碩士生《泛函分析》課程教學(xué)的幾點(diǎn)建議

劉小佑 許友軍 鄭玉軍

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碩士生《泛函分析》課程教學(xué)的幾點(diǎn)建議

劉小佑1許友軍1鄭玉軍2

（1.南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，湖南 衡陽(yáng) 421001；2.湖南科技學(xué)院 理學(xué)院，湖南 永州 425199）

《泛函分析》是數(shù)學(xué)類碩士生的一門(mén)非常重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程。論文從科研經(jīng)歷及教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，就地方工科類本科高校中應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)碩士生的《泛函分析》課程教學(xué)進(jìn)行了討論，并提出了幾點(diǎn)有利于提高該課程教學(xué)效果的建議。

泛函分析；專業(yè)基礎(chǔ)課；教學(xué)改革

1　引　言

泛函分析是從變分法、積分方程、微分方程、逼近論和理論物理的研究中發(fā)展起來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。它綜合地運(yùn)用分析、代數(shù)和幾何的方法，研究無(wú)窮維線性拓?fù)淇臻g和這類空間之間的各種映射的一般性質(zhì)[1]。作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，泛函分析在20世紀(jì)四五十年代就已經(jīng)成為一門(mén)理論完備、內(nèi)容豐富的學(xué)科。在其發(fā)展的過(guò)程中，它與其他學(xué)科相互滲透，廣泛應(yīng)用于幾何、拓?fù)洹⑽⒎址匠?、?jì)算數(shù)學(xué)、最優(yōu)化理論等數(shù)學(xué)分支中，還廣泛應(yīng)用于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、量子場(chǎng)論以及工程技術(shù)等諸多專業(yè)領(lǐng)域。因此泛函分析被當(dāng)今科學(xué)界喻為“20世紀(jì)的微積分”?？紤]到其具有如此的重要性，有關(guān)泛函分析的相關(guān)課程自然成為高校數(shù)學(xué)系本科生和數(shù)學(xué)專業(yè)研究生的學(xué)位基礎(chǔ)課程之一。其實(shí)自從上世紀(jì)五十年代以來(lái)，泛函分析就一直是世界各國(guó)高校數(shù)學(xué)系學(xué)生必修的一門(mén)非常重要的基礎(chǔ)課程。

泛函分析課程內(nèi)容的高度抽象化使得學(xué)生在學(xué)習(xí)它的過(guò)程中感到很難，另一方面老師在教的時(shí)候有時(shí)也會(huì)感到難于表達(dá)自己的內(nèi)心想法。這兩方面的原因?qū)е逻@門(mén)課程的教學(xué)效果通常很難讓人滿意。有鑒于此，為了提高該課程的教學(xué)效果，高校從事該課程教學(xué)的許多一線教師都對(duì)該課程的學(xué)與教進(jìn)行了研究，并在有些方面給出了積極的教學(xué)建議[2-6]。

2　現(xiàn)狀分析

在本小節(jié)，作者以南華大學(xué)最近幾年的實(shí)際情況為基礎(chǔ)，并在調(diào)研了幾所同級(jí)別的地方工科類本科高校后，指出了目前地方工科類高校中數(shù)學(xué)碩士生泛函分析課程教學(xué)中所面臨的一些問(wèn)題。這些問(wèn)題主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：一、招生規(guī)模相對(duì)較?。ㄍǔW(xué)生人數(shù)在幾個(gè)到十幾個(gè)左右）；二、課程教學(xué)課時(shí)數(shù)相對(duì)較少；三、教學(xué)方式相對(duì)單一，主要是傳統(tǒng)的黑板講授方式；四、不同于國(guó)家重點(diǎn)高校，地方高校師資力量和生源質(zhì)量相對(duì)較弱。以上這些不足導(dǎo)致一些在別的學(xué)?？尚械慕虒W(xué)方式或方法在該類高校中不具有可行性，比如分組討論、研討式教學(xué)等等。正因?yàn)槿绱?，我們不能一味地照搬其它高校的成熟的教學(xué)方法，而是應(yīng)探索符合本校校情的教學(xué)方法。

3　教學(xué)建議

作為數(shù)學(xué)類碩士生必修的專業(yè)基礎(chǔ)課程之一，課程泛函分析在學(xué)生的培養(yǎng)過(guò)程中其重要性不言而喻。在某種意義上可以說(shuō)，泛函分析教學(xué)效果的好壞直接關(guān)系到學(xué)生科研能力的培養(yǎng)以及學(xué)生將來(lái)繼續(xù)深造的競(jìng)爭(zhēng)力。

在這一小節(jié)，針對(duì)上面提到的目前我們?cè)谠撜n程教學(xué)中所存在的問(wèn)題，我們將以最近幾年來(lái)該課程的教學(xué)實(shí)踐為基礎(chǔ)，對(duì)如何提高泛函分析課程的教學(xué)效果提出以下幾點(diǎn)建議。我們的教學(xué)實(shí)踐表明，這些建議是有效的。至少能提高學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的興趣，并且能讓學(xué)生不懼怕該課程。下面逐條說(shuō)明。

3.1教學(xué)內(nèi)容的選擇

由于部分學(xué)生是相近專業(yè)調(diào)劑過(guò)來(lái)的，雖然也有部分本科是數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，但其所在的學(xué)校只開(kāi)設(shè)了64學(xué)時(shí)的《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》課程，而不是用足夠的課時(shí)開(kāi)設(shè)《實(shí)變函數(shù)》和《泛函分析》這兩門(mén)課程。這在一定程度上導(dǎo)致部分學(xué)生的泛函分析基礎(chǔ)較薄弱，而且學(xué)生入學(xué)時(shí)水平參差不齊。鑒于這種情況，我們?cè)谶x擇教學(xué)內(nèi)容的時(shí)候就不能偏難以防不利于基礎(chǔ)相對(duì)較差的學(xué)生學(xué)習(xí)。但反過(guò)來(lái)也不能太容易，比如選擇過(guò)多的與本科內(nèi)容重復(fù)的東西放在教學(xué)計(jì)劃里，這會(huì)讓基礎(chǔ)較好的學(xué)生覺(jué)得乏味。在這個(gè)方面，文獻(xiàn)[1]相對(duì)來(lái)說(shuō)做得比較好，其內(nèi)容難易適中。另外，對(duì)于那些幾乎沒(méi)有泛函基礎(chǔ)的學(xué)生，我們則可以在學(xué)生復(fù)試確認(rèn)可被錄取后，就給他們推薦本科泛函分析教材以供其自己在假期間學(xué)習(xí)。這樣做有利于這部分學(xué)生在開(kāi)學(xué)時(shí)跟上進(jìn)度。

3.2將多媒體應(yīng)用到教學(xué)中來(lái)

在我們自己還是學(xué)生的時(shí)候，我們的老師就是利用粉筆與黑板的傳統(tǒng)方式給我們講解該課程。當(dāng)時(shí)感覺(jué)上課的老師很辛苦，老師幾乎是一直講個(gè)不停，黑板也是寫(xiě)滿了擦，擦了再寫(xiě)滿，如此往復(fù)很多次。眾所周知，該課程的教學(xué)中充滿了很多定義、以及定理的推導(dǎo)，很多內(nèi)容不得不書(shū)寫(xiě)出來(lái)。如果只用傳統(tǒng)板書(shū)式教學(xué)，很難做到在有限的時(shí)間里兼顧好講與寫(xiě)，并且還要注意到不影響教學(xué)進(jìn)度的問(wèn)題。最近幾年來(lái)，多媒體教學(xué)已經(jīng)廣泛走進(jìn)了校園。大學(xué)里的教室?guī)缀醵寂溆卸嗝襟w系統(tǒng)，這是因?yàn)槎嗝襟w的應(yīng)用可以加強(qiáng)教學(xué)的生動(dòng)性和直觀性。在此我們可以先把一些重要的定義、定理以及定理證明過(guò)程中的關(guān)鍵步驟提前做好PPT，另外針對(duì)一些幾何性質(zhì)較強(qiáng)的內(nèi)容，也可以提前利用數(shù)學(xué)繪圖軟件繪制好一些示意圖。這樣在正式上課時(shí)，可以通過(guò)放PPT節(jié)約大量原本用于做抄寫(xiě)工作的板書(shū)時(shí)間，從而我們可以有更多的時(shí)間放在重點(diǎn)的講解上。另外一些示意圖的展示也利于學(xué)生理解抽象的空間或一些映射之間的關(guān)系。

3.3重視定理證明的講解

泛函分析中有許多重要的數(shù)學(xué)思想。由于它具有較高的抽象性，該課程中的許多重要數(shù)學(xué)思想可以應(yīng)用到其它數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)中去。該課程中有很多的構(gòu)造性證明以及一些特別巧妙的證明方法。對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，這些思想方法在一定的意義上講才是我們真正要學(xué)習(xí)的東西。定理證明過(guò)程的掌握，反過(guò)來(lái)有利于學(xué)生真正理解定理的內(nèi)含，特別是定理成立的條件和適用的范圍。

3.4提倡閱讀經(jīng)典英語(yǔ)原版參考書(shū)

對(duì)于近現(xiàn)代數(shù)學(xué)，實(shí)話實(shí)說(shuō)國(guó)外大部分的研究走在我國(guó)的前面。另外有研究表明，中西方人在看待某些問(wèn)題時(shí)的角度有時(shí)會(huì)有差異。試想體會(huì)不同作者對(duì)同一問(wèn)題的不同描述，肯定在一定程度上有利于開(kāi)闊我們自己的視野并加深對(duì)該問(wèn)題的理解。其次，對(duì)外文教材的閱讀也有利于提高學(xué)生在高年級(jí)時(shí)對(duì)英語(yǔ)文獻(xiàn)的閱讀能力。特別是那些有志于攻讀數(shù)學(xué)博士學(xué)位的學(xué)生來(lái)說(shuō)，具有較好的英語(yǔ)文獻(xiàn)的閱讀能力是相當(dāng)重要的。文獻(xiàn)[7]就是一本相對(duì)不錯(cuò)的碩士生泛函分析教材。

以上就是我們最近幾年來(lái)教學(xué)實(shí)踐中的一些體會(huì)。當(dāng)然影響泛函分析課程教學(xué)效果的因素是多樣的且復(fù)雜的。對(duì)于該課程的教學(xué)改革的要求也會(huì)隨著時(shí)代的變化而改變，因此對(duì)該課程的教學(xué)改革也將一直在路上。

4　總　結(jié)

在文章中，我們分析了地方工科類本科高校中應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)碩士生泛函分析課程教學(xué)中所面臨的一些問(wèn)題；并從我們的教學(xué)實(shí)踐出發(fā)給出了一些有利于提高該課程教學(xué)效果的建議。我們希望這些建議可以為講授這門(mén)課程的教師提供一些有用的可供參考的意見(jiàn)。當(dāng)然最重要的還是我們應(yīng)該以自己學(xué)校的實(shí)際情況為最基本的出發(fā)點(diǎn)，以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣并讓學(xué)生保持對(duì)知識(shí)的饑餓感為目的。用這樣的方式來(lái)設(shè)計(jì)該課程的教學(xué)，則其教學(xué)效果的提高自然是水到渠成。

[1]童裕孫.研究生教學(xué)用書(shū):泛函分析教程(第二版)[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2008.

[2]彭自嘉.民族院?！斗汉治觥方虒W(xué)改革的探索與實(shí)踐[J].廣西民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,(1):94-96.

[3]李延保.在高等工科院校中開(kāi)設(shè)應(yīng)用泛函分析基礎(chǔ)課的體會(huì)[J].大學(xué)數(shù)學(xué),1987,(1):32-35.

[4]劉小佑,許友軍.碩士生“泛函分析”課程教學(xué)改革的幾點(diǎn)思考[J].湘南學(xué)院學(xué)報(bào),2015,(5):69-71.

[5]謝永安,黃文韜.研究生《泛函分析》課程教學(xué)探討[J].信息系統(tǒng)工程,2010,(5):129-130.

[6]李鋒杰.碩士研究生泛函分析教學(xué)探索[J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊,2008,(25):13.

[7] J.B.Conway.泛函分析教程(第二版)[M].北京:世界圖書(shū)出版公司,2003.

（責(zé)任編校：宮彥軍）

2016－10－04

南華大學(xué)學(xué)位與研究生教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)2015JG018）；湖南省普通高等學(xué)校教育教學(xué)改革項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)JG2014B048)。

劉小佑（1983－），男，湖南耒陽(yáng)人，副教授，博士，研究方向?yàn)榉蔷€性偏微分方程。

G420

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1673-2219（2017）06-0005-02