的。主要用于兩種不定型：“ 型”和“ 型”。當(dāng)然，還有很多形式： ， ， ， ， 等都可以轉(zhuǎn)化為兩種不定型，然后用洛必達(dá)法則來(lái)求解。在利用洛必達(dá)法則求極限時(shí)，首先要確定是不是兩種不定型中的一個(gè)，如果是，就可以用洛必達(dá)法則。

洛必達(dá)法則常常要結(jié)合其他求極限的方法一起使用[6]，除了結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小外，還可以結(jié)合變上限函數(shù)積分的求導(dǎo)法則來(lái)計(jì)算。比如：

求 ，這里分子分母是 型，可以用洛必達(dá)法則對(duì)分子分母同時(shí)求導(dǎo)。而分子是變上限函數(shù)求導(dǎo)，求導(dǎo)以后還需用等價(jià)無(wú)窮?。?～ ～ 。

所以有：

4.冪指函數(shù)和復(fù)雜函數(shù)的處理

冪指函數(shù)的極限計(jì)算是一個(gè)難點(diǎn)。（3）的原式是冪指函數(shù)。那里用了第二重要極限。在遇到冪指函數(shù)的極限計(jì)算 時(shí)，應(yīng)該和學(xué)生強(qiáng)調(diào)： 如果 和 ，那么， 。但如果 和 有一個(gè)極限不存在，就要化成： 。

對(duì)冪指函數(shù)求極限的另一個(gè)方法是先取對(duì)數(shù)再求導(dǎo)的方法。但必須指出，在兩邊取對(duì)數(shù)時(shí)，可能會(huì)丟掉一個(gè)零根，這要在最后檢查一下，并作交代。

除了以上幾種求極限的方法外，還有用泰勒展開式的前幾項(xiàng)求極限。至于到底展開到第幾項(xiàng)，要看分母是x的幾次方而定。 求極限的方法很多，這里只是強(qiáng)調(diào)一下幾種簡(jiǎn)單的求極限方法的注意點(diǎn)。而極限的思想貫穿于整個(gè)微積分教學(xué)中。積分中極限思想的體現(xiàn)尤為明顯。廣義積分就是無(wú)窮極限的應(yīng)用。而在分形的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型定義中就用到了廣義積分。

三、極限在分形中的應(yīng)用

1.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型

極限思想的產(chǎn)生來(lái)源于實(shí)踐，又應(yīng)用于實(shí)踐。極限的產(chǎn)生為數(shù)學(xué)的發(fā)展增加了新的動(dòng)力，它是近代數(shù)學(xué)思想和方法的基礎(chǔ)。極限思想是微積分的基本思想。而微積分在許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在講授極限知識(shí)時(shí)，可以介紹極限的一些應(yīng)用，以增強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，提高學(xué)習(xí)極限理論的興趣。

極限的應(yīng)用無(wú)處不在。微積分就是極限的最重要的應(yīng)用。極限思想在經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)、機(jī)械自動(dòng)化等各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。這里介紹一下極限在分形上的應(yīng)用。

分形物就是具有自相似性質(zhì)的物體[8]。自相似就是物體經(jīng)過(guò)放大以后，局部的形狀和原來(lái)整體的形狀相似。比如海岸線、柯西雪花等。這種自相似可以無(wú)止境地進(jìn)行下去，這就是一個(gè)典型的極限過(guò)程[7]。

布朗運(yùn)動(dòng)的模擬需要用到高斯白噪聲，而高斯白噪聲的模擬需要用極限表達(dá)式：WT（i） = Zn，這里Zn 是具有正態(tài)分布的隨機(jī)變量。布朗運(yùn)動(dòng)就是高斯白噪聲的無(wú)窮積分：B（t） = 。而無(wú)窮積分就是分割求和再求無(wú)窮極限的過(guò)程。

分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是帶有記憶的布朗運(yùn)動(dòng)。Mandelbrot and Van Ness （1968）[9]定義了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)：

（4）這是一個(gè)廣義積分，是從負(fù)無(wú)窮到現(xiàn)在的時(shí)刻t的極限過(guò)程。 是gamma 函數(shù)， H 是豪斯特指數(shù)（Hurst exponent）[10]。分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻t的狀態(tài)和之前的所有歷史時(shí)刻有關(guān)。這里B（t） 是平均值是零，具有單位方差的高斯隨機(jī)過(guò)程。 Mandelbrot and Van Ness （1968） [9]把（9）改進(jìn)為如下形式：

這里豪斯特指數(shù)H滿足 0 < H < 1（5），就是更新了的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的定義。這里的負(fù)無(wú)窮大可以改成極限的形式。而如何達(dá)到這一極限呢？在實(shí)際應(yīng)用中要采取逼近手段達(dá)到目的。

定義核方程：

則方程（5）可改變?yōu)?/p>

這個(gè)核當(dāng)s趨于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，很快趨于零。

考慮把 看成是成若干個(gè)單步增加的和，而單步增加：

單步增加的核方程是

從核方程（9）到核方程（10）經(jīng)過(guò)了核變量的轉(zhuǎn)化[8，11]，這里u = t – s. 把u=i-j代入方程（8）就有

.

因此，

當(dāng) 時(shí)， 即是離散型的高斯白噪聲（布朗運(yùn)動(dòng)）。顯然有

因此，作者在改變了（5）積分中的核以后得到一個(gè)更精確、更簡(jiǎn)單的計(jì)算公式[11]：

在公式（5）中的負(fù)無(wú)窮記憶已經(jīng)被（11）中的i-M取代了。而 M就是具有足夠大的記憶。M>0，必須有M>i。這一改進(jìn)也是無(wú)窮極限逼近的一個(gè)具體的應(yīng)用。作者發(fā)現(xiàn)，當(dāng)記憶M大于時(shí)間步長(zhǎng)的1倍時(shí)，所計(jì)算的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的軌跡誤差值就較小。當(dāng)然，M越大，軌跡就越精確。衡量一個(gè)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是否精確的標(biāo)準(zhǔn)是滿足下列公式：

這里，H是豪斯特指數(shù)， 是一個(gè)擴(kuò)散粒子云在時(shí)間t的標(biāo)準(zhǔn)差[8，11] 。

2. FBMINC模型的優(yōu)勢(shì)

作者改進(jìn)的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)離散型形式（FBMINC）和原來(lái)Mandelbrot 和 Van Ness定義的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)（FBM）之間差別不大。但作者的FBMINC模型改進(jìn)了原來(lái)FBM模型的精確度[8，11]。主要是當(dāng)H=0.8時(shí)，即擴(kuò)散程度增加時(shí)的誤差稍許明顯一點(diǎn)。FBMINC模型顯示了它比原來(lái)模型的精確性[8，11]。

理論上， 的標(biāo)準(zhǔn)差 應(yīng)該是不隨時(shí)間變化的常數(shù)。 隨時(shí)間的增加而增加。然而，F(xiàn)BMINC模型中的 總是常數(shù)。這是離散型的FBMINC模型的優(yōu)勢(shì)。

此外，當(dāng)記憶小于時(shí)間步長(zhǎng)的時(shí)候，計(jì)算 ，根據(jù)公式（12），F(xiàn)BM模型不能很好地模擬分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，而FBMINC雖然也對(duì)小記憶事件精確率不高，但比起FBM模型要改善了許多。

3.記憶長(zhǎng)度的確定

在運(yùn)用 FBM 和FBMINC 模型時(shí)，需要處理記憶 M與時(shí)間總步長(zhǎng) NSTEP 以及粒子云數(shù)目P 之間的關(guān)系。從分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)用于生成分形布朗運(yùn)動(dòng)和 FBMINC 的定義可以看出，（12）、（13）中的廣義積分的逼近公式的精確性與記憶M 的取值有關(guān)。記憶M 增越大，精確度越高。但考慮到計(jì)算的效率，需要設(shè)定一個(gè)臨界值M，保證逼近公式的精確性能達(dá)到一定的范圍內(nèi)。作者無(wú)法從文獻(xiàn)中找到答案，因此，作了一些具體實(shí)驗(yàn)，從而得到結(jié)論。

簡(jiǎn)單檢驗(yàn)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的精確性的方法是看公式（14）是否滿足。如果對(duì)時(shí)間t是一條直線，其梯度是2D的話，那么所模擬的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)就是精確的。這里，我們假定粒子數(shù)是P， P是一個(gè)很大的數(shù)。然而P 至少要多大才能精確呢？這里我們用FBMINC模型來(lái)檢驗(yàn)。

性質(zhì)1：當(dāng)時(shí)間總的步長(zhǎng)數(shù)NSTEP增加時(shí)，記憶也應(yīng)該相應(yīng)地增加。

在FBMINC模型中，需要滿足NSTEP M。那么記憶M要多少倍的NSTEP才能算是好的模擬？

四、結(jié)束語(yǔ)

極限思想是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中遇到的第一個(gè)較難理解的概念，正確理解和掌握極限的概念和思想方法是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在教學(xué)過(guò)程中，要做到循序漸進(jìn)，從形象到抽象，再到形象。本文力求通過(guò)極限思想教學(xué)中需要特別注意的幾個(gè)細(xì)節(jié)來(lái)強(qiáng)調(diào)極限教學(xué)的邏輯性和嚴(yán)密性，培養(yǎng)學(xué)生縝密的數(shù)學(xué)思維能力和邏輯推理能力，為后續(xù)課程教學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。極限思想貫穿于整個(gè)微積分的教學(xué)中。廣義積分正是無(wú)窮極限的應(yīng)用。而分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型的定義正是用了無(wú)窮限廣義積分這一概念。本文通過(guò)分形中的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型的建立和改進(jìn)，對(duì)無(wú)窮限廣義積分的逼近方法作了介紹。在無(wú)窮限廣義積分的求解中，作者通過(guò)變換核函數(shù)，用離散型的分步求和形式來(lái)逼近無(wú)窮限廣義積分。事實(shí)上，通過(guò)離散型的轉(zhuǎn)換，分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型的模擬結(jié)果可以得到改善，精確性得到了提高。這里，精確性是指的步長(zhǎng)跳躍的標(biāo)準(zhǔn)差不再隨時(shí)間的增加而增加；當(dāng)記憶很小時(shí)，也能較好地模擬分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的軌跡。作者最后對(duì)記憶長(zhǎng)度的確定和粒子數(shù)的確定作了研究，研究表明：當(dāng)記憶是時(shí)間步長(zhǎng)的10倍，粒子數(shù)是1000時(shí)，可以得到較理想的模擬。這種無(wú)窮限廣義積分的逼近方法能促進(jìn)對(duì)極限理論的進(jìn)一步理解，對(duì)極限的近似計(jì)算有著一定的指導(dǎo)作用。

【參考文獻(xiàn)】

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