小心“直線與圓的誤區(qū)”忽悠你

■劉大鳴（特級教師）

小心“直線與圓的誤區(qū)”忽悠你

■劉大鳴（特級教師）

對于直線與圓的問題，同學(xué)們?nèi)菀自诟拍畹睦斫夂蛻?yīng)用上出現(xiàn)片面化，在解題過程中容易出現(xiàn)漏解或增解，從而導(dǎo)致“會而不全”的誤區(qū)。本文特別提醒，小心“直線與圓的誤區(qū)”忽悠你。

忽悠1：忽視傾斜角的取值范圍

例 1 直線（2t—l）x—（2t+2）y+l=0（t∈R）的傾斜角為α，則α的取值范圍是____。

因為2t+l＞l，可得—l＜所以—l＜tanα＜l，則傾斜角α的取值范圍是 [—l35°，l35°]。

剖析：上述解法忽視了直線傾斜角的定義及傾斜角的取值范圍。

由上述解法可知—l＜tanα＜l。

由傾斜角α∈ [0 ，l 80°），可知0≤α＜45°或l35°＜α＜l80°。

警示：直線的傾斜角的取值范圍為[0，l80°）。對于傾斜角α，當(dāng)α=90°時，直線的斜率不存在；當(dāng)α∈[0°，90°）時，傾斜角越大，斜率越大；當(dāng)α∈（90°，l80°）時，傾斜角越大，斜率越小。

因為0°≤θ＜l80°，所以θ=30°。

忽悠2：忽視截距為零的特殊情況

例 2 求過點（2，3），并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程。

錯解2：因為直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，可知斜率為±l，且點（2，3）在該直線上，所以所求的直線方程為x+y—5=0或x—y+l=0。

剖析：錯解l忽視了斜率不存在的情況，錯解2認(rèn)為直線不過原點。

事實上，直線的斜率為l，截距互為相反數(shù)，這時不合題意。

截距相等可分截距為0與截距不為0兩種情況。當(dāng)截距不為0時，可用直線的截距式方程求解，也就是錯解l所求的直線方程，即x+y—5=0。當(dāng)截距為0時，直線過原點，其斜率為，即3x—2y=0。

故所求的直線方程是x+y—5=0或3x—2y=0。

警示：當(dāng)題設(shè)中出現(xiàn)“截距相等”、“截距互為相反數(shù)”、“截距的絕對值相等”等條件時，要注意截距為零的情況。本題也可設(shè)直線方程為y—3=k（x—2），再根據(jù)截距相等列方程求k的值，可避免漏解的發(fā)生。

同步訓(xùn)練2：直線l過點P（4，—l），若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線l的方程為____。

提示：若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，即直線過原點，直線的斜率，這時直線l的方程為x+4y=0；

故所求直線l的方程為x+4y=0或x+y—3=0。

忽悠3：忽視斜率不存在的情況

例 3 討論直線ax+y—2=0與直線x—ay+3=0的位置關(guān)系。

錯解：兩條直線的斜率分別為kl=—a，可知兩條直線互相垂直。

剖析：上述解法忽視了直線的斜率不存在的情況。

當(dāng)a≠0時，兩條直線的斜率分別為kl可知兩條直線互相垂直；

當(dāng)a=0時，兩條直線方程為y=2和x=—3，顯然兩條直線互相垂直。

綜上所述，直線ax+y—2=0與直線x—ay+3=0互相垂直。

警示：利用klk2=—l判斷兩條直線垂直時，兩條直線的斜率都必須存在。當(dāng)兩條直線中的一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在，即一條直線平行于x軸，另一條直線垂直于x軸時，兩條直線也互相垂直。

同步訓(xùn)練3：已知直線ll：ax+2y+6=0與l2：x+（a—l）y+a2—l=0平行，則實數(shù)a的值是（ ）。

A.—l或2 B.0或l

C.—l D.2

提示：設(shè)直線ll：alx+bly+cl=0，l2：a2x+b2y+c2=0。

由ll∥l2?alb2—a2bl=0且alc2—a2cl≠0，可知選C。

忽悠4：求直線交點問題中分類不全

例 4 三條直線ll：x—2y+l=0，l2：x+3y—l=0和l3：ax+2y—3=0共有兩個公共點，求a的值。

錯解：由直線ll和直線l2可得方程組即直線l：xl—2y+l=0與直線l2：x+3y—l=0交于點

由三條直線共有兩個公共點，可知ll∥l3或l2∥l3。

由l3：ax+2y—3=0，可得解得

剖析：上述解法對兩個公共點問題的情況分析不到位，忽視了特殊情況，從而產(chǎn)生了漏解。

①當(dāng)兩個公共點不相同時，由上述解法可得a=—l或a=2。

3

警示：求直線的交點時要依據(jù)交點個數(shù)合理分類，特別注意不要遺漏了特殊情況。

同步訓(xùn)練4：若直線ll：y=kx+l與l2：x—y—l=0的交點在第一象限內(nèi)，則k的取值范圍是（ ）。

A.k＞l

B.—l＜k＜l

C.k＞l或k＜—l

D.k＜—l

忽悠5：忽視公式成立的條件

例 5 求兩條平行直線ll：6x+8y=ll和l2：3x+4y—l5=0間的距離。

警示：求兩條平行直線間的距離，也可以在其中的一條直線上取一點，求這點到另一條直線的距離，即把兩條平行直線間的距離問題，轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題求解。

同步訓(xùn)練5：若兩條平行直線ll：x—2y+m=0（m＞0）與l2：2x+ny—6=0間的距離是，則m+n=（ ）。

A.0 B.l

C.—2 D.—l

提示：由ll∥l2，可得解得n=—4，即得直線l2：x—2y—3=0，所以兩條平行直線間的距離解得m=2。故m+n=—2。應(yīng)選C。

忽悠6：忽視兩點間距離公式的幾何意義

剖析：上述解法在利用消元法求最小值時，忽視了x的取值范圍。

因此，可過原點O（0，0）作直線2x+y+5=0的垂線，由點到直線的距離公式求垂線段的長即可。所以

警示：利用點到直線的距離公式求解此題，凸顯數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用。

提示：利用數(shù)形結(jié)合法，求點Q（3，—5）到直線2x+y+5=0的距離即可。根據(jù)點到直線的距離公式可求得

忽悠7：忽視圓方程的隱含條件

例 7 討論方程x2+y2+2ax—b2=0表示的曲線的形狀。

錯解：顯然，此方程所表示的曲線是圓。

剖析：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程配方可得，由此可通過判斷等式右邊的符號來確定方程所表示的曲線，但要注意對參數(shù)的討論。

方程x2+y2+2ax—b2=0配方可得x+a（）2+y2=a2+b2。

當(dāng)a2+b2=0，即a=b=0時，方程x2+y2+2ax—b2=0表示點（0，0）；

當(dāng)a2+b2＞0時，方程x2+y2+2ax—b2=0表示以（—a，0）為圓心，為半徑的圓。

綜上可知，所給方程表示點或圓。

警示：把握二元二次方程表示圓的條件是解答本題的關(guān)鍵。

同步訓(xùn)練7：證明方程x4—y4—4x2+4y2=0表示的圖形為兩條相交直線和一個圓。

提示：因為x4—y4—4x2+4y2=（x2—2）2—（y2—2）2=0，所以x2—2=±（y2—2），即x2=y2，x2+y2=4，也就是y=±x，x2+y2=4。

故原方程表示兩條相交直線和一個圓。

忽悠8：選擇圓方程的形式不當(dāng)

例 8 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x2—6x+l與坐標(biāo)軸的交點都在圓C上，求圓C的方程。

剖析：利用圓的一般方程的運算量較大，因此上述解法的計算出錯了。把握圓的幾何性質(zhì)，巧設(shè)圓心坐標(biāo)，可使運算過程簡單化。

曲線y=x2—6x+l與y軸的交點為（0，l），與x 軸的交點為（3+2，0），（3—

故所求圓C 的方程為（x—3）2+（y—l）2=9。

警示：利用待定系數(shù)法求解圓的方程的關(guān)鍵是選擇方程的形式。

同步訓(xùn)練8：拋物線y=x2—2x—3與坐標(biāo)軸的交點在同一個圓上，則由交點確定的圓的方程為（ ）。

A.x2+（y—l）2=4

B.（x—l）2+（y—l）2=4

C.（x—l）2+y2=l

D.（x—l）2+（y+l）2=5

提示：拋物線y=x2—2x—3與坐標(biāo)軸的交點為（—l，0），（3，0），（0，—3）。

由圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2—4F＞0），把交點代入此方程可得解得D=—2，E=2，F(xiàn)

=—3。故所求圓的方程為x2+y2—2x+2y—3=0，即（x—l）2+（y+l）2=5。應(yīng)選D。

忽悠9：忽視對參數(shù)的分類討論

例 9 設(shè)A（—c，0），B（c，0）（c＞0）為兩定點，動點P到點A的距離與到點B的距離的比為定值a（a＞0），求點P的軌跡。

剖析：上述解法忽視了對參數(shù)的分類討論。

設(shè)動點P的坐標(biāo)為（x，y）。由題意可得（l—a2）x2+2c（l+a2）x+c2（l—a2）+（l—a2）y2=0，注意到此方程的二次項系數(shù)相同的特征，可分類研究。

當(dāng)a=l時，方程可化為x=0，其軌跡為直線；

其軌跡為圓。

綜上可知，當(dāng)a=l時，點P的軌跡為y軸；當(dāng)a≠l時，點 P 的軌跡是以點半徑的圓。

警示：解答本題的關(guān)鍵是掌握二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件。

同步訓(xùn)練9：如圖l，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x—4。

設(shè)圓C的半徑為l，圓心在直線l上。

圖l

提示：因為圓心在直線l：y=2x—4上，所以圓C 的方程為（x—a）2+[y—2（a—2）]2=l。

設(shè)點 M（x，y）。

由題意可知點M（x，y）在圓C上，所以圓C與圓D有共同點，則|2—l|+l，即l≤，整理得—8≤5a2—l2a≤0，解此不等式得圓C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為

忽悠10：概念理解不清

例 10 已 知 點 Pl（xl，yl）是 圓C：f（x，y）=0上的一個定點，P2（x2，y2）是圓C：f（x，y）=0外 的 一 個 定 點，則 方 程f（x，y）+f（xl，yl）+f（x2，y2）=0所表示的曲線是（ ）。

A.直線 B.圓

C.拋物線 D .不確定

錯解：應(yīng)選A。

剖析：由于對曲線方程的概念的理解不清，從而導(dǎo)致錯選。

因為點 Pl（xl，yl）是圓C：f（x，y）=0上的一個定點，所以f（xl，yl）=0。

因為 P2（x2，y2）是圓C：f（x，y）=0外的一個定點，所以f（x2，y2）是一個不為零的常數(shù)，可知f（x，y）+f（xl，yl）+f（x2，y2）=f（x，y）+f（x2，y2）=0仍表示一個圓。應(yīng)選B。

警示：理解圓方程的概念是解答本題的關(guān)鍵。

同步訓(xùn)練10：下列四個命題中，假命題是（ ）。

A.經(jīng)過定點 P（x0，y0）的直線不一定都可以用方程y—y0=k（x — x0）表示

B.經(jīng) 過 兩 個 不 同 的 定 點Pl（xl，yl），P2（x2，y2） 的 直 線 都 可 以 用 方 程（y — yl）（x2—xl）=k（x — xl）（y2—yl）表示

D.經(jīng)過定點Q（0，b）的直線都可以表示為y=kx+b

提示：利用直線方程的定義和表達式進行判斷。應(yīng)選D。

忽悠11：忽視幾何條件的限制

例 11 已知圓x2+y2=4，過點A（4，0）作圓的割線ABC，則弦BC中點P的軌跡方程為____。

錯解：設(shè)割線的方程為y=k（x—4），弦BC中點P的坐標(biāo)為（x，y），則入y=k（x—4）消去k，可得所求軌跡方程為（x—2）2+y2=4。

剖析：上述解法忽視了圓的弦的中點在圓的內(nèi)部的情況。

易知軌跡應(yīng)在已知圓內(nèi)的部分，且x的取值范圍是0≤x＜l。

故所求弦BC中點P的軌跡方程為（x—2）2+y2=4（0≤x＜l）。

警示：解答本題的關(guān)鍵是求解軌跡方程時要注意實際問題中變量的取值范圍。

同步訓(xùn)練11：點P4，—2（）與圓x2+y2=4上任一點連接的線段的中點的軌跡方程為（ ）。

A.x—2（）2+y+l（）2=l

B.x—2（）2+y+l（）2=4

C.x+4（）2+y—2（）2=4

D.x+2（）2+y—l（）2=l

提示：設(shè)所求的中點坐標(biāo)為Ax，y（），圓上一點設(shè)為B（x′，y′）。

忽悠12：忽視變量的取值范圍

由于直線l與曲線C有兩個公共點，所以方程（*）的判別式Δ=4b2—8（b2—l）＞0，解得—

同步訓(xùn)練12：若曲線y=與直線kx—y—2k+4=0有兩個相異的交點，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）。

顯然當(dāng)直線過點A（—2，l）時有兩個交點，此時kPA當(dāng)直線與圓相切，即直線在PB位置時有一個交點（即切點），此時

圖2

由圖2可知，當(dāng)直線在PA（含PA）與PB（不含PB）之間移動時均符合題意，故

忽悠13：忽視兩圓外切（或內(nèi)切）的條件

例 13 已知集合A={（x，y）|x2+y2=4}，B={（x，y）|（x—3）2+（y—4）2=r2}，其中r＞0，若A∩B中有且僅有一個元素，則r的值是____。

錯解：因為A∩B中有且僅有一個元素，所以圓Cl：x2+y2=4與圓C2：（x—3）2+（y—4）2=r2相外切，則，解得r=3。

剖析：上述解法忽視兩圓內(nèi)切的情況，從而導(dǎo)致漏解。

當(dāng)兩圓內(nèi)切時，只能是圓Cl內(nèi)切于圓C2，所以=r—2=5，解得r=7。

故所求r的值為3或7。

警示：涉及兩圓相切的問題，往往需要考慮兩圓外切或內(nèi)切的情況進行分類討論。

同步訓(xùn)練13：若圓Cl：x2+y2=l6與圓C2：（x—a）2+y2=l相切，則實數(shù)a的值為（ ）。

A.±3 B.±5

C.3或5 D.±5或±3

提示：參考例l3的解法，可知所求a的值為±5或±3。應(yīng)選D。

陜西洋縣中學(xué)

（責(zé)任編輯 郭正華）