對(duì)一道調(diào)考題的探究

文︳陳 峰

對(duì)一道調(diào)考題的探究

文︳陳 峰

長(zhǎng)沙市2017屆高三1月調(diào)考理科卷第20題，是一道圓錐曲線綜合題。該題表述簡(jiǎn)單大氣，以圓與切線為引，圓化橢圓，其中涉及橢圓第一定義、第二定義，內(nèi)涵頗豐，視角頗廣。這是一道以能力立意，能有效區(qū)分學(xué)生水平，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的好題。

一、多角度賞析試題

如圖，P是直線x=4上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的圓Γ經(jīng)定點(diǎn)B（1,0），直線l是圓Γ在點(diǎn)B處的切線，過(guò)A（-1,0）作圓Γ的兩條切線分別與l交于E、F兩點(diǎn)。

（1）求證：|EA|+|EB|為定值；

（2）設(shè)直線l交直線x=4于點(diǎn)Q，證明：|EB|· |FQ|=|FB|·|EQ|。

視角一：解析幾何通法。

解法1：（1）設(shè)AE切圓Γ于C，故EC=EB。從而|EA|+|EB|=|AC|=所以|EA|+|EB|為定值4。

（2）由（1）同理可知|FA|+|FB|=4，故E、F均在橢圓上，設(shè)直線EF的方程為x=my+1（m≠0）。

設(shè)E（x1，y1）、F（x2，y2），則有，。因?yàn)镋、B、F、Q在同一條直線上，所以|EB|·|FQ|=|FB|·|EQ|等價(jià)于（yB-y1）（yQ-y2）=（y2-yB）（yQ-y1），即-y1·等價(jià)于2y1y2=（y1+y2）·，代入y1+y2=-，y1y2=知上式成立，所以|EB|·|FQ|=|FB|·|EQ|。

賞析：上述解法其實(shí)是最本真、最自然的解法，也是較多學(xué)生采用的一種解法。通過(guò)聯(lián)立直線方程，利用韋達(dá)定理，并結(jié)合相似三角形的知識(shí)，達(dá)到證明目的。這道看似普通的解析幾何題蘊(yùn)含著一個(gè)非常重要的幾何性質(zhì)。出題人構(gòu)思巧妙，用圓與切線包裝橢圓，結(jié)構(gòu)優(yōu)美，是一道值得深究的好題。

視角二：運(yùn)用直線參數(shù)方程參數(shù)t的幾何意義求解。

解法2：（2）由（1）同理可知|FA|+|FB|=4，故E、 F均在橢圓上。

因?yàn)镋、B、F、Q在同一條直線上，所以|EB|·|FQ|= |FB|·|EQ|等價(jià)于|t1|（|t3|-|t2|）=|t2|（|t3|+|t1|），等價(jià)于2|t1t2|=|t3|（|t1|-|t2|），即2|t1t2|=|t3||t1+t2|，代入t1+t2=，顯然成立。所以|EB|·|FQ|=|FB|·|EQ|。

賞析：將參數(shù)方程與橢圓方程聯(lián)立，由t的幾何意義，直接利用韋達(dá)定理即可證明。此法是從結(jié)論立意，從要證明的命題中發(fā)現(xiàn)所有線段都為直線EF上的線段，而直線方程中兩點(diǎn)之間的距離又可用含參數(shù)t的式子表達(dá)。所以，我們要善用所學(xué)的知識(shí)將問(wèn)題簡(jiǎn)化。

視角三：圓化橢圓。

解法3：（2）設(shè)圓心坐標(biāo)為（4，p)，若要證|EB|·|FQ|=|FB|·|EQ|，由（1）知|EC|=|EB|，|FB|= |FD|，故只需證|EC|·|FQ|=

由切點(diǎn)弦方程易知，過(guò)圓外一點(diǎn)A所得切點(diǎn)弦CD所在的直線方程為：（x-4）（-1-4）+（y-p）（0-p）=9+p2，即5x+py-11=0。

設(shè)直線CD交x=4于點(diǎn)G，易得yG=。

設(shè)EF的直線方程lEF：y=kEF（x-1）。因?yàn)橹本€EF切圓Γ于點(diǎn)B，且，所以由kPB·kEF=-1可得。故（x-1）。令x=4，得所以G、Q兩點(diǎn)重合。

由（1）知，AC=AD，所以∠ADC=∠ACD，不妨作EI∥AD交CQ于點(diǎn)I。那么，∠EIC=∠ADC=∠ACD，所以|EI|=|EC|。

在△QFD與△QEI中，∠FQD=∠EQC，∠FDQ=∠CEQ，所以△QFD△QEI，則有，命題得證。

賞析：本解法注意到了第（1）問(wèn)的鋪墊作用，是以聯(lián)系的視角看問(wèn)題，利用圓的知識(shí)解決橢圓問(wèn)題。利用切點(diǎn)弦的知識(shí)，找到切點(diǎn)弦所在直線方程，從而得到三點(diǎn)共線這一關(guān)鍵，最后利用相似三角形比例關(guān)系使命題得證。這種解法避開(kāi)了聯(lián)立方程的復(fù)雜計(jì)算，純粹以圓的知識(shí)立意，圓化橢圓，不僅使解答簡(jiǎn)單明了，也充分利用了圓與橢圓之間內(nèi)在的聯(lián)系。

視角四：追本溯源。

解法4：（2）解：過(guò)點(diǎn)F作FF'⊥PQ于F',過(guò)點(diǎn)E作EE'⊥PQ于E'。因?yàn)閤=4是橢圓=1的準(zhǔn)線，從而由橢圓的第二定義可知，F(xiàn)F'=又易知△QFF'△QEE'，。所以|EB|·|FQ|= |FB|·|EQ|。

賞析：不難發(fā)現(xiàn)該試題中的定直線x=4恰好是橢圓的右準(zhǔn)線，而要證明的等式|EB|·|FQ|= |FB|·|EQ|中，|EB|、|FB|實(shí)際上就是橢圓的焦半徑。因此可從橢圓的第二定義立意，再利用相似三角形找對(duì)應(yīng)的比例關(guān)系。這種解法較解法1、2、3而言要簡(jiǎn)便，是因?yàn)樵摻夥◤乃C明結(jié)論的本源出發(fā)，從命題背景展開(kāi)思路，利用橢圓第二定義找到出路。

二、問(wèn)題的本源探究

問(wèn)題需要弄清楚其本質(zhì)，我們就需要引導(dǎo)學(xué)生去掉問(wèn)題的背景材料，引導(dǎo)學(xué)生揭示被千變?nèi)f化的表象所掩蓋的數(shù)學(xué)本質(zhì)，還數(shù)學(xué)以本來(lái)面目。所以，對(duì)于有一定數(shù)學(xué)背景的題，追本溯源往往會(huì)有意想不到的收獲。另外，本試題的美妙之處不僅在于深刻地揭示了圓錐曲線的焦半徑與準(zhǔn)線的內(nèi)在聯(lián)系，而且具有推廣與引申的價(jià)值。

三、試題的延伸探究

由于第二定義作為圓錐曲線的統(tǒng)一定義，那么上述結(jié)論是否能引申至雙曲線與拋物線中呢？

結(jié)論3.過(guò)拋物線y2=2px（x＞0）焦點(diǎn)F作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，則|AF|·|BQ|= |BF|·|AQ|。

根據(jù)拋物線的定義知AA'=AF，BB'=BF。又由于△QAA'△QBB'，所以故|AF|·|BQ|=|BF|·|AQ|。

圓錐曲線是高考考查的重難點(diǎn)和熱點(diǎn)。從教學(xué)角度來(lái)說(shuō)，我們應(yīng)在研究教材和考試大綱的基礎(chǔ)上，重視對(duì)命題規(guī)律的研究，通過(guò)多題共析歸納解題規(guī)律，運(yùn)用知識(shí)間的聯(lián)系挖掘試題背景，從而形成解答圓錐曲線綜合題的通性、通法。

（作者單位：長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)）