從數(shù)學史出發(fā)
——“圓的周長”課堂實錄與設計意圖

文︳張新春

從數(shù)學史出發(fā)
——“圓的周長”課堂實錄與設計意圖

文︳張新春

課堂實錄

一、談話引入

師：咱們第一次見面，知道張老師姓什么嗎？（生笑）我其實不是這個意思，zhang這個姓，都是念zhang，但這是兩個不同的姓，你們知道嗎？（知道）對，一個是“立早章”，另一個是“弓長張”，知道張老師姓哪個zhang嗎？

生：弓長張！

師：是的，說到弓長張的弓，我還真帶了一張弓，（出示弓）我和我女兒一起做的，我女兒也上六年級。弓長，弓長，我想請大家?guī)臀伊恳涣窟@個弓到底有多長，誰來幫我？我這里有尺。（學生上臺量）看懂了他是怎么量的嗎？他剛才解決了一個很難的問題，你們有沒有注意到？

生：尺子是直的，但弓是彎的。用直的量彎的很難。

師：把彎的東西變成了直的東西，是這樣嗎？好了，關于張老師的姓以及“弓有多長”的事兒，咱們就說到這兒，現(xiàn)在開始上課。今天要學的是圓的周長。（板書課題）

二、概念理解

師：我們前段時間學過圓，周長在三年級的時候就學過。（課件出示一個圓）那圓的周長是什么意思呢？

生：圓的長度；圓外框那條長線的長度；圓的一周。

師：這樣說起來有點難懂，我想了一個辦法。（課件演示圓上出現(xiàn)一只螞蟻，如圖1）我想讓它爬行。（課件演示螞蟻爬行一周）螞蟻爬的這個路線的長度就是圓的周長。如果這個圓擺在你面前，你估計一下它的周長大概有多長？不好說，沒有數(shù)據(jù)，是嗎？給大家一個數(shù)據(jù)吧。（課件出示圖2）這是個多大的圓？

生：直徑為10厘米的圓。

師：直徑為10厘米的圓，咱們現(xiàn)在先估一估它的周長有多少。（給出一個答案10厘米）大家覺得這個答案靠譜嗎？為什么？

生1：小了，因為圓的周長比直徑長。

師：那20厘米呢？

生2：還是短了，因為20厘米就是10厘米的兩倍，還是不夠。師：有沒有同學能說清楚為什么兩倍還是不夠？生3：因為上面的一半比10厘米要大，下面的一半肯定也比10厘米大。

師：那30厘米呢？（差不多）不太好說哦，40厘米呢？為什么？

圖1

圖2

生4：大了。因為這個正方形的周長就是40厘米，這個圓的周長沒有這個正方形的周長長。

師：也就是說我們現(xiàn)在能確定的是這個圓的周長比20厘米要大，比40厘米要小，是不是30厘米不太好說，對不對？（生點頭）當然，如果我們硬要搞清楚它的周長是多少，可以用剛剛量弓的辦法，但老是用量，不是好辦法。

三、質(zhì)疑驗證

師：其實，古人對圓的周長是有研究的，并且還有研究的成果，想不想看一看古人的成果？（想）這有本書，名字叫做《周髀算經(jīng)》，書上有一個關于圓的研究，它的研究結果是“周三徑一”，你懂嗎？“周”是什么？“徑”是什么？“周三徑一”又是什么意思？

生5：“周”是周長，“徑”是直徑，“周三徑一”是說周長是直徑的3倍。

師：古人說的“周三徑一”，我們能不能把它翻譯成現(xiàn)在的數(shù)學語言？比如，我們知道，直徑用字母d表示，周長一般用C表示，這么一來，“周三徑一”可以翻譯成什么樣子呢？

生6：C=3d。

師：C=3d，你們同不同意？你相信嗎？（學生意見不一）怎么辦呢？

生7：我們可以動手量一下周長。

師：就研究研究，是不是這個意思？如果要研究“周三徑一”是否正確，應該如何做？同桌之間說一說，怎么就叫研究了？我們就能判斷了？（同桌之間相互說）看來找到研究的方法并不是那么容易的，我們先來聽聽幾位先找到的同學的想法，好不好？

生8：用軟尺圍著圓的一周量出圓的周長，再量出直徑，然后除一下，看看是不是等于3。

師：你們同意她的辦法嗎？比如，張老師手上有一個圓，我知道它的直徑是5厘米，我還做一件什么事，就能判斷“周三徑一”是否正確？

生9：想辦法量出圓的周長。

師：（課件出示表格）假設我這里有3個圓，它的直徑分別是3厘米、4厘米、5厘米，如果“周三徑一”真的正確，A號圓的周長應該是多少？B呢？C呢？請同桌兩人拿出你們的信封，想辦法量一量，看它到底對還是不對。在研究問題的時候，盡量不要有成見，客觀地記錄數(shù)據(jù)。

研究“周三徑一”是否正確圓直徑（厘米）研究結論A 3 9若“周三徑一”正確，周長應為（厘米）B 4 12實際測量得到周長為（厘米）C 5 15

學生動手操作，然后匯報。

生10：我測量的A號圓的周長是10厘米，B號圓的周長是13厘米，C號圓的周長是15厘米。

生11：我研究的A號圓的周長是9.4厘米，B號圓的周長是12.6厘米，C號圓的周長是16.7厘米。

生12：我測量的A號圓的周長是9.6厘米，B號圓的周長是12.7厘米，C號圓的周長是16.7厘米。

生13：我測量的A號圓的周長是9.5厘米，B號圓的周長是11.5厘米，C號圓的周長是14.5厘米。

師：看著這些數(shù)據(jù)，你們有什么結論？

生14：“周三徑一”應該是正確的。（師質(zhì)疑）因為古人的結論不是完全準的，會有一點偏差。

生15：大概古人量得不精確，跟我們量的有誤差，不好說它對或者不對。

生16：我認為應該是不正確的，這里面沒有一個跟它的數(shù)據(jù)是一模一樣的。

師：但是有一個問題，一個不對的東西，怎么流傳到了今天？2000多年了，我們還知道它，難道它一點價值都沒有嗎？

生17：它盡管不對，但是也差不多了。

師：差不多的話，那C=3d就不行呀，怎么改一下才好？

生17：C≈3d。

師：這樣是不是好一些，也許這就是“周三徑一”在《周髀算經(jīng)》里本來的意思，可不可能？（生點頭）“周三徑一”其實就是C≈3d。如果按照這個觀點，開始的那個圓的周長應該是多少？（約等于30厘米）

四、歷史探尋

師：現(xiàn)在我們已經(jīng)對“周三徑一”的意義有了新的理解，那今天這個圓的周長是不是就學完了呢？

生：不是，應該還要學準確地算圓的周長。

師：是的，“約等于”那可不行。你覺得古人會不會就此罷手？一定會要繼續(xù)研究！是的，有一個人就繼續(xù)研究了，他叫劉徽。他將這個3改進成了3.14，采用的辦法叫割圓術，想不想看看？（課件演示）這是一個正六邊形，眼力好的同學應該可以看出來，這個正六邊形的周長是多少？（這個正六邊形的周長真的是圓直徑的3倍）圓呢？圓的周長要比這個正六邊形大一點。這是劉徽開始的研究，然后他不斷地增加邊數(shù)。你發(fā)現(xiàn)沒有，邊數(shù)越來越多，這個正多邊形就越來越接近圓了。

這是正48邊形，老師為什么停在這里呢？因為事實上，劉徽在割圓的時候，從正六邊形割到了正48邊形，然后說了“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”。這是劉徽的說法，他把C≈3d改造成了C≈3.14d。那么在劉徽看來，開始的那個圓的周長是多少呢？（約等于31.4厘米）精確很多了對不對？那我們是不是就此結束？

又有一個人很厲害，知道他是誰嗎？（祖沖之）祖沖之把這個結果改進到3.1415926與3.1415927之間。所以在祖沖之看來，C至少等于3.1415926d，最多不超過3.1415927d，這個結果比“周三徑一”更精確了。祖沖之還發(fā)現(xiàn)了兩個分數(shù)特別接近。如果你感興趣，課后可以去了解。按照祖沖之的觀點，我們開始那個圓的周長最多不超過31.415927厘米，最少也有31.415926厘米，這個已經(jīng)很精確了，那精確到什么程度呢？讓我們發(fā)揮想象力，地球是球形的，球上有一個最大的圓，比如赤道就是球上的一個最大的圓，那個圓有多大，知道嗎？大概4萬千米，它的直徑是1.3萬多千米。我們把它想象成一個標準的圓，用祖沖之的結論計算赤道的周長，你能猜想它的誤差是多少嗎？與準確值的差距不超過1.5米，只是你我之間的距離而已。祖沖之是不是很厲害？你說我們會不會在祖沖之這里停下來呢？當然不能，后人還進行了很多非常有價值的研究，不過非常遺憾，我們現(xiàn)在所學的數(shù)學知識還稍微少了點，老師沒有辦法跟大家一一介紹。

這個呢，是老師得到的一個新的資料，大家看看，算到了多少位呀？

2011年10月16日，日本長野縣坂田市公司職員近藤茂利用家中電腦將圓周率計算到小數(shù)點后10萬億位，刷新了2010年8月由他自己創(chuàng)下的5萬億位吉尼斯世界紀錄。56歲的近藤茂使用的是自己組裝的計算機，從10月起開始計算，花費約一年時間刷新了紀錄。3被改進成精確到小數(shù)點后10萬億位的小數(shù)。假設1秒讀1位，一個人不分晝夜地讀完這些天文般的數(shù)字要花30多萬年。若將它們?nèi)繉懙胶?.1毫米的紙上，每張紙上寫1萬位，這些紙堆起來將比10座珠穆朗瑪峰還高。

我特別喜歡一張圖，給大家看一下，有個人在一張紙上寫出了圓周率的小數(shù)點后八百多位，挺好玩的。

五、回顧總結

師：好了，我們回顧一下圓周率的研究過程，一開始《周髀算經(jīng)》說C≈3d，結果劉徽改進成了C≈3.14d，后來祖沖之把它改進成了C≈3.1415926d到3.1415927d，后來又有很多很多，對不對？但是你發(fā)現(xiàn)沒有，這里全是“約等于”。那到底等于多少呢？這個事情已經(jīng)有研究，研究的結果可能會讓你失望，第一，這個數(shù)你寫不完，寫不完的數(shù)你見過沒有？（循環(huán)小數(shù)）第二，這個數(shù)根本就不循環(huán)。那它等于什么呢？寫不完又不循環(huán)，那就找個符號吧，古人也是這么做的，這個符號就是π，也就是C＝πd。C＝πd是我們今天研究的結果，是什么意思呢？圓的周長是直徑的π倍。無論是大圓還是小圓，所有的圓，它的周長都是直徑的π倍，換一句話說，只要我告訴你圓的直徑，你就可以求出圓的周長。那如果我告訴你半徑呢？

師：課到這就差不多上完了，老師想請大家課后設計兩個與圓的周長有關的數(shù)學問題，一個最好是很簡單的，另一個是你認為比較難的。如果你還有興趣，設計一個超難的也可以，設計好了，把答案做出來，和同學交流。關于圓周率，數(shù)學上還有很多有意思的事兒，大家可以課后再多多了解。

設計意圖：

1.關于數(shù)學史材料的使用

數(shù)學家龐加萊說，“動物學家認為動物胚胎在發(fā)育的短期內(nèi)，歷經(jīng)其祖先進化的一切關鍵年代，人類思維的發(fā)展也是這樣。因此，教育的職責就是創(chuàng)造條件，讓學生的思維過程歷經(jīng)人類祖先之所經(jīng)歷，而不跳過任何階段。教育的指南是科學史”。龐加萊的觀點中涉及一個概念——歷史發(fā)生原理，也有人叫重現(xiàn)法則。這本來是生物學中的一個概念，簡單地說，即個體的發(fā)育史會重蹈種族的發(fā)展史。生物學家通過反復觀察研究發(fā)現(xiàn)：人類從胚胎到出生的這一階段的發(fā)育，幾乎經(jīng)過了哺乳動物由低級動物進化的整個歷程。如果將這一規(guī)律應用到數(shù)學教育上，則人類個體學習數(shù)學的過程，在很大程度上是重現(xiàn)前人探索數(shù)學的歷程。

波利亞持有與龐加萊相同的觀點。他指出：“只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識，我們才能對人類的孩子應該如何獲得這樣的知識作出更好的判斷?！?/p>

在小學數(shù)學中，無論是教材編寫還是課堂教學，都常有數(shù)學史材料的出現(xiàn)。但這些材料的使用方式往往比較簡單。在教材中，它們大多以補充材料的形式呈現(xiàn)。在課堂教學中，往往在一節(jié)課將要結束時出現(xiàn)，形式大多是朗讀一段史料。其價值局限于了解一些趣聞，開闊一下眼界，或進行一些簡單的思想教育——某某成果，中國領先世界其他國家若干年。如果將課堂教學比作一份大餐的話，數(shù)學史材料只能算是涼菜、小菜，從來不是主菜。

中國老一輩數(shù)學家余介石與倪可權在合著的《數(shù)之意義》一書中主張：“歷史之于數(shù)學，不僅在名師大家之遺言軼事，足生后學高山仰止之思，收聞風興起之效，更可指示基本概念之有機發(fā)展情形，與夫心理及邏輯程序，如何得以融和調(diào)劑，不至相背，反可相成，誠為教師最宜留意體會之一事也?！痹诒菊n的教學中，我們不僅滲透相關的數(shù)學史，更是基于數(shù)學史的材料，將課堂教學展開的主線與圓周率產(chǎn)生發(fā)展的歷史線索結合起來，讓學生重走了他們能走的、人類研究圓周率的關鍵幾步。這樣，把數(shù)學史材料做成了課堂教學這一大餐的主菜。學生在學習過程中，不僅了解“名師大家之遺言軼事”，更能將圓周率這一概念的發(fā)生發(fā)展“與夫心理及邏輯程序，如何得以融和調(diào)劑，不至相背，反可相成”。

2.科學精神的培養(yǎng)

所謂科學精神，主要是指學生在學習、理解、運用科學知識和技能等方面所形成的價值標準、思維方式和行為表現(xiàn)，具體包括理性思維、批判質(zhì)疑、勇于探究等基本要點。本課教學中，教師針對古人“周三徑一”的說法，通過“你懂嗎？”和“你相信嗎？”這兩個問題，引導學生從理解、質(zhì)疑古人的結論“周三徑一”開始進行學習與探索。當部分學生表示相信，部分學生表示不信時，教師引導學生直面這一局面，并想辦法解決問題：相信，不能因為是書上寫的所以信，也不能因為我感覺可能是對的所以信；不信，也不能僅僅是類似的原因。一方面是要批判、要質(zhì)疑，另一方面，又要有理性思維、能言之有據(jù)。在尋找證據(jù)的探究活動中，本課較之通常也有明顯的不同。在通常的探究活動中，教師往往會出示明確的探究過程，學生只需按圖索驥即可。而在本課中，教師先提出問題：“如果要研究‘周三徑一’是否正確，應該如何做？”討論這樣的問題，不僅是要讓學生勇于探究，而且要善于探究，要掌握探究的基本方法。

（作者單位：長沙市教育科學研究院）