|x|α在一類結(jié)點組的有理插值

蔣銀停，趙 易，許江海

(杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018)

|x|α在一類結(jié)點組的有理插值

蔣銀停，趙 易，許江海

(杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018)

有理插值；Newman-α型有理算子；稠密；逼近階

0 引 言

1918年，文獻[1]證明了在等距結(jié)點處的關(guān)于Lagrange插值多項式序列的一個經(jīng)典的結(jié)果，除了端點及零點，該插值多項式序列在任何其它點處都發(fā)散.1964年，文獻[2]發(fā)現(xiàn)|x|的有理插值的逼近階遠優(yōu)于其Lagrange插值逼近.之后，有不少研究者考慮了在不同類型結(jié)點組的Newman型插值.如文獻[3]與文獻[4]分別給出了當結(jié)點組取作Chebyshev結(jié)點及調(diào)整的Chebyshev結(jié)點時的相應(yīng)的逼近階.

比較文獻[3]與文獻[4]的結(jié)論，并從文獻[4]中得到靈感，2003年，文獻[5]的作者構(gòu)造了一類新的結(jié)點組，并計算了函數(shù)|x|在此結(jié)點組處的有理插值逼近階.

以上問題均關(guān)于函數(shù)|x|展開，討論其在不同結(jié)點組處的多項式插值與有理插值；另一方向的推廣，是對函數(shù)|x|的探究.2000年，文獻[6]把Bernstein的結(jié)果推廣到更一般的情況，即當0<α≤1時，|x|α的Lagrange插值多項式有類似的發(fā)散性.

本文研究|x|α的有理插值問題，并討論其逼近度.可以證明，在選取適當插值結(jié)點的情況下，其逼近效果較好.同時，本文結(jié)論也包含了之前的一系列結(jié)果.

1 rn,α(X;x)對|x|α的有理逼近

定義Newman-α型有理算子如下：

本文采用文獻[5]中的插值結(jié)點，具體構(gòu)造如下：

當n為奇數(shù)時，即n=2m-1，記

x1=1/m2,x2=2/m2,…,xm-1=(m-1)/m2,xm=1/m,…,x2m-1=1.

(1)

當n為偶數(shù)時，即n=2m，記

x1=1/(m+1)2,…,xm-1=m/(m+1)2,xm+1=1/(m+1),…,x2m=m/(m+1).

(2)

本文主要針對式(1)和式(2)的結(jié)點組，討論rn,α(X;x)對|x|α的有理逼近.

證明 首先取x∈(j/m2,(j+1)/m2),j=1,2,…,m-1.有

由于x≥0，1-x≤e-x，

上述證明只獲得在區(qū)間[1/m2,1/m]時的結(jié)論，同理可證在區(qū)間[1/m,1]上，

引理即證.

其中

情形2 當x∈[1/m2,1/m]，j/m2≤x≤(j+1)/m2，j=1,2…,m-1.當n充分大時

并且

其中，j+2≥3,j+3≥4,…2j≥j+1,2j+1≥j+2.

故

最后，需要證明上述的逼近階是不可改善的，令x*=x*(n)=α/(m2logm)，x*∈(0,1/m2)，仍由引理，當n充分大時，有

(3)

由此可得

2 結(jié)束語

[1]BERNSTEINS.Quelquesremarquessurlinterpolation[J].MathematischeAnnalen，1918，79(1):1-12.

[2]NEWMANDJ.Rationalapproximationto|x|[J].Michigan Mathematical Journal，1964，11(1):11-14.

[3]BRUTMAN L，PASSOW E.Rational interpolation to |x| at the Chebyshev node[J].Bulletin of the Australian Mathematical Society， 1997，56(1):81-86.

[4]BRUTMAN L.On rational interpolation to |x| at adjusted Chebyshev nodes[J].Journal of Approximation Theory，1998，95(1):146-152.

[5]ZHAO Yi， ZHOU S P.Some remarks on rational interpolation to |x| [J].Journal of Mathematical Research &Exposition，2003，23(1):65-70.

[6]REVERS M.The divergence of Lagrange interpolation for |x|αat equidistant notes[J].Journal of Approximation Theory，2000，103(2):269-280.

[7]張慧明，段生貴，李建俊.|x|α在第二類Chebyshev結(jié)點的有理插值[J].四川師范大學學報(自然科學報)，2015，38(06):889-892.

Rational Interpolation to |x|αon a Set of Interpolation Nodes

JIANG Yinting, ZHAO Yi, XU Jianghai

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

rational interpolation; Newman-αtype rational operator; density; approximation order

10.13954/j.cnki.hdu.2017.01.020

2016-05-25

國家自然科學基金資助項目(11601110)

蔣銀停(1992-),男,安徽宿州人,碩士研究生,函數(shù)逼近論.通信作者：趙易副教授；E-mail：zhaoyi@hdu.edu.cn.

O174.41

A

1001-9146(2017)01-0091-04