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    “代數(shù)式”的前世今生

    2017-02-26 01:00:08陳曉靚
    初中生世界 2017年37期
    關(guān)鍵詞:韋達(dá)算術(shù)代數(shù)式

    陳曉靚

    “代數(shù)式”的前世今生

    陳曉靚

    如果說人類是生物進(jìn)化的產(chǎn)物,那么代數(shù)式就是數(shù)學(xué)進(jìn)化的一個重要組成部分.用字母表示數(shù)是數(shù)學(xué)發(fā)展過程中一次質(zhì)的飛躍,是人類一項創(chuàng)造性的成就,是認(rèn)識和思維上的巨大提升.德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲說過:“符號的巧妙和利用符號的藝術(shù),是人們絕妙的助手,因為它以驚人的形式節(jié)省了思維.”俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基也說過:“利用了符號,數(shù)學(xué)上的每一個論斷,它所要描述的東西可以更快地被別人所了解.”既然用字母表示數(shù)如此重要,那么我們有必要來了解一下代數(shù)式的進(jìn)化史.其發(fā)展歷史大致可以分為三個時期.

    一、代數(shù)式的萌芽期

    人類最初完全沒有數(shù)量的概念,但人類發(fā)達(dá)的大腦對客觀世界的認(rèn)識已經(jīng)達(dá)到更加理性和抽象的地步.這樣,在漫長的生活實踐中,由于記事和分配生活用品等方面的需要,才逐漸產(chǎn)生了數(shù)的概念.比如“結(jié)繩記事”是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事.我國古書《易經(jīng)》中也有“結(jié)繩而治”的記載.傳說古代波斯王打仗時也常用繩子打結(jié)來計算天數(shù).用利器在樹皮上或獸皮上刻痕,或用小棍擺在地上計數(shù)也都是古人常用的辦法.這些辦法用得多了,就逐漸形成數(shù)的概念和記數(shù)的符號.隨著不同先進(jìn)文明的不斷崛起,人們記錄數(shù)字的方法也得到了很大程度的發(fā)展.其中最具有代表性的就是羅馬數(shù)字和阿拉伯?dāng)?shù)字.實際上,羅馬數(shù)字的符號一共只有7個:I(代表1)、V(代表 5)、X(代表10)、L(代表50)、C(代表100)、D(代表500)、M(代表1000).這7個符號位置上不論怎樣變化,它所代表的數(shù)字都是不變的.它們按照一定規(guī)律組合起來,就能表示任何數(shù).而阿拉伯?dāng)?shù)字1、2、3、4、5、6、7、8、9、0起源于古印度,是國際上通用的十進(jìn)制數(shù)碼,也是同學(xué)們最為熟悉的數(shù)字.可是不管是古羅馬人還是古印度人,沒有一個數(shù)學(xué)家意識到可以用一個字母來代表一類數(shù),直到一個偉大數(shù)學(xué)家的出現(xiàn).

    二、代數(shù)式的發(fā)展期

    公元3世紀(jì),被譽為古希臘代數(shù)學(xué)鼻祖的丟番圖在其著作《算術(shù)》中首次用字母“ζ”來表示未知數(shù).丟番圖是最早在數(shù)學(xué)中運用一套符號的人,這使得代數(shù)式的思維和數(shù)學(xué)更加緊湊.在其之前,人們在表示自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等一些特殊數(shù)時,只能用冗長的文字語言或者解釋來表示這些數(shù).丟番圖創(chuàng)造性地用詞頭的字母作為縮寫符號來簡化代數(shù)式.例如,他用希臘文“冪”的頭兩個字母表示未知數(shù)的平方,用希臘文“立方”的頭兩個字母表示未知數(shù)的立方等.這里,我們把丟番圖的“ζ”改成x,一起來看看丟番圖著作《算術(shù)》中的一個經(jīng)典題目.“已知兩數(shù)的和與差求這兩個數(shù).”丟番圖的解法是:“假設(shè)兩數(shù)和為100,差為40,較小數(shù)為x,則較大數(shù)為40+x,則2x+40=100,故得x=30,而較大數(shù)為70.”很明顯,丟番圖當(dāng)時已經(jīng)運用字母解決了一個一元一次方程的問題.由此可見,丟番圖讓代數(shù)學(xué)前進(jìn)了一大步.但是由于種種原因,丟番圖不知道可以用字母來表示任意一個數(shù).可見,代數(shù)式的進(jìn)化歷史并非如我們想象得那么一帆風(fēng)順,呈直線式發(fā)展.在古代,由于信息渠道的閉塞,數(shù)學(xué)思想的傳播是極受限制的.無論如何,在用字母表示數(shù)這件事上,丟番圖之后一千多年間,人們沒有任何進(jìn)步,直到另一個偉大數(shù)學(xué)家的出現(xiàn).

    三、代數(shù)式的成熟期

    “獨上高樓,望盡天涯路.”16世紀(jì)法國偉大的數(shù)學(xué)家,代數(shù)式真正的創(chuàng)造人韋達(dá)終于實現(xiàn)了歷史性的突破,他在《分析引論》中使用字母來表示未知數(shù)以及已知數(shù).韋達(dá)在書中寫道:“本書將輔以某種技巧,通過符號來區(qū)分未知量和已知量.”韋達(dá)將這種新的代數(shù)稱為“類的算術(shù)”,以區(qū)別于舊的“數(shù)的算術(shù)”.一旦用字母來表示任何數(shù),在韋達(dá)的筆下便出現(xiàn)了我們所熟悉的代數(shù)恒等式:完全平方公式與平方差公式,那就是A2±2AB+B2=(A±B)2,(A+B)(A-B)=A2-B2.在用字母表示數(shù)后,代數(shù)學(xué)告別了舊時代,插上了新翅膀,在人類文明的天空自由地飛翔起來.韋達(dá)之后另一個偉大的法國數(shù)學(xué)家笛卡爾改用拉丁字母表中最后的幾個字母x、y、z等表示未知數(shù),用前面的字母a、b、c等表示已知數(shù),還將一個數(shù)x的立方、平方寫成x3、x2,這些符號一直沿用到今天.1693年,英國數(shù)學(xué)家沃利斯正式在代數(shù)中使用這些符號,就實現(xiàn)了代數(shù)式的完全符號化.另外,這里提到的笛卡爾正是站在韋達(dá)這位巨人的肩膀上,后來成為了著名的平面直角坐標(biāo)系的創(chuàng)立者.

    “用字母表示數(shù)”,這在今天學(xué)過代數(shù)的同學(xué)們看來乃是一件稀松平常的事情.當(dāng)年,中國第一部符號代數(shù)教材《代數(shù)術(shù)》的翻譯者李善蘭和偉烈亞力所創(chuàng)“代數(shù)”一詞,正是“用字母表示數(shù)”之義.但是我們追溯代數(shù)式的歷史,竟是如此的漫長,不得不讓我們感受到數(shù)學(xué)的博大精深.正是那些偉大的數(shù)學(xué)家點亮了人類文明的光燭,使得我們學(xué)習(xí)和使用代數(shù)式是如此的簡單和方便,我們應(yīng)該感激并幸福著.

    (作者單位:江蘇省無錫市梅里中學(xué))

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