數(shù)學思想與教育

趙雁

【摘 要】本文從數(shù)學哲學、數(shù)學知識系統(tǒng)結(jié)構、數(shù)學方法論和數(shù)學發(fā)展歷史分析的角度對數(shù)學思想進行了思考，提出了以基元與整體、轉(zhuǎn)化與整合、擴張與因襲作為數(shù)學思想的基本構成要素。并在此基礎上，探討了數(shù)學思想與數(shù)學教育的本質(zhì)聯(lián)系?；c整體 轉(zhuǎn)化與整合 轉(zhuǎn)化與整合 數(shù)學思想與數(shù)學活動

【關鍵詞】基元與整體；轉(zhuǎn)化與整合；擴張與繼承；數(shù)學思想與數(shù)學活動

數(shù)學是一種人類活動，這種活動的外在形式是人類按照自身的需要逐步建立起來的一個知識系統(tǒng)。因此，它凝聚了人類的智慧，蘊涵了人類豐富而深刻的思想，體現(xiàn)著主體的信念、意向、目的、行為準則和思維方式，充分反映了人與自然和諧關系之中人的主體性特點。

數(shù)學研究常常表現(xiàn)為數(shù)學家們的個體行為，但又不可避免地要受到社會環(huán)境的制約和影響。數(shù)學家們的研究和討論必須使用“數(shù)學共同體”一致接受的語言（概念、符號體系等），運用“數(shù)學共同體”公認的方法，得出的定理或結(jié)論必須為“數(shù)學共同體”接受和認同。因而，數(shù)學研究又反映出社會性特點。

數(shù)學研究的社會性特點隱含了規(guī)范性成分，如核心思想、框架、合理性標準、準則、組織形式及推理方式等，這成為一種數(shù)學傳統(tǒng)和精神，為人們所共有，數(shù)學更多地關注普遍性、系統(tǒng)性、基礎性、不變性、程序性和滲透性。而數(shù)學化則是指數(shù)學地組織現(xiàn)實世界的過程和方式，即抽象化、符號化、模式化、形式化和系統(tǒng)化，這是數(shù)學思想的基本原則。數(shù)學要求概念具有單純性，論證具有確定性，分類具有徹底性和完備性，而拒絕非規(guī)律性的概括和反對未經(jīng)驗證的類比。當我們論及數(shù)學思想的時候，不可以對此毫不論及。在學習數(shù)學時，它們客觀上成為一種背景或預設，制約并規(guī)范著我們的活動，人們對此交流無礙，這正反映了數(shù)學的文化特性。

一、基元與整體

“元”指某種獨立存在物，“基元”即指基本的獨立存在物，基元是構成整體的要素，也是認識整體的基礎，基元與整體有一種特殊的共生關系，是一組相輔相成的概念.

系統(tǒng)或結(jié)構中，主要有兩種類型的基元，一種是決定系統(tǒng)或結(jié)構本質(zhì)屬性的初始基元或單位基元，另一種是決定系統(tǒng)或結(jié)構組織特征的構造基元。例如“1”是自然數(shù)的初始基元，“后繼的規(guī)則”是自然數(shù)的構造基元，由“1”及“后繼的規(guī)則”構造出全體自然數(shù)；三角形是多邊形的初始基元，多邊形的三角剖分是多邊形的構造基元；基本初等函數(shù)是初等函數(shù)的初始基元，基本初等函數(shù)的代數(shù)運算與復合運算是初等函數(shù)的構造基元；初始條件是遞推數(shù)列的初始基元，遞推關系則是它的構造基元等等，初始基元具有根基性、歸納性、特殊性和具體性，構造基元具有發(fā)展性、演繹性、一般性和抽象性，兩種類型的基元構成數(shù)學系統(tǒng)或結(jié)構的基本研究范式，體現(xiàn)出數(shù)學知識系統(tǒng)的結(jié)構性特點。

系統(tǒng)或結(jié)構的層次帶來了基元與整體的層次性或相對性.一個系統(tǒng)或結(jié)構對其自身的基元來說是整體，同時，它又可以是更高層次系統(tǒng)或結(jié)構的基元。這實際上決定了數(shù)學抽象的本質(zhì)，由此，產(chǎn)生了數(shù)學抽象度分析理論。

基元與整體思想運用于數(shù)學教育，則是要求重視知識的組織方式或結(jié)構方式，即強調(diào)對數(shù)學知識系統(tǒng)的內(nèi)在結(jié)構規(guī)律的認識，布魯納早在60年代就曾指出，學習任何學科，主要是要使學生掌握這一學科的基本結(jié)構，同時也要掌握研究這一學科的基本態(tài)度和方法。基元與整體思想使這一觀點得到發(fā)展和完善。有助于廣大教師對數(shù)學知識系統(tǒng)結(jié)構特點的把握，更深刻地感受到數(shù)學對象之間、數(shù)學與大自然之間的和諧聯(lián)系，更加明確了具體教學內(nèi)容在整個數(shù)學知識系統(tǒng)中的地位與作用，有利于合理地進行數(shù)學教學設計。

二、轉(zhuǎn)化與整合

轉(zhuǎn)化與整合是主體的一種認識方式與活動方式。轉(zhuǎn)化實際上是“語言轉(zhuǎn)換”，通過這種“轉(zhuǎn)換”，客體被放置在一個信息相對主體更加豐富的背景之中，從而得到對客體的“解釋”。在這一過程中“語言轉(zhuǎn)換”將客體與主體的意識世界聯(lián)系起來，主體得到對客體“解釋”的同時，主體的“信息”得到擴展，這即為整合，整合是一個綜合集成的過程，在整體上認識與把握知識的內(nèi)在結(jié)構和規(guī)律，轉(zhuǎn)化是整合的基礎，而整合則更內(nèi)在、更深刻。

數(shù)學家們“往往不是對問題實行正面的攻擊，而是將它不斷地變形，直至把它轉(zhuǎn)化成能夠得到解決的問題.”從認識論的角度看，數(shù)學家們利用轉(zhuǎn)化解決一個又一個問題的過程，也就是人類知識的視野不斷得到擴展的過程，轉(zhuǎn)化與整合成為認識發(fā)展的主要形式。

變換一求解一反演方法是數(shù)學家運用的最有效方法之一].這個方法的思想實質(zhì)在于：為了解決一個困難的問題，首先：通過某種簡化程序把它變換為一個比較容易的等價問題，然后求解這個比較容易的問題，最后反演簡化程序，從而得到原問題的解，這正是對轉(zhuǎn)化與整合的程序性描述，而近代數(shù)學則更將這種思想發(fā)展到了極致.

轉(zhuǎn)化與整合思想體現(xiàn)在數(shù)學教育上，就是強調(diào)數(shù)學的聯(lián)系。聯(lián)系的觀點是轉(zhuǎn)化與整合的關鍵，由此，我們也可以把轉(zhuǎn)化與整合看成是聯(lián)系的兩個側(cè)面，.實際上，聯(lián)系的觀點已經(jīng)成為數(shù)學教育的基本原則。

三、擴張與繼承

數(shù)學教師們領著學生走一條康莊大道：由整數(shù)走向分數(shù)，由正數(shù)走向負數(shù).由有理數(shù)走向無理數(shù)，由實數(shù)走向虛數(shù).這是在擴張數(shù)系，同時又希望整數(shù)的性質(zhì)分數(shù)也有，正數(shù)的性質(zhì)負數(shù)也有，有理數(shù)的性質(zhì)無理數(shù)也有，實數(shù)的性質(zhì)虛數(shù)也有，這是在擴張數(shù)性。

從數(shù)學發(fā)展的歷史來看，數(shù)系的每一次擴張都有一個艱難的歷程，負數(shù)的引入，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)以及虛數(shù)的使用，并不像現(xiàn)在人們看到的那樣順理成章，每一次認識的進步都是經(jīng)歷了發(fā)展與繼承的矛盾斗爭之后才取得的，發(fā)展是必然，而繼承則是發(fā)展的基礎，只有不斷協(xié)調(diào)發(fā)展與繼承的關系，才能不斷地進步。數(shù)系的每一次擴張都有它的必然性，每一次擴張都繼承了擴張前數(shù)系的某些性質(zhì)，擴張與繼承過程就是人類認識發(fā)展的過程，研究這一過程，從中可以得到許多有益的啟示。

作為認識發(fā)展的一般規(guī)律，擴張與繼承有其普遍地起著作用。除了數(shù)系發(fā)展的例子，數(shù)學發(fā)展史上的許多重大轉(zhuǎn)折無不反映出這種規(guī)律的作用，從“算術”到“代數(shù)”，從有限到無限，數(shù)學就是在擴張與繼承的矛盾斗爭當中得到發(fā)展。擴張是發(fā)展的基礎，而繼承則使這種發(fā)展有了理性的方向。在科學理論的更迭中，擴張打開了人們認識的視野，而繼承則反映了認識的連續(xù)性和傳承性。擴張有其必然的背景，而繼承則要遵循規(guī)律性、和諧原則。

四、數(shù)學思想與數(shù)學活動

數(shù)學作為一種人類活動，必然要受到人們的思想意識、思想觀念的影響。呈現(xiàn)在人們面前的數(shù)學，并不是一堆孤立的事實，而是一個井然有序的知識系統(tǒng)，數(shù)學知識系統(tǒng)的存在方式，反映出人們的認識活動方式和思維方式。知識的系統(tǒng)性，顯現(xiàn)出基元與整體的內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律。我們的認識是從特殊到一般的過程，而知識的組織方式則是從一般到特殊地展開，從認識的過程看，它們的共同特征正是不斷地“基元化”、“一般化”、“系統(tǒng)化”的過程。

數(shù)學知識系統(tǒng)的對象呈現(xiàn)出基元與整體之間的內(nèi)在聯(lián)系，基元化與整體化是通過轉(zhuǎn)化得以實現(xiàn)的。其次就是轉(zhuǎn)化與整合的過程。擴張與繼承是另一個重要方面。三者有機結(jié)合，規(guī)劃出數(shù)學思想的整體輪廓。進而推動數(shù)學思想教育的健康發(fā)展。

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