UI2017江蘇卷第14題的三種解法

摘 要：高考區(qū)分題一直是一個高點(diǎn)，很多人望而生畏，然而只要基礎(chǔ)扎實，方法得當(dāng)，大膽創(chuàng)新，打開它是一件很美妙的事情。

關(guān)鍵詞：2017高考區(qū)分題；分段函數(shù)；數(shù)形結(jié)合

題目（2017·江蘇文理科，14）設(shè)f（x）是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間[0，1）上，f（x）=

x2，x∈D，x，xD，其中集合D=x|x=n-1n，n∈N*，則方程

f（x）-lgx=0的解的個數(shù)是。

方法一（以特殊代一般）：待求也是解題的已知信息。從待求“方程f（x）-lgx=0的解的個數(shù)是”給我們的啟示：答案與n無關(guān)，因此，我們可以從特殊值入手，求得答案。

取n=1，則D={0}，x∈[0，1）時，f（x）=x2，x=0，x，x≠0，

作出y=f（x）與y=lgx的圖象，如圖1，

由圖知，y=f（x）與y=lgx的圖象在[2，3），[3，4），…，[8，9）內(nèi)各有一個交點(diǎn)，計7個；

在[9，10），[10，11），…，上無交點(diǎn)；在[0，1）內(nèi)無交點(diǎn)；

要弄清楚x∈[1，2）時，y=f（x）與y=lgx的圖象除（1，0）外還有無其他交點(diǎn)？

易求y′=1xln10，y=lgx在（1，0）處的切線方程為y=1ln10（x-1）=lge（x-1），

顯然，當(dāng)1lge（x-1），∴y=f（x）與y=lgx的圖象在[1，2）內(nèi)有且只有1個交點(diǎn)。

綜上，y=f（x）與y=lgx的圖象有8個交點(diǎn)，即f（x）-lgx=0的解的個數(shù)是8。

方法二（數(shù)形結(jié)合法）：y=f（x）在[0，1）上的圖象為一條線段（含左端點(diǎn)不含右端點(diǎn)）扣去一個點(diǎn)n-1n，

n-1n，再補(bǔ)上一個點(diǎn)n-1n，n-1n2，

其值域是0，n-1n∪n-1n，1，n∈N*。

由0≤lgx<1得1≤x<10，因此，研究方程f（x）-lgx=0的解的個數(shù)，只須在1≤x<10內(nèi)。

作出y=f（x）的圖象，再作出y=lgx的圖象，如圖2，

易見y=f（x）與y=lgx的圖象在[2，3），[3，4），…，[8，9）內(nèi)各有一個交點(diǎn)；在[9，10）內(nèi)無交點(diǎn)；另外，y=f（x）與y=lgx的圖象在[1，2）內(nèi)有且只有1個交點(diǎn)（1，0）（仿方法一證明）。

∴y=f（x）與y=lgx的圖象有8個交點(diǎn)，即f（x）-lgx=0的解的個數(shù)是8。

方法三（大膽猜，小心證）：運(yùn)用特殊或數(shù)形結(jié)合，猜測出y=f（x）與y=lgx的圖象有8個交點(diǎn)，即f（x）-lgx=0的解的個數(shù)是8。

下面給出嚴(yán)格證明。

易求f（x）=（x-k）2，x-k∈D，x-k，x-kD，x∈[k，k+1），k∈Z。

f（x）的值域是0，n-1n∪n-1n，1，n∈N*。

由0≤lgx<1得1≤x<10，因此，研究方程f（x）-lgx=0的解，只須在1≤x<10內(nèi)。

設(shè)F（x）=f（x）-lgx，x∈[k，k+1），k=1，2，3，…，9。

先證明：x=n-1n（n∈N*）不是F（x）的零點(diǎn)。假設(shè)x=n-1n（n∈N*）是F（x）的零點(diǎn)，則n-1n-k2=lgn-1n，n>1，10（n-1-kn）2=n-1nn2，左邊為整數(shù)，右邊為真分?jǐn)?shù)，矛盾，∴x=n-1n（n∈N*）不是F（x）的零點(diǎn)。

再證：在[1，2）上時，F(xiàn)（x）的零點(diǎn)有且只有一個x=1，此時k=1。

顯然，k=1時，F(xiàn)（1）=0，∴x=1是F（x）的零點(diǎn)。

當(dāng)10，∴F（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，∴F（x）>F（1）=0，∴F（x）在（1，2）上有且只有一個零點(diǎn)x=1。

最后證明：F（x）在[k，k+1）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，k=2，3，…，8。

當(dāng)x∈[k，k+1），k=2，3，…，9時，F(xiàn)（k）=-lgk<0；F（k+1）=1-lg（k+1）=lg10k+1>0

Symbol^C@ 2≤k<9，又F（x）在[k，k+1）上連續(xù)，∴F（x）在[k，k+1）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，k=2，3，…，8。

綜上，F(xiàn)（x）在x>0上有且只有8個零點(diǎn)，故f（x）-lgx=0的解的個數(shù)是8。

方法四（換元簡化）：f（x）-lgx=0

Symbol[C@ f（x）=lgxT=1

Symbol^C@ f（x-k）=lgx，k∈Z。

設(shè)t=x-k，則t∈[0，1），方程化為f（t）=lg（t+k），t∈[0，1）。

f（t）=t2，t=n-1n，t，t≠n-1n，（n∈N*），其值域是

0，n-1n∪n-1n，1，n∈N*。

由0≤lg（t+k）<1有1≤t+k<10，又t∈[0，1），k∈Z，∴k=1，2，…，9。

先證明：t=n-1n（n∈N*）不是f（t）=lg（t+k）的解。假設(shè)t=n-1n（n∈N*）是f（t）=lg（t+k）的解，則n-1n2=lg

n-1n+k，∵當(dāng)k=2，…，9時，2

n-1n+k必為無理數(shù)，而n-1n2為有理數(shù)，矛盾，∴t=n-1n（n∈N*）不是f（t）=lg（t+k）的解。

注：n-1n是既約分?jǐn)?shù)，且是真分?jǐn)?shù)。

再證：當(dāng)k=1時，f（t）=lg（t+k）有唯一解t=0。

當(dāng)k=1時，n-1n2=lgn-1n+1，

∵n-1n+1∈[1，2），∴l(xiāng)gn-1n+1有唯一的有理數(shù)lg1=0，此時，n=1，∴f（t）=lg（t+k）有唯一解t=0。

最后證明：f（t）=lg（t+k）在[0，1）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，k=2，3，…，8。

當(dāng)k=2，3，…，9時，f（t）=lg（t+k）

Symbol^C@ t=lg（t+k），t∈[0，1）。

設(shè)F（t）=t-lg（t+k），t∈[0，1），k=2，3，…，9，則F′（t）=1-lget+k=t+k-lget+k

>0，

∴F（t）在[0，1）上增。

∵F（0）=-lgk<0；F（1）=1-lg（k+1）=lg10k+1>0

Symbol^C@ 2≤k<9，又F（t）在上連續(xù)[0，1），∴當(dāng)k=2，3，…，8時，F(xiàn)（t）在[0，1）內(nèi)有唯一零點(diǎn)。

綜上，F(xiàn)（t）=t-lg（t+k），t∈[0，1）有且只有8個零點(diǎn)，故f（x）-lgx=0的解的個數(shù)是8。

最后用四句話概括：分段函數(shù)嵌集合，周期對數(shù)尋零點(diǎn)；特值數(shù)形大膽猜，零點(diǎn)存在嚴(yán)謹(jǐn)證。

作者簡介：邢富根，江蘇省南京市，南京淳輝高級中學(xué)。