證明直線過定點(diǎn)問題的幾種策略

■胡 磊

證明直線過定點(diǎn)問題的幾種策略

■胡 磊

證明直線過定點(diǎn)問題是高考的常見題型，也是直線方程中的重要題型，但在實際求解過程中，有些同學(xué)不知如何下手。為幫助同學(xué)們學(xué)好這一知識點(diǎn)，下面剖析幾種常見的解題策略和方法。

一、題目展示

例 1 求證 對任意的實數(shù)m直線m—l）x+（2m—l）y=m—5必過定點(diǎn)。

例 2 已知m 為實數(shù)，直線（2m—l）x—（m+3）y—（m—ll）=0恒過定點(diǎn)嗎？

例 3 直線y=mx—3m+2（m∈R）必過的定點(diǎn)坐標(biāo)為____。

二、思路剖析

例l和例2滿足直線方程的一般式，例3滿足直線方程的標(biāo)準(zhǔn)式。

形如例l、例2的直線過定點(diǎn)的證明問題，一般由直線方程中參數(shù)的任意性，選取兩個不同的特殊值（一般代入0、l、2等簡單數(shù)值），通過方程思想進(jìn)行求解，也可將方程變形為關(guān)于參數(shù)m的方程，把直線過定點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)恒成立問題，即把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決。

形如例3的直線過定點(diǎn)的證明問題，一般化為點(diǎn)斜式，根據(jù)點(diǎn)斜式判斷經(jīng)過的定點(diǎn)。

三、解題展示

例1的解：（特殊值法）由m 的任意性，令m=0，可得x+y=5。 ①

令m=2，可得x+3y=—3。 ②

聯(lián)立方程①②，解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（9，—4）。

將點(diǎn)P（9，—4）代入原方程可得（m—l）×9+（2m—l）×（—4）=m—5恒成立，故直線（m—l）x+（2m—l）y=m—5必過定點(diǎn)（9，—4）。

例2的解：（方程法）由（2m—l）x—（m+3）y—（m—ll）=0，可得（x+3y—ll）—m（2x—y—l）=0。

由于點(diǎn)（2，3）在直線（2m—l）x—（m+3）y—（m—ll）=0上，所以直線（2m—l）x—（m+3）y—（m—ll）=0對任意實數(shù)m 都恒過定點(diǎn)（2，3）。

評析：題中所涉及的直線方程，實際上是過兩條直線交點(diǎn)的直線方程，希望同學(xué)們好好體會。

例3的解：（點(diǎn)斜式法）由y=mx—3m+2，可得y=m（x—3）+2，即y—2=m（x—3）。根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，可知此直線恒過定點(diǎn)（3，2）。

評析：直線的點(diǎn)斜式方程y—y0=k（x—x0），表示直線斜率存在時，恒過定點(diǎn)（x0，y0）的一簇直線。解答此類問題，也可以通過參數(shù)的兩個不同的取值，求解兩條特殊直線的交點(diǎn)來確定定點(diǎn)的坐標(biāo)。

四、同步練習(xí)

求證：不論m 取何值，直線（2m—l）x+（m+3）y—3m+5=0恒過定點(diǎn)。

提示：方程（2m—l）x+（m+3）y—3m+5=0可化為—x+3y+5+m（2x+y—3）=0，則直線（2m—l）x+（m+3）y—3m+5=0恒過直線—x+3y+5=0和直線2x+y—3=0的交點(diǎn)。

故直線（2m—l）x+（m+3）y—3m+5=0恒過定點(diǎn)（2，—l）。

山東平邑東城一中

（責(zé)任編輯 郭正華）