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    告訴你“代數(shù)式”背后的故事

    2017-11-01 07:34:20
    初中生世界 2017年37期
    關(guān)鍵詞:交換律代數(shù)式陰影

    曹 燕

    告訴你“代數(shù)式”背后的故事

    曹 燕

    如果我問你,在這個世界上,你最熟悉的人是誰,你肯定會告訴我,當(dāng)然是媽媽,其次是爸爸.可為什么媽媽是你最熟悉的那個人呢?可能你會說出很多的理由.但根本原因是,人們在認(rèn)識人物和事物的時候,總是從最特殊的開始,而媽媽就是你最特殊的那一個,在認(rèn)識特殊的基礎(chǔ)上再逐步認(rèn)識一般的.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中,同樣如此.從特殊到一般是認(rèn)識事物的一般規(guī)律,在數(shù)學(xué)上稱之為歸納.“代數(shù)式”的內(nèi)容作為數(shù)學(xué)中非常重要的知識,我們也要遵循“從特殊到一般,再從一般回到特殊”的規(guī)律來認(rèn)識它.

    一、從特殊到一般

    我們在第二章學(xué)習(xí)的有理數(shù),屬于“數(shù)”的范疇,接著學(xué)習(xí)的第三章代數(shù)式,屬于“式”的范疇,從數(shù)到式就是“從特殊到一般”規(guī)律的體現(xiàn).

    小學(xué)里我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的面積公式,三角形的面積等于底乘以高除以2.所以,你只要告訴我一個三角形的底是多少,高是多少,我就可以利用上面的公式計算出此三角形的面積.如一個三角形的底為5,高為4,那么這個三角形的面積為×5×4=10.顯然,三角形有無數(shù)個,每次都要根據(jù)不同的底與高進(jìn)行不同的計算表達(dá),不是我們數(shù)學(xué)所希望出現(xiàn)的和追求的.因為數(shù)學(xué)講究的是最優(yōu)、最簡、最美.此時,字母代替數(shù),也就是我們所說的代數(shù)式“粉墨登場”了,不同三角形的底的長度是一個具體的數(shù),我們可以用一個一般的字母a來表示,不同三角形的高的長度是一個具體的數(shù),我們可以用一個一般的字母h來表示,于是三角形的面積就等于ah,這個代數(shù)式就可以代表所有三角形的值,如果用S來表示三角形的面積,那么S=ah就是所有三角形的面積計算公式.可見字母表示數(shù),是用一個代數(shù)式代替無數(shù)個具體的數(shù)的計算式子,從特殊走向一般,簡潔明了,作用非常巨大.

    在有理數(shù)的學(xué)習(xí)中,我們需要驗證小學(xué)里算術(shù)中學(xué)習(xí)的加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法對加法的分配律對有理數(shù)是否仍然適用,你還記得是如何驗證的嗎?如有理數(shù)范圍內(nèi)加法的交換律,我們是通過5+3=?,3+5=?,5+(-3)=?,(-3)+5=?,(-5)+3=?,3+(-5)=?,(-5)+(-3)=?,(-3)+(-5)=?這幾組特殊的算式逐一進(jìn)行計算,發(fā)現(xiàn)兩種不同的算法得到的結(jié)果5+3=3+5,5+(-3)=(-3)+5,(-5)+3=3+(-5),(-5)+(-3)=(-3)+(-5)是一樣的,通過從特殊到一般的歸納,我們就得到了加法交換律a+b=b+a.其他的運算律也用相同的方法獲得.

    可見,從特殊到一般不僅是日常生活中認(rèn)識事物的一般規(guī)律,同樣是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中認(rèn)識數(shù)學(xué)的一般規(guī)律,這種方法需要同學(xué)們引起高度的重視.在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,當(dāng)你研究了一些特殊的問題之后,不妨想想能不能把這個特殊情況推廣到一般的情形,這叫特殊問題一般化.從上面的研究我們可以看出,從特殊走向一般是一次質(zhì)的飛越,許多規(guī)律和發(fā)明創(chuàng)造就孕育其中.

    二、從一般回到特殊

    如果說用字母表示數(shù)產(chǎn)生代數(shù)式是從特殊的數(shù)到一般的式的飛躍,那么,從代數(shù)式到代數(shù)式的值就是從一般再回到特殊.

    例 已知,用下圖中所示的字母表示陰影部分的面積為 .

    若R=5cm,a=3cm,則圖中的陰影部分的面積為 (其中π取3.14).

    解析:圖形由正方形與圓組成,圓半徑為R,正方形邊長為a,已經(jīng)完成了用一般字母表示具體數(shù)的飛躍,所以,第一個問題就可以直接用一般的代數(shù)式表示出陰影部分的面積為πR2-a2.很顯然,由于半徑用R來表示,是不確定的值,滿足圓半徑R的值有無數(shù)個;同樣,邊長用a來表示,也是不確定的值,滿足正方形邊長a的值也有無數(shù)個,代數(shù)式πR2-a2表示的就是一個大圓中挖去一個小正方形余下的陰影部分的面積.而下一個問題告訴我們,R=5,a=3,都是具體特殊的數(shù),說明圓的大小與正方形的大小都是唯一確定的,此時要求陰影部分的面積,實際上就是求當(dāng)R=5,a=3時,代數(shù)式πR2-a2的值,只要把R=5,a=3代入代數(shù)式,就可以求出其值為69.5.從上面的分析過程可以看出,當(dāng)代數(shù)式中字母的具體數(shù)值確定的時候,求代數(shù)式的值本質(zhì)上就是用具體的數(shù)代替代數(shù)式中的字母,進(jìn)而變成數(shù)的計算問題,這樣,式的問題又回到了數(shù)的問題.可見,求代數(shù)式的值實際上就是從一般回到特殊.通過字母表示數(shù)產(chǎn)生代數(shù)式,從特殊到一般,當(dāng)字母的值確定后,從代數(shù)式回到代數(shù)式的值,又從一般到特殊,正好完成了“特殊——一般——特殊”的循環(huán).

    在今后的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中,當(dāng)你遇到要研究一個一般的問題,你又無法解決時,不妨先從特殊的情況入手進(jìn)行嘗試,從一般回到特殊,也叫一般問題特殊化考慮,相信你會有更大的收獲.

    最后需要告訴同學(xué)們的是:“從特殊到一般,從一般到特殊”是認(rèn)識生活問題、認(rèn)識數(shù)學(xué)問題非常重要的一種方法.初中階段我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才剛剛開始,在今后的學(xué)習(xí)中,同學(xué)們一定要牢記這種方法,并在認(rèn)識數(shù)學(xué)、解決問題的過程中不斷去嘗試和掌握,相信這種方法會讓你終身受益!

    (作者單位:江蘇省宜興市陶都中學(xué))

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